시그마 모형

물리학에서 시그마 모델은 고정된 다지관 위에서 움직이기 위해 제한된 점 입자로 그 장을 설명하는 필드 이론이다.이 다지관은 리만 다지관으로 간주될 수 있지만, 가장 일반적으로 리만 다지관으로 간주될 수 있다.모델은 정량화될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.비정량화 버전의 예는 Skyrme 모델이다. 4보다 큰 전력의 비선형성으로 인해 정량화할 수 없다.일반적으로 시그마 모델은 Skyrme 모델용 Skyrme 모델과 같은 위상학적 솔리톤 솔루션을 인정한다.시그마장이 게이지장에 결합되면 결과 모델은 긴츠부르크-란다우 이론에 의해 설명된다.이 논문은 시그마 모델의 고전적 필드 이론에 주로 전념하고 있으며, 해당 정량화된 이론은 "비선형 시그마 모델"이라는 제목의 논문에 제시되어 있다.

개요

시그마 모델은 Gell-Mann & Lévy(1960, 섹션 5)에 의해 소개되었다. σ-model이라는 이름은 줄리안 슈윙거가 앞서 소개한 스칼라 메손인 σ이라는 스핀리스 메손에 해당하는 모델에서 나온 것이다.^[1]모델은 O(4)에서 O(3)로 내려가는 자발적 대칭 파괴의 지배적인 프로토타입 역할을 했다: 깨진 3개의 축 발전기는 이소핀을 나타내는 생존 미파괴 O(3)의 가장 단순한 발현이다.

In conventional particle physics settings, the field is generally taken to be SU(N), or the vector subspace of quotient ${\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}$ of the product of left and right chiral fields.응축물 이론에서 그 분야는 O(N)로 간주된다.회전 그룹 O(3)의 경우 시그마 모델은 등방성 강자석을 설명하며, 보다 일반적으로 O(N) 모델은 양자 홀 효과, 초유체 헬륨-3 및 스핀 체인에 나타난다.

초중력 모델에서는 필드가 대칭적인 공간으로 간주된다.대칭 공간은 비자발적인 측면에서 정의되기 때문에 이들의 접선 공간은 자연스럽게 짝수 및 홀수 패리티 하위공간으로 분할된다.이러한 분열은 칼루자-클레인 이론의 치수 축소를 추진하는데 도움이 된다.

가장 기본적인 형태에서 시그마 모델은 순수하게 점 입자의 운동에너지로 간주될 수 있다; 하나의 분야로서 이것은 유클리드 공간의 디리클레트 에너지일 뿐이다.

두 가지 공간 차원에서는 O(3) 모델을 완전히 통합할 수 있다.

정의

시그마 모델의 라그랑지안 밀도는 각각 특정 유형의 적용에 적합한 다양한 방법으로 작성될 수 있다.가장 단순하고 가장 일반적인 정의는 라그랑지안을 리만 다지관의 미터법 텐서 풀백에 대한 미터법 추적으로 쓴다.$\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$의 $경우,$ spacetime M ${\displaystyle M}$에 대한 필드는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {{L}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n1}\sum _{j=1}^{n1}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{}}}}}}}}}}}}}}}}}pi}}}ji _{{ji}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ (${\displaystyle \varphi }$ ) ${\displaystyle g_{ij}(\phi )}$은 필드 공간의 미터법 텐서 ${\displaystyle \mathrm{\varphi }}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ∈$${{$displaystyle \$$phi \in$$partial _{\mu$은 기본 스페이스타임$$매니폴드에 있는 파생 모델이다$$.

이 표현은 약간 풀 수 있다.필드 공간 ${\displaystyle \Phi }$은(는) 모든 리만 매니폴드로 선택할$$ 수 있다.역사적으로 이것은 시그마 모델의 "시그마"이다. 역사적으로 적절한 기호 ${\displaystyle \sigma }$는 기하학에서 $in$ ${\displaystyle \sigma }$의 다른 많은 일반적인 사용법과 충돌을 방지하기 위해 여기에서 피한다$$.Riemannian manifolds always come with a metric tensor ${\displaystyle g}$. Given an atlas of charts on ${\displaystyle \Phi }$, the field space can always be locally trivialized, in that given ${\displaystyle U\subset \Phi }$ in the atlas, one may write a map ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$패치에$$ 명시적 로컬 좌표 $coordinates{\displaystyle }$= (${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle {}^{}\cdots }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle \phi =(\phi$^{$1},\cdots ,\phi ^{n}})$를 부여한다.이 패치의 메트릭 텐서는 $구성{\displaystyle {}_{}}$ 요소 g ${\displaystyle i_{}}$ j (${\displaystyle {}_{}\varphi }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle g_{ij}(\phi$)가 있는 행렬이다.$}$

기저 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$M}은(는) 서로 다른 다지관이어야 한다. 관례상 입자물리학 용도의 민코프스키 공간, 응축물 용도의 평면 2차원 유클리드 공간 또는 끈 이론의 세계 시트인 리만 표면이다.The ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$ is just the plain-old covariant derivative on the base spacetime manifold ${\displaystyle M.}$ When ${\displaystyle M}$ is flat, ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$ is just the or스칼라 함수의 dinary gradient $({\displaystyle \phi }$은(는) 스칼라 필드로서$$, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 자체의$$ 관점에서 볼 때)좀 더 정확한 언어로 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \partial _{\$${\displaystyle \mathrm{mu}}$ $}\phi }$은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ × ${\displaystyle M\times \Phi }$의 제트 번들의 한 부분이다$.$

예제: O(N) 비선형 시그마 모델

${\displaystyle {gi}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$크론커 델타, 즉 유클리드 공간의 스칼라 도트 제품을 취하면 $O{\displaystyle }$($){\displaysty$ O$(n)}$ 비선형$$ 시그마 모델을 얻게 된다.That is, write ${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$ to be the unit vector in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, so that ${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$, with ${\displaystyle \cdot }$ the ordinary Euclidean dot product.$그런{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 다음 ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ^}$ S ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1 ${\$ S$^-$1$\}\{{\displaystyle \mathrm{n}}$:1}} (n$$ - 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (n-1)$-sphere의 등각도는 회전 그룹 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty$ O$(n)}$이다$.$그러면 라그랑지안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu{u}}\cdot \nabla _{\mu{\hat {u}}}}}}}$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$의 경우$,$ 이것은 격자 위의 등방성 강자석의 연속 한계, 즉 고전적인 하이젠베르크 모델의 연속 한계다.$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2}$의 경우$,$ 이것은 고전적 XY 모델의 연속 한계다.격자 모형 등가물에 대한 검토는 n-벡터 모형과 Potts 모형을 참조하십시오.연속체의 한계는 글로써 취한다.

${\displaystyle \property_{h}[{\hat {u}}(i,j)={\frac {{\hat {{u}_{i}-{\hat {u}_{j}}}}}}}$

인접 격자 위치 $i{\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$. ${\displaystyle i,j.}$에 대한 유한 차이로서.$$ Then ${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ in the limit ${\displaystyle h\to 0}$, and ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \p$$u$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$$^$ ^ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ ^ ^ ^ ^ ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\hat$ {$u}_{$i}\$cdot {\hat {u}_{i}=1}("$자율화$").$

기하 표기법

The sigma model can also be written in a more fully geometric notation, as a fiber bundle with fibers ${\displaystyle \Phi }$ over a differentiable manifold ${\displaystyle M}$. Given a section ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$, fix a point ${\displaystyle x\in M.}$ The pushforward at ${\displa$$ystyle x}$은 접선 번들의 맵입니다.

${\$$$$T_{x}M\to T_{\phi(x)}$$\Phi \quad }$ ${\displaystyle ㎕\partial {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}\frac{{}^{}}{}\frac{\mathrm{}{x}^{}}{\mathrm{}{}^{}}}$ x${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{\mathrm{}}_{}}$i ${\displaystyle i_{}}$ i i i ${\displaystyle \frac{i^{}}{}}$ i i { {$$\\$displaysty \quad \partial \{\mu \\$partial$\}\frac \{\partial$ x$^{i}}}}}}}}}}}}}}}mapstoi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$ is taken to be an orthonormal vector space basis on ${\displaystyle TM}$ and ${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$ the vector space basis on ${\displaystyle T\Phi }$. The ${\displaystyle \mathrm{d}}$${\displaystyle \varphi }$ ${\daystyle$ \$mathrm {d} \phi }$은(는) 차등 형식이다.시그마 모델 작용은 벡터 값 k-폼에 대한 전통적인 내적 생산물일 뿐이다.

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}}}}}}$

여기서 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge$}은$($는) 쐐기 제품이고, $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은(는) Hodge 별이다.이것은 두 가지 다른 방법으로 내적인 제품이다.첫 번째 방법으로, Hodge $이중$은 M$${\$displaystyle$ M$}$에서 $\alpha {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$의 두 가지 다른 형태를 볼 때, 일반적으로 다음과 같이 쓰여진 미분형 공간에 불변성 내생물을 정의한다$.$

${\displaystyle \langle \!\langle \알파 \langle \!\langle \=\int_{M}\alpha \wedge {*\beta}}}}}}}$

위의 내용은 사각형 통합형 공간에 있는 내제품으로, 일반적으로 소볼레프 $공간{\displaystyle {}^{}}$ L${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle$ L$^{2}.}$ 이렇게$$ 쓰면 된다.

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \langle \mathrm {d} \phi \rangle }$

이것은 시그마 모델이 단지 점 입자의 운동에너지에 불과하다는 것을 명백하고 분명하게 드러나게 한다.다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 관점에서 필드 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 스칼라이므로$$ $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \pi }$은(는) 스칼라 함수의 일반적인 그라데만 인식할 수 있다$$$.$호지 별은 곡면 스페이스타임에 통합할 때 볼륨 형태를 추적하기 위한 화려한 장치일 뿐이다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 플랫인 경우 완전히 무시할 수 있으므로 작업이

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

$which$의 디리클레 에너지(Dirichlet Energy)인$.$ ${\displaystyle \phi$ }. 작용의 고전적 극단(Lagrange 방정식에 대한 해결책)은 $\varphi {\displaystyle }$ ${\display$ style $\phi }$의 디리클레트 에너지를 최소화하는 필드 구성이다$.$ 이 표현을 보다 쉽게 인식할 수 있는 형태로 변환하는 또 다른 방법은, 잠시 동안 관찰하는 것이다.calar 함수 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$$M\to \mathb${${\displaystyle \mathrm{R}}$$}$ 1은$$ d${\displaystyle d}$ f${\displaystyle }$= 0 ${\daystyle \mathrm {d} *f=0}$을(를) 가지므로$$ 쓸 수도 있다.

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \pi ,\Delta \pi \angle \!\rangle }}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은 라플라스-벨트라미 연산자, $즉{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$M}이$$(가) 평탄할 때의 일반 라플라시안이다.

또 다른, 두 번째 내부 제품이 있다는 것은 단순히 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi}$이(가) $is{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$ 그$$ 자체의 관점에서 벡터라는$$ 것을 잊지 말 것을 요구한다.즉, 두 벡터 $v{\displaystyle }$ ,${\displaystyle }$w${\displaystyle w}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle v,w\in T\Phi }$을(를) 고려할 때$,$ 리만 메트릭 $g{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$는 내부 제품을 정의한다$$.

${\displaystyle \langle v,w\langle =g_{ij}v^{i}w^{j}}}}$

Since ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ is vector-valued ${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$ on local charts, one also takes the inner product there as well.좀 더 자세히 말하자면

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac {1}{2}}\int_{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d}\phi ^{d}\mathrm {d}{j}}}}}}$

이 두 가지 내적인 제품 사이의 긴장은 다음과 같은 점에 주목함으로써 더욱 분명하게 만들 수 있다.

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\phi ^{j}}}}$

이린 형태의 형태로서 리만 미터법 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 풀백이다$.$개별 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ i ${\$^{$i}}}$개별 비엘베인(vielbein)으로 복용할$$ 수 있다.시그마 모델의 Lagrangian 밀도는 그 다음이다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}}}}}}}$

$g{\displaystyle }$ ${\$ M.${\displaystyle M.}$에 대한$$ 메트릭스 μs$$. ${\displaystyle \mathrm {d}\phi }}}$은(는) 솔더 형태로 해석할 수 있으며$$, 아래는 보다 완전하게 표현된다.

동기 및 기본 해석

고전적(비정량화) 시그마 모델에 대해 몇 가지 해석적, 원론적 발언을 할 수 있다.그 중 첫 번째는 고전적인 시그마 모델이 비 상호작용 양자역학의 모델로 해석될 수 있다는 점이다.두 번째는 에너지의 해석에 관한 것이다.

양자역기로서의 해석

이것은 바로 그 표현에서 따온 것이다.

${\displaystyle {\mathcal{S}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \pi ,\Delta \pi \angle \!\rangle }}$

상기의$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ 함수 ${\displaystyle \varphi }$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$을(를) 취하면 파동 함수로 해석할 수 있으며$$, 그 파동 함수의 운동 에너지를 Laplacian으로 한다.$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟨,,}$ ${\displaystyle \backslash }$ { ${\displaystyle \{}${ {\$displaystyle \langle \!\langle \cdot \cdot \angle \!\angle }}$은 모든 공간에 걸쳐 통합할 것을 일깨우는 기하학적 기계일 뿐이다$$.해당 양자역학 표기법은 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \psi ⟩}$ . ${\displaystyle \pi$= $\psi \rangele .}$평탄한 공간에서$$ 라플라시안은 ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 이 모든 조각을 조립하면 시그마 모델 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi \nabla ^{2} \psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

$이$는 파동함수 $\psi {\displaystyle }$($){\displaystyle \psi (x$의 전체 운동 에너지인 $\hslash {\displaystyle }$/ ${\displaystyle m}$ ${\$$$/$m}$에 대한 고전적인 시그마 모델은 무중간 양자 입자의 양자역학으로 해석될$$ 수 있다$.$분명히 $V{\displaystyle }$ ($){\displaystyle$V$(\phi )}$의 용어를$$ 라그랑지아에 추가하면 잠재적으로 파동함수의 양자역학이 된다.$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 복용하는 것은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$ -particle$$ 시스템을 설명하기에 충분하지 않으며$$, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ 입자는$$ $base{\displaystyle }$ 매니폴드에서 제공하지$$ 않는다.$이{\displaystyle }$ 문제는 기본 다지관의$$n {\$displaystyle$ n$}$부를$$ 복사하여 해결할 수 있다.

납땜 형태

리만 다지관의 지질 구조가 해밀턴-자코비 방정식으로 설명된다는 것은 매우 잘 알려져 있다.^[2]썸네일 형태로, 구성은 다음과 같다.Both ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle \Phi }$ are Riemannian manifolds; the below is written for ${\displaystyle \Phi }$, the same can be done for ${\displaystyle M}$. The cotangent bundle ${\displaystyle T^{*}\Phi }$, supplied with coordinate charts, can always be locally trivialized, i.e.

$왼쪽.T^{*}\Phi \right _{U}\cong U\times \mathb {R}^{n}}}$

사소함수화는 표준 좌표$q$ 1,${\displaystyle {}^{}\cdots }$ ,${\displaystyle q^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, p 1,${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle ,}$ p${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ (q$^{1},\cdots ,q^{n}, p_{1},\cdots ,p_{n}}}})$를 코탄젠트 번들에 제공한다$$.$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$의 메트릭 텐서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 따라 해밀턴 함수를 정의하십시오$.$

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}}}}$

여기서, 항상 그렇듯이, 메트릭의 역행은 이 정의에서 사용된다는 점에 유의해야 한다: ${\displaystyle {gi}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle g^{ij}g_{jk$}g$=\message _{k}^{$k}$i}.$$}}$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$의 지오데틱 흐름은 해밀턴-자코비 방정식에 의해 주어지는 것으로 유명하다.

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$ and ${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

지오데틱 흐름은 해밀턴 흐름이다. 위에 대한 해결책은 다지관의 지오데틱이다.참고로 d ${\displaystyle H/d}$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle dH/dt=0}$은(는) 측지학을 따라$$ 이동하며, 시간 매개 변수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$은 측지학을 따라 이동한다.

시그마 모델은 두 ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$ $T{\displaystyle {}^{}}$ ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ { {$${ { { { { ${{*}\Phi$ $}$과 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $T$$^{*}M}$에서 모멘타를 취하여 함께$$ 솔더($delder$) 형태로 $.$이런 의미에서 시그마 모델의 에너지 기능 해석은 놀라운 것이 아니다; 사실 그것은 두 에너지 기능의 결합이다.주의: 땜납 형태의 정확한 정의는 이형성을 요구한다. 이는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 $and{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$이(가) 실제 차원이 동일한 경우에만$$ 발생할 수 있다.더욱이 땜납 형태의 전통적인 정의는 $lie{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$을(를) 거짓말 그룹으로 만든다.두 조건 모두 다양한 적용에서 충족된다.

다양한 공간에 대한 결과

공간 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi$}은$($는) 기존의 입자물리학 모델에서 Lie 그룹, 보통 SU(N), 응축물리학 이론에서 O(N) 또는 초중력 모델에서 대칭공간으로 받아들여지는$$ 경우가 많다.대칭 공간은 비자발적인 측면에서 정의되기 때문에 이들의 접선 공간($즉{\displaystyle \mathrm{}}$, d ${\displaystyle \varphi }$ ${\dplaystyle \mathrm {d}\phi }$이(가) 자연스럽게 짝수 및 홀수 패리티 하위공간으로 분할된다.이러한 분열은 칼루자-클레인 이론의 치수 축소를 추진하는데 도움이 된다.

On Lie 그룹

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$이(가) 거짓말 그룹인 특별한 경우에 g ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$은 거짓말 그룹의 메트릭 텐서로서$$ 공식적으로 카르탄 텐서 또는 킬링 폼이라고 불린다.라그랑지안은 킬링 형식의 풀백으로 쓰일 수 있다.킬링 폼은 해당 리 대수로부터 두 행렬에 걸쳐 트레이스로 쓸 수 있으므로, 라그랑지안도 트레이스와 관련된 형태로 작성할 수 있다는 점에 유의한다.약간의 재배열만 있으면 모레르-카르탄 양식의 풀백으로도 쓸 수 있다.

대칭 공간

시그마 모델의 일반적인 변화는 그것을 대칭 공간에 표시하는 것이다.그 원형적인 예는 제품을 가져가는 치랄 모델이다.

$[\displaystyle G=SU(N)\time SU(N)}$

왼쪽 및 "오른쪽" 키랄 필드의 "시그마 모델"을 "시그마"로 구성

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\time SU(N)}{SU(N)}}}}$

그러한 지수 공간은 대칭적인 공간이므로 $일반적$으로 ${\displaystyle =}$ = G${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Phi = G/H}$을(를) 취할 수 있으며 $여기$서 H${\displaystyle }$g ${\displaystyle G}${\$displaystyle H\subset G}$은 카르탄 비자발성 하에서 불변하는 $G$ ${\displaystystyle G}$의 최대 부분군이다$$.라그랑지안은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 G${\displaystyle /H}$ ${\displaystyle G/H}$의 메트릭스 풀백의 관점에서$$ 또는 Maurer-Cartan 형식의 풀백으로 여전히 위와 같이 정확히 쓰여 있다.

추적 표기법

물리학에서 시그마 모델의 가장 보편적이고 관습적인 진술은 정의로부터 시작된다.

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak{m}\circle \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\오른쪽)}$

여기서 $g{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}{\mathrm{}}_{}}$ g ${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$는 Maurer-Cartan 형태의 풀백으로, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaysty g\in G$에 대한 것이다.$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m\mathfrak{}}_{}}$ ${\$은 카르탄 비자발성의 홀수 패리티 조각에 투영된 것이다$$.즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 Lie 대수 g ${\$ {g}을$($를) 고려할 때$,$ 비자발성은 공간을 불수의 두 고유성에$$ 해당하는 홀수 및 짝수 패리티 $성분{\displaystyle \mathfrak{}}$g = m${\displaystyle m\mathfrak{}}$ h ${\mathfrak {g}={\m}+{\mathfrak {h}}$로 분해한다.시그마 모델 라그랑지안은 다음으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \좌(L_{\mu }L^{\mu }\오른쪽)}$

이것은 Skyrme 모델의 첫 번째 용어로 즉시 인식된다.

미터법 양식

이에 대한 동등한 메트릭 형식은 그룹 요소 g${\displaystyle }g{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ g$\in G}$을(를$)$ $지오데틱 g$= $exp ⁡$ (${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$로 쓰는 것이다$.$$요소$의 $T_{i}}($${\displaystyle 으\mathfrak{}}$) ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\$^{$i}$Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 $T_{i}\in {\mathfrak {g$$\}.$$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= f ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\displaystyle {j_{}}^{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\$$T_{j}]={f_{ij}}^{k}$$T_{k}}$는 Lie 대수학의 기본 요소로서, $f{\displaystyle {{}_{}}^{}}$ i ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ k ${\$는 g$$${\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 구조 상수다$.$

이것을 위에 직접 연결하고 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식의 최소형식을 적용하면 즉시 등가형 표현으로 이어진다.

${\displaystyle {\mathcal{{{1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi_{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac{1}2}}\;;;{W_{i}}^{m}}{W^{n}_{j}\;\\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}\;\\mathrm {tr}(T_{m}T_{n})}$

where ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$ is now obviously (proportional to) the Killing form, and the ${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$ are the vielbeins that express the "curved" metric ${\displaystyle g_{ij}}$ in terms of the "flat" metric ${$$\displaystyle \mathrm {tr}(T_{m}T_{n$베이커-캠프벨-하우스도르프 공식에 관한 기사는 비엘베인에 대한 노골적인 표현을 제공한다.라고 쓸 수 있다.

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(-1)^{n^{n}}{n}{n+1)!}}}}=(I-e^{-M})M^{-1}$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) ${\displaystyle {{매트릭스}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$가 M j k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{\theta }_{}}^{}}$i i k {\$displaystyle$ {$M_}^{j}^{k}=\teta ^{f_{ij}^{$k$\}\}\}\}\}$인 행렬이다.

대칭 공간의 시그마 모델의 경우, Lie 그룹과는 반대로 ${\displaystyle {Ti}_{}}$ ${\$은(는) g${\displaystyle }$= ${\displaystyle m\mathfrak{}}$ = ${\displaystyle m\mathfrak{}}$⊕ h ${\${\$matrixfrak{g}={\mathfrak{m$의 모든 공간이 아닌$$ $서브스페이스{\displaystyle \mathfrak{}}$ m ${\${\{\{\{m$}{m$}}}에 한정된다.$m$ ${\$$mathfak{m$$}}$의 Lie ${\displaystyle commutator}$가 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ {\$displaystyle {\mathfrak${$m}$ 내에 있지 않으므로$$투영이 여전히$$ 필요하다$.$

확장

모델은 다양한 방식으로 확장될 수 있다.앞에서 언급한 Skyrme 모델 외에 4중항 항을 도입하는 모델도 웨스-주미노-을 산출하기 위해 비틀림 항에 의해 증강될 수 있다.위튼 모델.

또 다른 가능성은 초중력 모델에서 자주 볼 수 있다.여기서 Maurer-Cartan $양식{\displaystyle {}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle g^{-1-1}dg}$이(가) "순수 게이지"처럼$$ 보인다는 점에 주목한다.위 구조에서 대칭 공간에서는 다른 투영도 고려할 수 있다.

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}\circle \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\오른쪽)}$

여기서, 이전과 같이, 대칭 공간은 $분할{\displaystyle \mathfrak{}}$g = ${\displaystyle mh\mathfrak{}}$ h$${\$displaystyle${\$mathfrak{g}={\m}\$m}\$oplus{\mathfrak{h}}}$에 대응했다$.$ 이 추가 용어는 섬유 번들 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M\time H}$에 대한 연결로 해석할 수 있다($$게이지 필드로서 변환).$그것$은 G$${\$displaystyle G}$의 연결에서 "좌측"된 것이다$.$ 그것은 글로써 그것 자체의 역학을 부여받을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}=g_{ij}F^{i}\웨지 *F^{j}}$

F ${\displaystyle i^{}}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle I^{}}$ ${\$ F$^{i}=d$를 포함$A^{i$ 여기서의 미분류는 공변량 파생물이 아닌 "d"일 뿐이며, 이는 양-밀스 응력 에너지 텐서가 아니라는 점에 유의하십시오.이 용어는 그 자체로 게이지 불변성이 아니다; $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$ $\}\}$에 내장되는 연결 부분과 함께 취해져야 한다. 따라서 이제 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$ $\}\}$의 일부로서 이 용어와 함께 완전한 게이지 불변성 라그랑지안(d)을 형성한다.oes에는 양-밀이라는 용어가 들어 있다.

참조

• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "The axial vector current in beta decay", Il Nuovo Cimento, 16: 705–726, Bibcode:1960NCim...16..705G, doi:10.1007/BF02859738

• Ketov, Sergei (2009). "Nonlinear Sigma model". Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ...4.8508K. doi:10.4249/scholarpedia.8508.