아인슈타인-카르타 이론

이론물리학에서 아인슈타인-카르타 이론은 일반 상대성 이론과 유사한 고전적인 중력 이론입니다. 이 이론은 1922년 엘리 카르탕에 의해 처음으로 제안되었습니다. 아인슈타인-카르타 이론은 가장 간단한 푸앵카레 게이지 이론입니다.^[1]

개요

아인슈타인-카르타 이론은 일반 상대성 이론과 두 가지 점에서 차이가 있습니다: (1) 일반 상대성 이론은 국소적으로 측정된 로렌츠 대칭을 갖는 리만-카르타 기하학의 틀 안에서 공식화되는 반면, 일반 상대성 이론은 리만 기하학의 틀 안에서 공식화됩니다. 그렇지 않습니다. (2) 비틀림과 스핀을 연관시키는 추가 방정식 집합이 제시됩니다. 이 차이는 다음과 같습니다.

먼저 일반상대성이론을 리만-카르탕 기하학으로 재구성하여 아인슈타인을 대체함으로써-리만-카르탕 기하학에 대한 팔라티니 작용에 의해 리만 기하학에 대한 힐베르트 작용과, 둘째, 팔라티니 작용에서 제로 비틀림 제약을 제거하여 스핀과 비틀림에 대한 추가 방정식 세트와 아인슈타인 장 방정식 자체에 추가 스핀 관련 항이 추가됩니다.

일반 상대성 이론은 원래 아인슈타인에 의해 리만 기하학의 설정에서 공식화되었습니다.힐베르트 작용, 그 가운데 아인슈타인 장방정식이 생겨납니다. 원래의 공식화 당시에는 리만-카르타 기하학의 개념이 없었습니다. 또한 리만 기하학이 회전 대칭과 부스트 대칭에 대한 연속 방정식과 보존 법칙을 표현하는 데 필요한 것과 같은 국부적으로 측정된 로렌츠 대칭을 구현하는 데 필요한 구조를 가지고 있지 않다는 것을 이해하기 위한 게이지 대칭 개념에 대한 충분한 인식도 없었습니다. 또는 곡선 시공간 기하학에서 스피너를 설명하기 위해. 이 인프라를 추가한 결과는 리만-카르타 기하학입니다. 특히, 스피너를 기술할 수 있으려면 스핀 구조를 포함해야 하는데, 이는 그러한 기하학적 구조를 만들기에 충분합니다.

리만-카르탄 기하학과 리만 기하학의 주요 차이점은 전자에서는 아핀 연결이 미터법과 독립적인 반면, 후자에서는 레비-시비타 연결로 미터법에서 파생되어 둘 사이의 차이를 모순이라고 합니다. 특히 Levi-Civita 연결에 대해서는 이러한 연결의 정의 조건 중 하나로서 연결의 반대칭 부분(torbation이라고 함)이 0입니다.

비틀림은 비틀림으로 선형적으로 표현될 수 있기 때문에 아인슈타인을 직접 번역하는 것도 가능합니다.힐베르트 작용은 리만-카르탕 기하학으로, 그 결과 팔라티니 작용이 됩니다(팔라티니 변화도 참조). 그것은 아인슈타인을 다시 쓰는 것으로 유도됩니다.힐베르트는 아핀 연결의 관점에서 작용한 다음 비틀림과 비틀림 모두를 0으로 강제하는 제약을 별도로 제시하여 아핀 연결이 레비-시비타 연결과 동일하도록 강제합니다. 레비-시비타 연결로 표현되는 일반 상대성 이론의 작용 방정식과 장 방정식을 직접 번역한 것이기 때문에, 이것은 일반 상대성 이론 그 자체로 리만-카르타 기하학의 틀로 옮겨진 것으로 간주될 수 있습니다.

아인슈타인-카르타 이론은 이 조건을 완화시키고, 그에 따라 아핀 연결이 사라지는 반대칭 부분(토션 텐서)을 가지고 있다는 일반 상대성 이론의 가정을 완화합니다. 사용된 작용은 비틀림에 대한 제약이 제거되었다는 점을 제외하고는 팔라티니 작용과 동일합니다. 이것은 일반 상대성 이론과 두 가지 차이점을 낳습니다: (1) 이제 장 방정식은 레비-시비타 연결이 아닌 아핀 연결로 표현됩니다. 따라서 아인슈타인의 필드 방정식에는 팔라티니 공식에서 파생된 필드 방정식에는 존재하지 않는 비틀림을 포함하는 추가 항이 있습니다. (2) 비틀림과 물질의 고유 각운동량(스핀)을 결합하는 추가 방정식 세트가 현재 존재합니다. 아핀 연결이 물질의 에너지와 운동량에 결합되는 방식과 거의 같은 방식으로 말입니다. 아인슈타인-카르타 이론에서 비틀림은 이제 스핀(스핀 텐서)의 곡선 시공간 공식과 결합된 정지 작용 원리의 변수입니다. 이러한 추가 방정식은 물질 소스와 관련된 스핀 텐서의 관점에서 비틀림을 선형적으로 표현하며, 이는 일반적으로 비틀림이 물질 내부에서 0이 아님을 의미합니다.

선형성의 결과는 물질 외부에 비틀림이 0이므로 외부 기하학은 일반 상대성 이론에서 설명하는 것과 동일하게 유지됩니다. 아인슈타인-카르타 이론과 일반 상대성 이론의 차이점(아인슈타인의 관점에서 공식화됨)리만 기하학에 대한 힐베르트 작용 또는 리만-카르타 기하학에 대한 팔라티니 작용은 오직 물질원 내부의 기하학에 일어나는 일에만 의존합니다. 즉, "토션은 전파되지 않습니다." 아인슈타인-카르타 작용의 일반화는 전파 비틀림을 허용하는 것으로 간주되었습니다.^[2]

리만-카르타 기하학은 로런츠 대칭을 로컬 게이지 대칭으로 가지고 있기 때문에 관련 보존 법칙을 공식화하는 것이 가능합니다. 특히 미터법과 비틀림 텐서를 독립 변수로 간주하면 중력장의 존재에 대한 총 (궤도 + 고유) 각운동량에 대한 보존 법칙의 올바른 일반화를 제공합니다.

역사

이 이론은 1922년^[3] 엘리 카르탕에 의해 처음 제안되었고 그 후 몇 년 동안 설명되었습니다.^[4][5][6] 알버트 아인슈타인은 1928년 통합장 이론의 일부로 비틀림을 전자기장 텐서에 맞추려는 시도가 실패하면서 이 이론에 가입하게 되었습니다. 이 생각의 노선은 그를 관련되어 있지만 다른 텔레평행론 이론으로 이끌었습니다.^[7]

데니스 시아마^[8](Dennis Sciama)와 톰 키블(Tom Kibble^[9])은 1960년대에 이 이론을 독립적으로 재검토했고, 1976년에 중요한 리뷰가 출판되었습니다.^[10]

역사적으로 아인슈타인-카르타 이론은 비틀림이 없는 이론과 브랜스-다이크 이론과 같은 다른 대안에 의해 가려졌습니다. 왜냐하면 비틀림은 방정식의 다루기 쉬운 특성을 희생시키면서 예측적인 이점을 거의 추가하지 않는 것처럼 보였기 때문입니다. 아인슈타인-카르타 이론은 순수하게 고전적이기 때문에 양자중력의 문제도 완전히 다루지는 못합니다. 아인슈타인-카르타 이론에서 디랙 방정식은 비선형이 됩니다.^[11] 최근, 아인슈타인-카르타 이론에 대한 관심은 우주론적 함의, 가장 중요한 것은 블랙홀 우주론,^[12][13][14] 정적 우주론, 순환 모형 또는 창발 우주론(루브 골드버그 우주론 등)과 같은 우주 초기의 중력 특이점의 회피입니다.^[15][16] 이 이론은 실행 가능한 것으로 간주되며 물리학계에서 여전히 활발한 주제로 남아 있습니다.^[17]

이 이론은 루프 양자 중력에 간접적으로 영향을 미쳤습니다. (그리고 트위스터 이론에도^[18] 영향을 미친 것으로 보입니다.)

필드 방정식

일반 상대성 이론의 아인슈타인 필드 방정식은 아인슈타인을 가정함으로써 유도될 수 있습니다.힐버트 작용은 시공간의 진정한 작용이 된 다음 메트릭 텐서에 대해 그 작용을 변화시킵니다. 아인슈타인-카르타 이론의 필드 방정식은 대칭적인 레비-시비타 연결이 아닌 일반적인 비대칭 아핀 연결을 가정하고(즉, 시공간은 곡률 외에 비틀림이 있다고 가정함) 메트릭과 비틀림이 독립적으로 변화한다는 점을 제외하고는 완전히 동일한 접근 방식에서 비롯됩니다.

${\displaystyle {LM}_{\mathrm{}}}$ ${\$는 물질의 라그랑지안 밀도를 나타내고$$ ${\displaystyle {LG}_{\mathrm{}}}$ ${\$는 중력장의 라그랑지안 밀도를 나타냅니다$$. 아인슈타인-카르타 이론에서 중력장에 대한 라그랑지안 밀도는 리치 스칼라에 비례합니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G}} ={\frac {1}{2\kappa}}R{\sqrt {g}}$

${\displaystyle S=\int \left ({\mathcal {L}}_{\mathrm {G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M}\right)\,d^{4}x,}$

여기서 $g$ ${\displaystyle$ g$}$는 메트릭 텐서의 결정인자이고$,$ κ ${\displaystyle$\kappa}는 중력 상수와 빛의 속도를 포함하는 ${\displaystyle 물리\mathrm{상수}}$ 8$$π G / c 4 ${\displaystyle$8\pi G/c^{4}입니다. 해밀턴의 원리에 의해 중력장과 물질에 대한$$ 총 $작용{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 변화는 사라집니다.

${\displaystyle \delta S=0.}$

메트릭 텐서 ${\displaystyle {\mathrm{gab}}^{}}$ ${\$에 대한 변화는 아인슈타인 방정식을 산출합니다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathcal {L}}_{\mathrm {G}}}{\delta g^{ab}}-{\frac {1}{2}}P_{ab}=0}$

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=\kappa P_{ab}}$

$여기$서 ${\displaystyle {\mathrm{Rab}}_{}}${\$displaystyle R_{$ab$$}}는 리치 텐서이고 ${\displaystyle {\mathrm{Pab}}_{}}$ ${\$는 표준 응력-에너지-운동량 텐서입니다. 리치 텐서는 연결이 0이 아닌 비틀림 텐서를 포함하기 때문에 더 이상 대칭이 아닙니다. 따라서 방정식의 오른쪽도 대칭이 될 수 없으며, 이는 ${\displaystyle {\mathrm{Pab}}_{}}$ ${\$가 스핀 텐서와 관련이 있는 것으로 보일 수 있는 비대칭 기여를 포함해야$$ 함을 의미합니다. 이 표준 에너지-운동량 텐서는 벨린판테-로젠펠트 절차에 의해 더 친숙한 대칭 에너지-운동량 텐서와 관련이 있습니다.

토션 텐서 ${\displaystyle {{\mathrm{Tab}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\$에 대한 변화는 카르탕 스핀 연결 방정식을 산출합니다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathcal {L}}_{\mathrm {G}}}{\delta {T^{ab}}_{c}}-{\frac {1}{2}{\sigma _{ab}}^{c}=0}$

${\displaystyle {T_{ab}}^{c}+{g_{a}}^{c}{T_{bd}}^{d}-{g_{b}}^{c}{T_{ad}}^{d}=\kappa {\sigma _{ab}}^{c}}$

여기서$$σ bc ${\displaystyle {\$sigma _{ab}}^{c}}는 스핀 텐서입니다. 비틀림 방정식은 편미분 방정식이 아닌 대수적 제약이기 때문에 비틀림 장은 파동으로 전파되지 않고 물질 외부에서 사라집니다. 따라서 원칙적으로 이론에서 비틀림은 물질 내부에서 효과적인 "스핀-스핀" 비선형 자기 상호작용을 생성하는 스핀 텐서에 유리하게 대수적으로 제거될 수 있습니다.

특이점 회피

리만 기하학의 설정 안에서 전제되고 공식화된 특이점 정리(예: 펜로즈-호킹 특이점 정리)는 리만-카르타 기하학에서 성립할 필요가 없습니다. 결과적으로, 아인슈타인-카르타 이론은 빅뱅에서의 특이점이라는 일반 상대론적 문제를 피할 수 있습니다.^{[16][12][13][14]} 비틀림과 디랙 스피너 사이의 최소 결합은 효과적인 비선형 스핀-스핀 자기 상호작용을 생성하며, 이는 극도로 높은 밀도의 페르미온 물질 내부에서 중요해집니다. 이러한 상호작용은 관측 가능한 우주가 수축하기 전에 최소이지만 유한한 규모 계수에서 단일 빅뱅을 커스프와 같은 빅 바운스로 대체하는 것으로 추측됩니다. 이 시나리오는 또한 가장 큰 규모의 현재 우주가 공간적으로 평평하고 균질하며 등방성으로 나타나 우주 인플레이션에 대한 물리적 대안을 제공하는 이유를 설명합니다. 비틀림은 페르미온이 "점과 같은" 것 대신 공간적으로 확장되도록 하는데, 이는 블랙홀과 같은 특이점의 형성을 피하고 양자장 이론에서 자외선 발산을 제거하는 데 도움이 됩니다. 일반 상대성 이론에 따르면 충분히 조밀한 질량의 중력 붕괴는 특이한 블랙홀을 형성합니다. 대신 아인슈타인-카르타 이론에서 붕괴는 바운스에 도달하고 사건 지평선의 반대편에서 새롭고 성장하는 우주로 가는 규칙적인 아인슈타인-로젠 다리(웜홀)를 형성합니다.

다른 이론과의 관계

Richard J. Petti는 비틀림은 있지만 회전하는 입자가 없는 우주론적 모델이 기하학의 "장이 없는 (비전파) 장"의 상황을 설명한다고 믿습니다.^[19]

참고 항목

• 일반 상대성 이론의 대안
• 미터법-아핀 중력 이론
• 게이지 이론 중력
• 고리양자중력

참고문헌

더보기

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