Tetrad 형식 주의

일반 상대성 이론이 좌표 기준에 지역적의 덜 제한적인 선택까지, four[를]일차 독립 벡터 분야의 국내에서 정의된 일련이 사분 또는 vierbein라고 불리는 일과 관계된 기준의 접선 다발의 선택 generalizes은 4형식 주의의 접근 방법이다.[1]는(pseudo-)Riemannian 기하학에 설정된 vielbein 형식 주의의 더 일반적인 아이디어가 특별한 경우이기도 하다.이 기사는 현재 쓰여진 하지만 그것은 말한다 거의 모든 것 똑같이(pseudo-)Riemannian manifolds에 일반적으로, 그리고 심지어 manifolds 돌기에 적용된다 일반 상대성 이론을 자주 언급하게 만든다.대부분의 진술은 단순히 n에 대하여 임의의 n{n\displaystyle}4{\displaystyle n=4}을 대체함으로써. 독일에서는, 점점" 많은"에"viel""4"에,"경쟁하는 사람."은 기호들을 가지고 있습니다.

일반적인 생각 두 vielbeins, 왼쪽의 제품의 계량 텐서에 쓰고, 또 오른쪽에 있다.그 vielbeins의 영향은 좌표 시스템은 접선 매니폴드에 하나나 더 계산에 적합한 더 간단하다에 사용을 바꾸는 것이다.그것은 자주 그 사건은 vielbein 좌표계 직교 함수계인. 있듯이 그 일반적으로 사용하기 가장 쉬운 것이다.대부분의 tensors거나 심지어 이 좌표계의 사소한, 따라서 대부분의 표현의 복잡성 좌표의 선택의 타고난 속성 또는 물리적 영향보다는 공예품, 드러납니다 단순하게 된다.즉, 형식 주의로. 그것은 오히려 신중한. 기술 예측을 바꾸지 않는다는 것이다.

그 4형식 주의의 일반 상대성 이론에 표준coordinate-based 방법 위의 이점은 있는 능력이 블랙 홀의 중요한 물리적인 측면을 반영하기 위해 4개 한벌 기준을 선택하는 것에 있다.마치 자신들이 계수에 의해 고정된 지역 4분자에 관해서 대표되는 추상 지수 표기법 tensors을 나타낸다.종종 개념적으로 더 명확하다 완전히 조정 자유 기호에 비해서,고 computationally 명시적 쉬운 방법으로 자궁 수축을 나타내기 위해 허용한다.

사방정식의 의의는 일반상대성이론의 아인슈타인-카르트의 공식에서 나타난다.이 이론의 4차원 형식주의는 페르미온 작용의 4차원 공식과 미터법 공식 사이를 전환할 수 없기 때문에 그것의 미터법 공식보다 더 기초적이다.이는 효과적으로 Weyl 스피너가 리만 다양체에^[2] 매우 자연스럽게 정의될 수 있고 그 자연스러운 설정이 스핀 연결로 이어지기 때문입니다.스피너는 다지관 좌표계가 아니라 비엘바인 좌표계에서 형성됩니다.

그 특권 4의 수의 형식 주의 또한 고차원의 Kaluza–Klein 중력의 해체 이론 theories[3]과 extra-dimension(s)is/are N격자 사이트의 시리즈가 고차원의 매트릭 오직 4Dcomponen에 의존하는 지표 상호 작용 집합을로 대체되는 것에 의해 대체된 중력 이론들 나온다.ts.[4]비엘베인은 일반적으로 물리학과 수학의 다른 일반적인 환경에서 나타난다.비엘베인은 납땜 형태로 이해될 수 있습니다.

수학 공식화

4차원 형식주의에서는 ^[5]4차원 기반이 선택된다:n개의 \ $displaystyle$ n개의 독립 $n$ 벡터 필드 $세트$

e_{a}=e_{a}^{\mu}\display_{\mu}

a $a=1,\ldots ,n$ , $a=1,\ldots ,n$ $a=1,\ldots ,n$ { $style$ a $=1,\ldots,n}$ 의 $a=1,\ldots ,n$ $M$ $a=1,\ldots ,n$ , 시공간 $매니폴드$ M의각 점에서 n{ $style$ n $}$ 차원 접선 $n$ 에 걸쳐 $있습니다$ . 마지막으로 비엘베인(또는 4차원에서는 테트라드)은 이중 코비엘베인(테트라드) 세트 n의 $결정$ (및 결정)}개의 $n$ 독립된 1-폼 $.$

e^{a}=e^{a}_{\mu }param^{\mu }

그렇게 해서

\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}_{\mu}e^{\mu}_{b}=\display_{b}^{a}}

여기서 $\delta _{b}^{a}$ $\delta _{b}^{a}$ a $(\$ _ ${b}^{a})$ 는 $\delta _{b}^{a}$ Kronecker 델타입니다.비엘베인은 일반적으로 좌표기준에 대한 $e^{\mu }{}_{a}$ $(\$ e $^{\mu}_{a})$ 에 $e^{\mu }{}_{a}$ 의해 지정되지만, (로컬) $x^{\mu }$ 의 집합 $(\$ x $^{\mu$ }})는 $x^{\mu }$ 사각형 지정에 불필요하다.각 코브터는 납땜 형태입니다.

파이버 다발의 차분 지오메트리의 관점에서 4개의 벡터 $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ 필드 { $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ a $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ … $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ { $displaystyle$ \{ $e_{a}\}_{a=1\display$ n $}}$ 은 $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ 프레임 다발의 단면을 정의한다 $U\subset M$ , U δM $(\displaystyle$ U $\subset$ M $)$ 의 $U\subset M$ 병렬화는 $TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}$ 에 상당한다 $TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}$ $TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}$ TU $\cong$ U $\times$ {\ $mathbb {R}$ ^{ $n$ 모든 매니폴드가 병렬 처리 가능한 것은 아니기 때문에 일반적으로 로컬에서만 비엘베인을 선택할 수 $있습니다$ (즉 $,$ 좌표 $차트$ U(\ $displaystyle$ U $\$ $displaystyle$ M $)$ 에서만 $U$ $M$ 할 수 있습니다). $M$

이론의 모든 텐서는 벡터 및 코벡터 베이스로 표현될 수 있으며, 이를 (코)비엘바인 멤버의 선형 조합으로 표현한다.예를 들어 시공간 메트릭 텐서는 좌표 베이스에서 사각형 베이스로 변환할 수 있다.

일반상대성이론에서 일반적인 4차원 기저에는 직교 정규 4차원 및 널 4차원 기저가 포함된다.null 테트라드는 네 개의 null 벡터로 구성되므로 방사선을 다루는 문제에 자주 사용되며 뉴먼-펜로즈 형식주의와 GHP 형식주의의 기초가 된다.

표준 형식주의와의 관계

미분 기하학의 표준 형식론(및 일반 상대성 이론)은 단순히 사각형 형식론에서 사각형 좌표를 사용하는 것으로 구성됩니다.좌표 사각형은 좌표 차트와 연관된 벡터의 표준 집합입니다.일반적으로 좌표 사각형은 { $\{\partial _{\mu }\}$ { $displaystyle$ \ { \ $partial$ _ { \ $mu }$ \ } 로 $\{\partial _{\mu }\}$ 표기되며 $\{\partial _{\mu }\}$ 이중 코테트라드는 { $\{dx^{\mu }\}$ $\{dx^{\mu }\}$ μ $}$ { $displaystyle$ \ { $dx$ ^ { \ $mu }$ \ $\{dx^{\mu }\}$ } 로 $\{dx^{\mu }\}$ 표기됩니다.이러한 탄젠트 벡터는 $보통$ 방향 도함수 ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ ( ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ , ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ , ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ ) $style$ { $varphi$ = ( \ $varphi ^$ {1} , \ $ldots$ , \ $varphi$ ^ {n}}}} 이 ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ 되면 매니폴드의 서브셋을 좌표 $\mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb }$ ^{ $n}$ 및 scal f $}$ $에$ 매핑합니다. $f$ 좌표 벡터는 다음과 같습니다.

\displaystyle _{\mu }[f]\equiv {frac (f\display \varphi ^{-1}}}{\display x^{\mu }}}.}

코테트라드의 정의에서는 일반적으로 d $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ d $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ ${\$ μ {\displaystyle $dx^{\mu$ } = $d\varphi$ ^{\ $mu}}$ $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ 을 $dx^\mu = d\varphi^\mu$ 남용하여 M{\ $displaystyle$ M $M$ 의 코벡터(1형식)를 정의한다.좌표 사방체의 관여는 통상적인 형식주의에서는 명시되지 않는다.4차원 형식론에서는 텐서 방정식을 완전히 작성하는 대신(위와 같이 4차원 요소 및 텐서 곱 ${\$ {\ $displaystyle$ \ $otimes$ } 포함 $\otimes$ ) 텐서 성분만 언급한다.예를 들어 메트릭은 " $g_{ab}$ $g_{ab}$ b $\$ }" $g_{ab}$ 로 표시됩니다.정방정렬이 지정되지 않은 경우, 이는 추상 지수 표기법이라고 불리는 텐서의 유형을 지정하는 문제가 된다.아인슈타인 합계의 법칙처럼 지수를 반복함으로써 텐서 사이의 수축을 쉽게 파악할 수 있다.

사각형 변경은 모든 좌표 변환에 관여하기 때문에 표준 형식주의의 일상적인 작업이다(즉, 한 좌표 사각형 기준에서 다른 좌표 기준으로 변경).사소한 경우를 제외하고는 단일 좌표 차트가 전체 매니폴드를 포괄할 수 없기 때문에 여러 좌표 차트 간에 전환이 필요합니다.일반 사각형으로 또는 일반 사각형 간에 변경하는 것은 매우 유사하며 동등하게 필요하다(병렬화 가능한 다지관 제외).임의의 텐서는 이 좌표 사각형 또는 일반 사각형으로 국소적으로 쓸 수 있다.

예를 들어 메트릭 $\mathbf {g}$ g $(\$ 는 $\mathbf {g}$ 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\mathbf {g} =g_{\mu \nu } ^{^{\nu }\qquad {text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\mu },\mu _{\nu })

(여기에서는 아인슈타인 합계 규칙을 사용합니다).마찬가지로, 메트릭은 임의의 (co) 테트라드에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.

\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{b}\qquad {text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a}e_{b}\오른쪽).}

여기서는 적용 가능한 기준을 구별하기 위해 색인 변수에 알파벳(라틴어와 그리스어)을 사용한다.

우리는 $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ μ μ d $x$ μ μ μ d x μ $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ = $e^$ { $a}$ {} $_{\mu$ } $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ ^ ^{\mu $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$ 를 확장하여 일반 코테트라드에서 좌표 코테트라드로 변환할 수 있다. 그러면 다음과 같이 된다.

\mathbf {g} =g_{ab}e^{b} =g_{ab}e^{a}_{\mu}e^{b}{\mu}e^{\nu}g_{\nu}g_{\mu }g_{\nu }g\nu } =g_{\nu } e^{\nu } } } } ^{nu } } } } =g_g_nu ab} ab_nu ab

$g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ μ $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ g $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ e $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ e b $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ { $displaystyle$ g $_$ { \ $mu$ \ $nu$ } = $g$ _ { $ab$ } $e^$ { $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ $}$ { \ $mu$ } e^ { $b$ } $_$ { \ $nu$ $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ } $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$ 。 $dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}$ 로 d x $dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}$ $dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}$ $e$ \ $displaystyle$ dxpanding a $dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}$ dxpandedge dxpanding dxpanding dxpanding dxpands $=$ = mu = mu = $mu$ = mu dxpanding

\mathbf {g} =g_{\mu \nu } ^{ ^{\mu \nu } e^{\mu } e^{a}_{a} e^{b} e^{a} e^{b} e^{a} e^{a} e^{a} e^{b} g_{b} g_{b} {b} {b} nu} {nu } {b

$g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ , g $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ μ $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ μ $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ a e $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ b $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ b { $displaystyle$ g _ { $ab$ } $= g$ _ { \ $mu$ \ $nu }$ e^ { $a$ } e^ { \ $nu$ } { } $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$ _ { $b$ } 입니다.

지수의 조작

4차원 계수를 사용한 조작은 추상 지수 공식은 원칙적으로 "그리스를 라틴 지수로 대체"하여 좌표 4차원 텐서 공식에서 구할 수 있음을 보여준다.그러나 미분 작업이 수반될 때 좌표 사각형 공식은 진정한 텐서를 정의한다는 점에 주의해야 한다.좌표 벡터장이 소실되는 Lie 괄호(즉, 통근: $\partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }$ μ δ $\partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }$ $=$ δ $\partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }$ {\ $displaystyle$ \ $display_{\$ mu $}}\display_{\nu$ }}\ $display_{\nu}\displict_$ {\ $nu}})$ 를 가지므로, 텐서 w를 올바르게 정의하지 않을 수 있는 공식의 순진한 치환Lie 브래킷이 소실되지 않기 때문에 일반 테트라드에 관한 것입니다 $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ a $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ , $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ ] $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ 0 $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ \ $display$ style [ $e$ _ { $a$ , e $_$ { $b$ } ] \ $neq$ 0 $[e_{a},e_{b}]\neq 0$ 。따라서, 때때로 사각형 좌표가 비홀로노믹 기반을 제공한다고 한다.

예를 들어, 리만 곡률 텐서는 일반 벡터 $필드$ X, $(\displaystyle$ X $,Y)$ 에 $X,Y$ 대해 다음과 같이 정의됩니다.

R

(

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

,

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

Y )

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

(

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

X

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

-

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

Y -

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

[

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

,

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

) { display

style

R (

X

, Y )

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

\

left

( \

nabla

_ { X

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

} \

nabla

_ { Y

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

} - \

nabla

_ { Y

}

\

nabla

_ { \

nabla }

)

좌표 사각형에서 이것은 텐서 계수를 제공한다.

\displaystyle R_{\nu \displays \mu }^{\mu }\left(\displaysla _{\displays })-\displaysla _{\displays}\displaysla _{\displays}\right).}

후자 표현의 순진한 "그리스에서 라틴으로" 대체

R_{\bcd}^{a}=e^{a}\left(\displayla _{d}-\displayla _{d}\right)\qquad {text {{b}\text!)}}

고정 c 및 d의 경우 $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$ $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$ - $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$ ' d $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$ { $displaystyle \left(\displayla$ _{ $c}\displayla _{d}-\displayla$ _ ${c}\right})$ 는 $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$ 일반적으로 텐서 계수를 정의하는 0차 미분 연산자가 아니라 1차 미분 연산자이기 때문에 올바르지 않습니다.추상 공식에서 일반적인 4차원 기법으로 대체하면 추상 지수 표기법에서 곡률의 적절한 정의를 찾을 수 있다. 그러나 다음과 같다.

{\displaystyle R_{\bcd}^{a}=e^{a}\left(\displayla_{d}-\displayla_{d}\displayla_{cd}{e}\displayla_{e})

$[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ 서 $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ [ $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ a , $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ b $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ ] $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ a $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$ { $displaystyle$ [ $e$ _ { $a$ , e $_$ { b } = $f$ _ { $ab$ } { $}^{ c$ $}$ $e$ _ { c $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ 。 $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ ( $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ c - $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ c - $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ c - $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ ∇ c $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ ∇ ) $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ \ $displaystyleft$ \ ( \ ( \ $la$ { \ $la$ { \ $la$ { \ la } ) _ la { \ $la$ \ la \ la \ $la$ \ la \ la \ la } )따라서 텐서의 (c d)-성분.이것은 좌표에 특화된 경우 곡률에 대한 좌표 표현과 일치하기 때문에 곡률의 추상적 정의를 사용하지 않더라도 좌표 기저 표현과 동일한 텐서를 정의하는 것이 명확하다.

예:거짓말 그룹

접선(또는 코탄젠트) 다양체의 벡터(또는 코벡터)가 주어지면 지수 맵은 해당 접선 벡터의 해당 측지선학을 설명합니다.X $X\in TM$ transport $X\in TM$ M $X\in TM$ ( \ $display style$ X \ $in$ TM $X\in TM$ )이라고 $X\in TM$ 차동 병렬 전송은 다음과 같습니다.

e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]+\cdots

위의 내용은 X $(\displaystyle$ X $)$ 를 $X$ 매트릭스로 $삼는$ 것만으로 쉽게 확인할 수 있습니다.

Lie 대수의 특수한 경우 X $(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 대수의 요소이며, 지수는 Lie 그룹의 지수 맵이며, 그룹 요소는 접선 벡터의 측지학에 대응합니다.Lie 대수의 $e_{i}$ $e$ 를 $e_{i}$ 선택하고 X $,$ X $X^{i},$ = $X$ $X=X^{i}e_{i}$ $X$ ^ { $i$ } $e _$ { i $X=X^{i}e_{i}$ } 라고 $X^{i},$ $X=X^{i}e_{i}$ $정류자$ 를 명시적으로 쓸 수 있습니다.는 것은 누구나 쉽게 계산할 수 있다

e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}^{l}{f_{il}^{m}e_{m}-\cdots

$[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ , $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ j $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ ] $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ e $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ { $displaystyle$ [ e $_$ { $i$ , $e$ _ { j } = { f $_$ { $ij$ }^{ $k$ } $e$ _ { $k$ }의 $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ 경우, Lie 대수의 구조 상수.이 시리즈는 다음과 같이 보다 간결하게 쓸 수 있습니다.

\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}_{j}dX^{j}

무한 급수로

W=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.

여기서 M $({displaystyle$ M})은 $M$ 행렬 요소가 ${M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}$ k $=$ ${M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}$ ${M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}$ j ${M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}$ ({ $Displaystyle {M_{j}^{k$ }= $X^{i}{f_{ij}^k$ 인 행렬이다. $행렬$ W(\ $displaystyle$ W $)$ 는 $W$ vielbein으로, $dX^{j}$ d X j(\ $displaystyle$ $dX^{$ $j$ 를 $dX^{j}$ "평탄한 좌표"(정규 분포, $e_{i}$ at)로 표현합니다 $.$

일부 $매니폴드$ N $({displaystyle$ N $}$ 에서 $N$ $B_{{mn}}$ 일부 Lie $그룹$ G({ $displaystyle$ G $G$ 로의 $N\to G$ N $→$ $N\to G$ $displaystyle$ $N\to G$ N})가 $N\to G$ $주어지면$ 매니폴드 $N$ ({ $displaystyle$ $N$ })의 $N$ 메트릭 텐서는 $Lie$ 그룹 $G$ $({$ $displaystyle$ G $G$ 의 $B_{mn}$ 텐서 $B_{mn}$ 의 풀백이 됩니다.

g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}_{j}

Lie 그룹의 메트릭 $B_{mn}$ $B_{mn}$ m $B_{mn}$ \ $style B_{mn}$ 은 $B_{mn}$ 카탄 메트릭(일명 킬링 폼)입니다.행렬로서 두 번째 W는 전치입니다. $N$ \ $displaystyle$ N $N$ a (의사) 리만 다양체의 $경우$ 메트릭은 (의사) 리만 메트릭입니다.위는 대칭 ^[6]공간의 경우로 일반화된다.이 비엘베인은 시그마 모델에서 계산을 수행하는데 사용되며, 초중력 이론은 특별한 ^[7]경우입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 프레임 번들의 프레임을 n-bein 또는 vielbein이라고 하는 임의의 치수의 시공간에서도 같은 어프로치를 사용할 수 있습니다.

인용문

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레퍼런스

De Felice, F.; Clarke, C.J.S. (1990), Relativity on Curved Manifolds (first published 1990 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
Benn, I.M.; Tucker, R.W. (1987), An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics (first published 1987 ed.), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3

외부 링크

일반상대성이론

[1] 프레임 번들의 프레임을 n-bein 또는 vielbein이라고 하는 임의의 치수의 시공간에서도 같은 어프로치를 사용할 수 있습니다.

[2] De Felice, F.; Clarke, C.J.S. (1990), Relativity on Curved Manifolds, p. 133

[3] 위르겐 요스트(1991) 리만난 기하학과 기하학적 해석, 스프링거

[4] Arkani-Hamed, Nima; Cohen, Andrew G.; Georgi, Howard (May 2001). "(De)Constructing Dimensions". Physical Review Letters. 86 (21): 4757–4761. arXiv:hep-th/0104005. Bibcode:2001PhRvL..86.4757A. doi:10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN 0031-9007. PMID 11384341. S2CID 4540121.

[5] Rham, Claudia (December 2014). "Massive Gravity". Living Reviews in Relativity. 17 (1): 7. arXiv:1401.4173. Bibcode:2014LRR....17....7D. doi:10.12942/lrr-2014-7. ISSN 2367-3613. PMC 5256007. PMID 28179850.

[eguchi-6] 에구치에게, 피터 B.길키와 앤드류 핸슨, "중력, 게이지 이론 및 미분 기하학", 물리학 보고서 66(1980) 페이지 213-393.

[7] Nejat Tevfik Yilmaz, (2007) "대칭 공간 시그마-모델 운동학에 대하여" arXiv:0707.2150 [hep-th]

[8] Arjan Keurentjes (2003) "산화군 이론", arXiv:0210178 [hep-th]

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