아벨-야코비 지도

수학에서 아벨-야코비 지도(Abel-Jacobi map)는 대수 곡선과 야코비 다양성을 연관시키는 대수기하학의 구성입니다. 리만 기하학에서 다양체와 야코비토루스를 매핑하는 더 일반적인 구조입니다. 이 이름은 두 유효 나눗셈이 아벨-야코비 지도에서 구별할 수 없는 경우에만 선형 동치라는 아벨과 야코비의 정리에서 유래했습니다.

지도 제작

복소 대수기하학에서 곡선 C의 자코비안은 경로 적분을 사용하여 구성됩니다. 즉, C가 위상학적으로 다음을 의미하는 g 속을 갖는다고 가정하자.

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z}^{2g}}$

기하학적으로 이 호몰로지 군은 C의 (호몰로지 클래스) 사이클, 즉 닫힌 루프로 구성됩니다. 따라서 2g 루프${\displaystyle }$γ ${\displaystyle {}_{}}$, …,${\displaystyle {}_{}}$γ 2g ${\displaystyle \gamma$_{$1},\ldots$,\gamma _{2g}를 선택하여 생성할 수 있습니다. 반면에, C의 속은 다음과 같이 말하는 또 다른 대수기하학적 방법은

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

여기서 K는 C의 표준 다발입니다.

정의에 따라, 이것은 C 위에 전역적으로 정의된 홀로모픽 미분 형식의 공간이므로, g개의 선형 독립 형식${\displaystyle }$ω ${\displaystyle 1_{}}$ …, ω g ${\displaystyle \omega_{1$,\omega_{g}}를 선택할 수 있습니다. 주어진 형식과 닫힌 루프를 적분할 수 있으며, 2g 벡터를 정의합니다.

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots,\int _{\gamma _{j}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C}^{g}}$

리만 쌍선형 관계로부터$$ω j ${\$displaystyle $\Omega_{$j}가 비퇴화$격자$ λ$$≅ ${\displaystyle$ \Lambda}를 생성합니다(즉${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{이들}}^{}}$은 ${\displaystyle {}^{}}$ ≅ R 2 $g {\displaystyle \mathbb$ {C} ^{$g}\$cong \mathbb {R} ^{2g}), 자코비안은 다음으로 정의됩니다.

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

그러면 아벨-야코비 지도는 다음과 같이 정의됩니다. 우리는 일부 기본 점 $p$ ${\displaystyle 0}$ ∈ C {\$displaystyle p_{$0}\in C}를 선택하고,${\displaystyle$ \Lambda,}의$정의$를 거의 모방하여 지도를 정의합니다.

${\displaystyle {\begin{case}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

Although this is seemingly dependent on a path from ${\displaystyle p_{0}}$ to ${\displaystyle p,}$ any two such paths define a closed loop in ${\displaystyle C}$ and, therefore, an element of ${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$ so integration over it gives an element of ${\displaystyle \mathrm{\Lambda }.}$${\displaystyle \Lambda .}$ 따라서 차$이$는$λ {\$displaystyle \Lambda$$}에 의해 몫으로의 통로에서 지워집니다. $p$ 0 {\$displaystyle$p_{0}}을 변경하면 지도가 변경되지만 토러스의 변환에 의해서만 변경됩니다.

리만 다양체의 아벨-야코비 지도

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을 매끄러운 콤팩트 다양체라고 하자. π =${\displaystyle {}_{}}$π 1(M) {\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}을 기본 그룹으로 설정합니다. $f{\displaystyle }$: π → π a ${\displaystyle f:\$pi \to \pi ^{ab$}}$를 해당 레이블화 맵으로 합니다. ${\displaystyle \mathrm{tor}}$ = ${\displaystyle \mathrm{tor}}$ ⁡$$(π a b) {\$displaystyle$ $\operatorname$ {tor} =\operatorname {tor}(\pi ^{ab})를 π a {\displaystyle \pi ^{ab}}의 토션 부분군이라고 합니다. g: π a → π a b / tor {\display ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor}를 토션에 의한 몫이라고 합니다. $M$ ${\displaystyle M}$이(가) 표면인 경우${\displaystyle {}^{}}$π a /$$tor ${\displaystyle \$pi ^{$ab}/\operatorname {$tor}은$($는) Z $2g {\displaystyle \mathbb {$Z} $^\{$2g}과($여기$서 $g {\displaystyle$ g}는 속입니다. ${\displaystyle {}^{}}$ 일반적으로, ${\displaystyle {}^{}}$b$$/ tor ${\$displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname$${tor}은(는) Z b {\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}과(는) 비동형이며, b {\displaystyle b}은(는) 첫 번째 Betti 숫자입니다. φ =${\displaystyle g}$ ∘ $f$ : π → Z b {\displaystyle \varphi = g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}를 합성 동형이라 하자.

정의. ${\displaystyle \mathrm{서브그룹}커}$⁡$($φ$)$ ⊂ π ${\displaystyle$ \ker(\varphi)\subset \pi}에 해당하는$매니폴드$ M ${\displaystyle$ M}의 커버 $M$ ¯ {\displaystyle ${\$bar {M}}을 범용(또는 최대) 자유 아벨리안 커버라고 합니다.

이제 M이 리만 미터법을 가지고 있다고 가정합니다. $E$ ${\displaystyle$ $E$$}$를 $M$ ${\displaystyle$ M$}$의 고조파 1-형태 공간이라고 하고$,$ 이중 $E$∗ {\$displaystyle$E^{*}이${\displaystyle }$H ${\displaystyle 1(}$M$,$ R)${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$H_{1}(M$,\mathbb$R})}과(와) 표준적으로 $식별$됩니다. 기저점 $x$ $0$∈ M {\$displaystyle x_{$0$\}\backslash$in M}의 경로를 따라 적분된 고조파 1 형태를 적분하여${\displaystyle 원}$ R / ${\displaystyle Z^{}}$ = S 1${\displaystyle$\mathbb {R} /\mathbb {Z} = S^{1}에 대한 지도를 얻습니다.

마찬가지로, 코호몰로지에 대한 근거를 선택하지 않고 $맵$ M → ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ (M${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle R}$) / ${\displaystyle H{1}_{}}$ (${\displaystyle M,}$Z) ${\displaystyle R_{}}${\$displaystyle$M\$to$ H_${1}$ ($M,\mathbb {R})$ / $H_{1}$ ($M,\mathbb {Z})_{\mathbb {R}}$를 정의하기 위해 다음과 같이 주장합니다. Let ${\displaystyle x}$ be a point in the universal cover ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ of ${\displaystyle M}$. Thus ${\displaystyle x}$ is represented by a point of ${\displaystyle M}$ together with a path ${\displaystyle c}$ from ${\displaystyle x_{0}}$ to it. $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c}$경로$를 따라 적분하면$$$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 선형 형태를 얻을 수 있습니다$.$

${\displaystyle h\ to \int _{c}h.}$

이것은 지도를 만듭니다.

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R}),}$

더 나아가 지도로 내려갑니다.

${\displaystyle {\begin{case}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\c\maps to \left(h\maps to \int_{c}h\right)\end{case}}}\displaystyle {\begin{case}}$

$여기$서 M$$¯ {\$displaystyle {\overline$ ${$M}}은(는) 범용 자유 라벨리안 커버입니다.

정의. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 Jacobi 품종(Jacobi torus)은$$ 토러스입니다.

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

정의. 아벨-야코비 지도

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

위의 지도에서 quotient로 전달하여 얻을 수 있습니다.

아벨-야코비 지도는 야코비토로스의 번역본에 이르기까지 독특합니다. 지도는 수축기하학에 적용됩니다. 리만 다양체의 아벨-야코비 지도는 주기적 다양체의 열 커널의 큰 시간 점근선에 나타납니다(Kotani & Sunada (2000)와 Sunada (2012)).

거의 동일한 방식으로 아벨-야코비 지도의 그래프 이론적 유사체를 유한 그래프에서 평면 토러스(또는 유한 아벨 그룹과 관련된 케일리 그래프)로 조각별 선형 지도로 정의할 수 있으며, 이는 결정 격자에서 무작위 보행의 점근적 행동과 밀접하게 관련되어 결정 구조 설계에 사용될 수 있습니다.

콤팩트 리만 곡면의 아벨-야코비 지도

저희는 컴팩트한 리만 표면에서 아벨-야코비 지도의 분석 구성을 제공합니다.

Let ${\displaystyle M}$ denotes a compact Riemann surface of genus ${\displaystyle g>0}$. Let ${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$ be a canonical homology basis on ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle \{{\zeta }_1,...,}$$ζ$ g$}$ {\$displaystyle \{\$zeta _{1}, $zeta$ _{g}\} g {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}에 대한 이중 기저는 복소형 미분 형태로 구성됩니다. Dual basis we mean ${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$, for ${\displaystyle j,k=1,...,g}$. We can form a symmetric matrix whose entries are ${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$, for ${\displaystyle j,$$k=1,...,g}$. Let ${\displaystyle L}$ be the lattice generated by the ${\displaystyle 2g}$-columns of the ${\displaystyle g\times 2g}$ matrix whose entries consists of ${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$ for ${\displaystyle j,k=1,...,$$g}$ where ${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$. We call ${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$ the Jacobian variety of ${\displaystyle M}$ which is a compact, commutative ${\displaystyle g}$-dimensional complex Lie group.

지도${\displaystyle }$φ M →$$J ( M ) ${\displaystyle$\varphi :$점$ $P$ $0$ $∈$ M {\$displaystyle P_{$0}\in M}을 선택하고 ${\displaystyle \mathrm{설정}}$$φ$${\displaystyle (P_{}^{})}$ $=$${\displaystyle }$($∫$ P 0 ${\displaystyle {P_{}}_{}^{}}$ $ζ$ 1, ..., $∫$ P 0 P $ζ$ g$).$ ${\$$displaystyle$ \varphi(P)$=$\left$(\$int _{$P_{$0}}^{P$}\$zeta _{1}}...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right.$}$이는 랭크 1($maxim$ 랭크)을 갖는 잘 정의된 홀로모픽 매핑입니다. 그러면 우리는 이것을 자연스럽게 나눗셈 클래스의 매핑으로 확장할 수 있습니다.

If we denote ${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$ the divisor class group of ${\displaystyle M}$ then define a map ${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (M)\to J(M)}$ by setting ${\displaystyle \phi (D)=\sum _{j=1}^r\phi (P_j)-\sum _{j=1}^s\phi (Q_j),}$$⋯$$}$

$r$ = ${\$display r =$s$}인 경우 이 맵은 기본 점 선택에 독립적이므로 기본 점 독립 맵 φ 0: Div (0) (M) → J (M) {\displaystyle \varphi _{0$}:\$mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)} 여기서 Div (0) ^{(0)} ^{(0)}(M)} $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$의 차수 0을 나타냅니다$.$

아래의 아벨 정리는 지도$$φ 0 {\displaystyle \$varphi_{$0}의 커널이 정확히 주약수의 부분군임을 보여줍니다. Jacobi 반전 문제와 함께, 우리는 군으로서, $J{\displaystyle }$ ($)$ {\$displaystyle J(M)}$는 그 주요 나눗셈들의 부분군인 0도 모듈의 나눗셈들의 군과 동형이라고 말할 수 있습니다.

아벨-야코비 정리

아벨은 다음과 같은 정리를 증명했습니다. 다음과 같이 가정합니다.

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

는 약수(C의 점들의 형식적인 정수-선형 조합을 의미함)입니다. 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

따라서 나눗셈에 대한 아벨-야코비 지도의 값을 말합니다. 정리는 만약 D와 E가 두 개의 유효 나눗셈이라면, ${\displaystyle n_{}}$이 ${\$ 모두 양의 정수임을$$ 의미합니다.

${\displaystyle \mathrm{u(}D)}$ = ${\displaystyle u(}$E$)$ {\displaystyle U${\displaystyle (}$D) = u(E)} D {\displaystyle D}가 E {\displaystyle E.} 선형인 경우에만 해당됩니다. 이는 아벨-야코비 맵이 차수 0의 약수 클래스 공간에서 자코비안으로 (아벨 그룹의) 주입 맵을 유도한다는 것을 의미합니다.

Jacobi는 이 지도가 (Jacobi 반전 문제로 알려진) 또한 주관적이라는 것을 증명했고, 따라서 두 그룹은 자연스럽게 동형입니다.

아벨-야코비 정리는 콤팩트 복소 곡선(홀형 1형태 모듈로 기간의 이중)의 알바니아 품종이 야코비 품종(0도 모듈로 등가의 약수)과 동형임을 의미합니다. 고차원 콤팩트 투영 품종의 경우 Albanes 품종과 Picard 품종은 이중이지만 동형일 필요는 없습니다.

참고문헌

• E. Arbarello; M. Cornalba; P. Griffiths; J. Harris (1985). "1.3, Abel's Theorem". Geometry of Algebraic Curves, Vol. 1. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90997-4.
• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000), "Albanese maps and an off diagonal long time asymptotic for the heat kernel", Comm. Math. Phys., 209: 633–670, Bibcode:2000CMaPh.209..633K, doi:10.1007/s002200050033
• Sunada, Toshikazu (2012), "Lecture on topological crystallography", Japan. J. Math., 7: 1–39, doi:10.1007/s11537-012-1144-4
• Farkas, Hershel M; Kra, Irwin (23 December 1991), Riemann surfaces, New York: Springer, ISBN 978-0387977034