반복 귀납적 정의의 이론

집합론과 논리학에서, Buchholz의 ID 계층은 1차 산술의 하위 시스템의 계층이다. $ID_{\nu }$ / $ID_{\nu }$ I $§$ {\ $displaystyle ID_{\nu}}$ 은 $ID_{\nu }$ "반복 귀납적 정의의 공식 이론"이라고 불립니다.ID는_ν 단조 연산자의 최소 고정점을 반복하여 PA를 확장합니다.

정의.

원래의 정의

형식 이론_ω ID(및 일반적으로_ν ID)는 다음 공리에_ID 의해 언어 L로 공식화된 페아노 산술의 확장입니다.

$\displaystyle \forall y({\mathfrak {M}}_{y})(P_{y}^{\mathfrak {M}},x)\rightarrow x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}}}}}$
$\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ y ( $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ ( $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ , $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ ) $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ F ( x ) $x$ $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ ( x ) $\forall y(\forall x({\mathfrak {M}}_{y}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}\rightarrow F(x)))$ x ) \ $style$ \ $forall$ y ( \ $forall$ x420 \ $mathfrak$ { $M$ } _ { $y$ （ $F ,$ x ) \ $rightarrow F(x$ ) $\$ \ $。$
$\displaystyle \forall y_{0}\forall x_{1}(P_{y}^{\mathfrak {M}}x_{0}x_{1}\in P_{x_0}{\land x_{1}\in P_{x_{0}})$

「」를 가지는 이론 ID_ν 는, 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle \forall y(Z_{y})(P_{y}^{\mathfrak {M},x)\rightarrow x\in P_{y}^{\mathfrak {M}}}}$
$\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ ( $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ , $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ ) $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ → $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ ( $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ x ) $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ → $\forall x({\mathfrak {M}}_{u}(F,x)\rightarrow F(x))\rightarrow \forall x(P_{u}^{\mathfrak {M}}x\rightarrow F(x))$ x ( $){$ display $style$ \ $forall x420\mathfrak$ { $M}_{u$ }( $F,$ x)\ $rightarrow F(x)\forall X(P_mathFRU){$ frightarrow \ $f}{FRU$ }{{f}{fright } $}$
$\displaystyle \forall y_{0}\forall x_{1}(P_{y}^{\mathfrak {M}}x_{0}x_{1}\in P_{x_0}{\land x_{1}\in P_{x_{0}})$

설명 / 대체 정의

아이디₁

$어떤$ $I\subseteq \mathbb {N}$ 연산자 $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ : $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ P ( $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ) $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ( $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ) （ \ $display style$ \ $Gamma :$ P ( N $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ) } \ $rightarrow$ $LFP(\Gamma )=I$ ( $LFP(\Gamma )=I$ ) $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ 、 L $LFP(\Gamma )=I$ $LFP(\Gamma )=I$ ( ） $I\subseteq \mathbb {N}$ for N $I\subseteq \mathbb {N}$ for for $I\subseteq \mathbb {N}$ for for for for for for for for a for a for for for for a for for for a a a if if if if if if if if if if if if a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a p p p p a a a a a a $I$ $LFP(f)$ 서 $LFP(f)$ F $LFP(f)$ ( f $){$ $displaystyle LFP ($ f )는 f{ $displaystyle$ f $f$ 의 $LFP(f)$ $최소$ 고정점을 나타냅니다.ID₁ $L_{ID_{1}}$ , $L_{ID_{1}}$ $L_{ID_{1}}$ 1 { $displaystyle$ L $L_{ID_{1}}$ _ { $ID_{1$ $}}$ 는 1차 $L_{\mathbb {N} }$ 에서 X(신규 설정 변수) 및 X(자유 변수)만을 포함하는 X양수식 A(X $,$ x)마다_N 설정( $또는 술어$ ) 상수_A I를 가산하여 구한다 $L_{\mathbb {N} }$ X-양수라는 용어는 X가 A에서만 긍정적으로 발생한다는 것을 의미합니다(X는 함축된 함축의 왼쪽에 있지 않음).약간의 설정 이론 표기법을 사용할 수 있습니다.

$(\displaystyle F(x)=\{x\in N\mid F(x)\})$
$s\in F$ F { $displaystyle$ $s\in F$ s \ $in$ F $F(s)$ }는 $s\in F$ F $F(s)$ s $)$ 를 $F(s)$ 합니다.
F $(\displaystyle$ F $)$ 와 $F$ G $(\displaystyle$ G $G$ 의 2가지 $F$ 에서 F $displaystyle$ F $\subseteq$ G $)$ 는 $F\subseteq G$ $F\subseteq G$ $\forall xF(x)\rightarrow G(x)$ x F $\forall xF(x)\rightarrow G(x)$ $\forall xF(x)\rightarrow G(x)$ $)$ \ $displaystyle \forall xF(x)\rightarrow$ G $(x$ 를 의미합니다.

다음으로₁ ID에는 새로운 언어로 확장되는 유도 체계를 가진 1차 수 이론(PA)의 공리와 다음 공리가 포함됩니다.

${\displaystyle(ID_{1}^{1}): A(I_{A})\subseteq I_{A}$
${\displaystyle(ID_{1}^{2}: A(F)\subseteq F\rightarrow I_{A}\subseteq F}$

$F(x)$ 서 F $)$ { $displaystyle$ F $(x)}$ 범위는 $F(x)$ $L_{ID_{1}}$ $L_{ID_{1}}$ $(\$ 입니다. $ID_{1}}$ 공식입니다 $L_{ID_{1}}$ .

$(ID_{1})^{1}$ $(ID_{1})^{1}$ $(ID_{1})^{1}$ ) $(ID_{1})^{1}$ ( \ $displaystyle$ ( $ID$ _ { $1$ } )^{ $1$ $}$ $I_{A}$ )는 $(ID_{1})^{1}$ $I_{A}$ 으로 정의 가능한 집합 연산자 $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ A ( $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ ) $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ { $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ ( $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ , $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ ) $∣$ N $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ A ( S , x ) { $display$ style \ $Gam$ ( S ) { A $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ } ( \ $displaystyle$ I $_$ $\Gamma _{A}(S)=\{x\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} \models A(S,x)\}$ { A } } } } } under under under under under under under under under under under under under under under under under under under under under $I_{A}$ under under under under under under under under under under under under under under under under under under under under $(ID_{1})^{2}$ $(ID_{1})^{2}$ $(ID_{1})^{2}$ ) $(ID_{1})^{2}$ { $display$ ( $ID$ _ {1 $}$ }^ $2}}$ 는 $(ID_{1})^{2}$ $I_{A}$ A $I_{A}$ { $display style$ I_ ${A$ }}이 $I_{A}$ (적어도 $L_{ID_{1}}$ $L_{ID_{1}}$ $L_{ID_{1}}$ 1 { $display style$ L_ ${$ A $}$ 에서 $L_{ID_{1}}$ 가능한 세트 중) 최소임을 $I_{A}$ . $ID_{1}}}}$ 입니다.

$I_{A}$ I $A({$ displaystyle $I_{A})$ 는 $I_{A}$ 연산자 $\Gamma _{A}$ A $({$ _ ${A$ 의 최소 고정점이 됩니다.

아이디_ν

"times 반복 귀납 정의" 시스템을 정의하려면 $\prec$ "\ $style\prec"$ 을 $\prec$ 순서 유형 "의 원시 재귀적 웰서열로 합니다. $【\displaystyle \prec$ 필드의 요소를 나타내는 데 그리스 문자를 사용합니다. $L_{ID_{\nu }}$ 의 언어_ν, $L_{ID_{\nu }}$ $(\$ $ID_{\nu }}$ 는 $L_{ID_{\nu }}$ X양수 $L_{\mathbb {N} }[X,Y]$ [ $]\displaystyle$ ${\$ $mathbb {N}[$ $A(X,Y,\mu ,x)$ $Y]\$ displaystyle L_ ${\mathbb {N}} 공식$ A(, X $A(X,Y,\mu ,x)$ $)$ 에 이진 술어 상수_A J를 더해 $LN$ ${\$ {\mathbbbb {N}에서 $L_{\mathbb {N} }$ 수 있습니다.여기서 X는 다시 단항(세트) 변수이고 Y는 새로운 이진 술어 변수입니다. $J_{A}(\mu ,x)$ A $J_{A}(\mu ,x)$ ( $J_{A}(\mu ,x)$ , $J_{A}(\mu ,x)$ ) (\ $displaystyle J_{A}$ (\ $mu$ , $x$ $J_{A}(\mu ,x)$ x $x\in J_{A}^{\mu }$ $x\in J_{A}^{\mu }$ $x\in J_{A}^{\mu }$ μ (\ $displaystyle$ x $\in$ J_ ${A}^{\mu$ $J_{A}(\mu ,x)$ }} 라고 $x\in J_{A}^{\mu }$ $x\in J_{A}^{\mu }$ , 후자의 공식에서 x를 식별 변수로 간주합니다.

이제_ν 시스템 ID는 유도 방식을 새로운 언어로 확장하고 체계 $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ I $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ ) $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ : $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ ( $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ ) $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ \ $displaystyle$ ( $TI$ _ { \ $nu }$ )를 추가하여 1차 번호 이론(PA) 시스템에서 가져옵니다.TI $(\prec,F)$ 는 $(TI_{\nu }):TI(\prec ,F)$ $L_{ID_{\nu }}$ 의 $L_{ID_{\nu }}$ $L_{ID_{\nu }}$ ${\$ {\ $displaystyle L_{$ 에 대해 $\prec$ an { $\prec$ \ $displaystyle \prec$ }을 $\prec$ 따라 초한 유도를 나타냅니다. $ID_{\nu }}$ $F$ F(\ $displaystyle$ F $)$ 및 $F$ 공리:

$\displaystyle(ID_{\nu})^{1}:\forall \mu \prec \nu;A^{\mu }(J_{A}^{\mu})\subseteq J_{A}^{\mu }}$
$\displaystyle(ID_{\nu })^{2}:\forall \mu \prec \nu;A^{\mu }(F)\subseteq F\rightarrow J_{A}^{\mu}\subseteq F}$

$F(x)$ 서 F $x)$ { $displaystyle$ F $(x)}$ 는 $F(x)$ $L_{ID_{\nu }}$ 의 $L_{ID_{\nu }}$ 입니다 $.{$ $displaystyle L_{$ $ID_{\nu}}}$ 공식입니다 $L_{ID_{\nu }}$ . $(ID_{\nu })^{1}$ $(ID_{\nu })^{1}$ $(ID_{\nu })^{1}$ $(ID_{\nu })^{1}$ ) $(ID_{\nu })^{1}$ 1 ( \ $displaystyle$ ( $ID$ _ { \ $nu$ } )^{ $1$ $A^{\mu }(F)$ $(ID_{\nu })^{2}$ } $(ID_{\nu })^{2}$ ( ( ( ( {\ 、 $(ID_{\nu })^{2}$ ( \ $displaystyle$ ( $ID _$ { \ $nu$ $(ID_{\nu })^{2}$ } )^{2} $(ID_{\nu })^{2}$ } $A^{\mu }(F)$ 에서는 $(ID_{\nu })^{2}$ $A(F,(\lambda \gamma y;\gamma \prec \mu \land y\in J_{A}^{\gamma }),\mu ,x)$ $A^{\mu }(F)$ ( $A^{\mu }(F)$ ) ( F ) ( $A(F,(\lambda \gamma y;\gamma \prec \mu \land y\in J_{A}^{\gamma }),\mu ,x)$ ) 、 $A(F,(\lambda \gamma y;\gamma \prec \mu \land y\in J_{A}^{\gamma }),\mu ,x)$ $displaystyle$ A $A(F,(\lambda \gamma y;\gamma \prec \mu \land y\in J_{A}^{\gamma }),\mu ,x)$ ( F ) ) $A(F,(\lambda \gamma y;\gamma \prec \mu \land y\in J_{A}^{\gamma }),\mu ,x)$ ） $A(F,(\lambda \gamma y;\gamma \prec \mu \land y\in J_{A}^{\gamma }),\mu ,x)$ $。$ $(\lambda \gamma$ y $;\gamma \prec \mu \land$ y $\in$ J_ ${A}^{\gamma }),\mu,x$ $x$ 서x {\ $displaystyle$ x}는 $x$ 식별 변수입니다. $J_{A}^{\mu }$ 은 각 $\mu \prec \nu$ $J_{A}^{\mu }$ $({displaystyle$ $J_$ ${$ A}^{\ $mu$ $\mu \prec \nu$ 가 $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ { $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ （ $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ ） $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ 의 (정의 $가능한 세트$ 중) 최소 고정점임을 나타냅니다 $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ $(J_{A}^{\gamma }_{\gamma \prec$ $\mu$ $\Gamma _{A}^{\mu }(S)=\{n\in \mathbb {N} |(\mathbb {N} ,(J_{A}^{\gamma })_{\gamma \prec \mu }\}$ $\gamma \prec \mu$ 에 $\gamma \prec \mu$ 대해 $앞$ 의 모든 $J_{A}^{\gamma }$ $J_{A}^{\gamma }$ ${\$ {\ $displaystyle J_{A}^{\$ $gamma$ 가 파라미터로서 사용되는 것에 주의해 주십시오.

다음으로 I ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ ≺ ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ D ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ I D ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ $、$ { \ $textstyle ID$ _ { \ $prec$ \ $nu$ } = \ $bigcup$ _ { \ $xi$ \ $prec$ \ $nu$ } $ID$ _ { \ $xi$ 를 ${\textstyle ID_{\prec \nu }=\bigcup _{\xi \prec \nu }ID_{\xi }}$ 합니다.

변종

${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ^ $^$ （） ^ （） ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ （） $displaystyle$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ^ （）） $_$ { \ $nu$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ - ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ^ $（$ ）） ^ （） - ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ^ （） $displaystyle$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ ）（） ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ 。 ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ { ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ style $（$ $）$ （）。 $I\subseteq \mathbb {N}$ I $I\subseteq \mathbb {N}$ N {\ $display$ I $\subseteq \mathbb {N}$ 은 $I\subseteq \mathbb {N}$ (는) 단조 연산자 $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ : $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ( $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ) $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ( $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ ) \ $display$ style \ $Gamma : P$ ( $N$ ) \ $rightarrow$ P ( $N$ ) $\Gamma :P(N)\rightarrow P(N)$ 、 $I$ style style of of $ofstylestyle$ of of of a $I$ a a of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of a of of of if of a of $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ T O ( I $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ^ $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ) $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ P $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ( $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ 0 $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ) \ $displaystyle$ PTO ( { \ $widehat$ \ $mathsf$ { $ID } _$ { { 1} = \ $psi$ ( \ Omega ^ { \ $varepsilon _$ { 0 $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ) ) = \ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ O $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ （ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ . $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ ））。

${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ ${\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ $^$ （）（） ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ ） {\ # $displaystyle$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ （ $）$ （） $displaystyle$ （ $））$ 。 ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ D ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ # { $style {ID} _$ { \ $nu }$ \ # ${\mathsf {ID}}_{\nu }\#$ } 에서는 최소 고정점이 아닌 고정점을 사용할 뿐만 아니라 양의 공식에만 유도됩니다. $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ T $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ ( $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ 1 $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ # ) $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ （ $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ （ $displaystyle$ PTO ( { \ $mathsf$ { $ID$ } $_ {$ 1} \ # ) $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ \ $psi$ ( \ Omega $}$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1}\#)=\psi (\Omega ^{\omega })$ )는, $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ T $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ( I $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ 1 )는, P T O ( $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ D $PTO({\widehat {\mathsf {ID}}}_{1})=\psi (\Omega ^{\varepsilon _{0}})$ ^ 1 )는 한층 더 약해집니다.

$W$ - ${\mathsf {W-ID}}_{\nu }$ ${\mathsf {W-ID}}_{\nu }$ ${\$ （ { style \ $mathsf$ { ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ W - ID } } $_$ { \ $nu }$ } ）는 ${\mathsf {W-ID}}_{\nu }$ W-type 기준으로 I ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ ${\$ 의 ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ 베리에이션 중 가장 약합니다.일반적인 반복 유도 정의와 비교하여 약해지는 양은 2차 산술의 특정 하위 시스템이 주어진 막대 유도를 제거하는 것과 동일합니다. $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ O ( $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ - $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ 1 ) $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ 0 ( $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ × $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ ) $PTO({\mathsf {W-ID}}_{1})=\psi _{0}(\Omega \times \omega )$ { $displaystyle$ PTO ( { \ $mathsf$ { W - $ID$ } _ {1} =\ $psi$ _ ${0}(\$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ \ $times$ \ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ $）$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ ) $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ displaydisplaydisplaydisplaydisplay $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay 。

${\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}$ ( ${\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}$ ${\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}$ ) ${\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}$ ( $style { U$ ( $ID$ } $_$ { \ $nu$ } { \ $mathsf$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ { ${\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}$ } } )는 I ${\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}$ ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ 의 ${\mathsf {ID}}_{\nu }$ "접기" 강화입니다 (\ $display$ style ${ID} _$ { \ $nu }$ ）。정확히 1차 산술은 아니지만, 얻을 수 있는 것을 포착합니다.강도 증가량은 $\varepsilon _{0}$ 0 $({$ _ ${0})$ 에서 $\varepsilon _{0}$ $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ 0 $({$ _{ $0$ $\Gamma _{0}$ 으로 : $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ T $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ ( $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ D 1) $=$ ( ( $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ + 1) $PTO({\mathsf {ID}}_{1})=\psi (\varepsilon _{\Omega +1})$ ({ $displaystyle$ PTO $({\mathsf {ID$ }_ ${1$ }\psi $})$ 로 증가량과 같다. $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ T $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ O ( $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ ( $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ 1 ) $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ ( ( $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ + $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ 1 $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ ) { $displaystyle$ PTO ( { \ $mathsf$ { $U （ ID$ } _ { \ $mathsf$ { } ) = \ $psi$ ( \ $Gamma$ _ { \ $Omega$ + 1 $}$ ) $PTO({\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}})=\psi (\Gamma _{\Omega +1})$ } 。

결과.

> > 0으로 하자. t₀ T에 μ 미만의 기호_μ D가 없을 경우 ID로_ν "a w₀ W"를 증명할 수 있다.
ID는 $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ 1 - $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ A $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ + $\Pi _{1}^{1}-CA+BI$ { $displaystyle$ \ $Pi$ _ { $1}^{CA+BI$ 에 포함되어 있습니다_ω.
$\Pi _{2}^{0}$ $\Pi _{2}^{0}$ 0 $\Pi _{2}^{0}$ \ $display$ \ $Pi$ _ { $2$ }^ $0}$ - sentence $\Pi _{2}^{0}$ $\forall x\exists y\varphi (x,y)(\varphi \in \Sigma _{1}^{0})$ （ $\forall x\exists y\varphi (x,y)(\varphi \in \Sigma _{1}^{0})$ , y ) $\forall x\exists y\varphi (x,y)(\varphi \in \Sigma _{1}^{0})$ $\forall x\exists y\varphi (x,y)(\varphi \in \Sigma _{1}^{0})$ ）（ $display$ style \ $forall$ x \ $exists$ y \ $varphi ( x$ , y )(x , y ) $（ varphi$ \ in \ $Sigma$ _ 1 }^ $0$ })가 pable에 $p\in N$ 하는_ν 경우, patibma { 0 }이 $\forall x\exists y\varphi (x,y)(\varphi \in \Sigma _{1}^{0})$ 있습니다. $)(\displaystyle \forall$ n $\geq$ p $\exists$ k < $H_{D_{0}D_{\nu$ }^{ $n}0}($ 1)\ $varphi(n,k$
문장 A가 모든 < >의 ID로 증명_ν 가능한 경우 $\vdash _{k}^{D_{\nu }^{k}0}A^{N}$ $\vdash _{k}^{D_{\nu }^{k}0}A^{N}$ $\vdash _{k}^{D_{\nu }^{k}0}A^{N}$ k $\vdash _{k}^{D_{\nu }^{k}0}A^{N}$ $\vdash _{k}^{D_{\nu }^{k}0}A^{N}$ N { $displaystyle \vdash$ _ { $k$ }^{ $D_{\nu$ }^{ $k}}A^{N$ 이 존재하게 됩니다.

증명 이론 서수

ID의 증명_<ν 이론 서수는 $\psi _{0}(\Omega _{\nu })$ ( $\psi _{0}(\Omega _{\nu })$ $){$ $displaystyle \psi$ _ ${0}(\Omega$ _ ${\nu$ $\psi _{0}(\Omega _{\nu })$ 과 같습니다.
ID의 증명_ν 서수는 $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ 0 ( $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ ω $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ + $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ ) $= ($ $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ ( $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ 1 $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$ ){ $displaystyle$ \ $psi _{\Omega$ _{\nu }+1} =\ $psi _{0}(\Omega$ _ ${\nu$ } + $1$ )과 같습니다. $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})$
${\widehat {ID}}_{<\omega }$ D의 ${\widehat {ID}}_{<\omega }$ 이론 순서 ${\widehat {ID}}_{<\omega }$ < ${\widehat {ID}}_{<\omega }$ \ $widehat$ } $ID}}_{<\omega$ }}은 ${\widehat {ID}}_{<\omega }$ (는) $(\$ _ ${0$ 과 같습니다.
${\widehat {ID}}_{\nu }$ 의 ${\widehat {ID}}_{\nu }$ 이론 순서 ^ $^$ ^ { $displaystyle$ } {\ $widehat$ } $\nu <\omega$ $}}_{\nu }$ 는 ${\widehat {ID}}_{\nu }$ $<\displaystyle \nu <\mega$ }에 $\nu <\omega$ $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ " $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ ( $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ " $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ , $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ ) $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ , $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ 0 $)\display$ style \ $varphi$ ( \ $varphi ( \nu ,$ 0 $\varphi (\varphi (\nu ,0),0)$ 와 같습니다.
${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ D의 ${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ 이론 순서 ${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ ^ ${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ ^ ${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ （ $α$ , ${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ ） { displaystyle }{ $widehat$ } $ID}}_{\varphi(\alpha,\beta)}}$ 는 ${\widehat {ID}}_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ ( $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ " ( $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ , $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ β - $displaystyle \varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta$ - $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ 1 $\varphi (1,0,\varphi (\alpha +1,\beta -1))$ 입니다 $.$
${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ 의 ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ 이론 순서 ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ < ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ ( 0 ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ , ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ ) { $displaystyle$ { \ $wide$ hat ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ } $ID}}_{{\varphi(0,\$ alpha)}는 ${\widehat {ID}}_{<\varphi (0,\alpha )}$ $\alpha >1$ $\varphi (1,\alpha ,0)$ $>$ 1 {\ $displaystyle$ \alpha > $\varphi (1,\alpha ,0)$ $1$ $\varphi (1,\alpha ,0)$ } {\ $displaystyle \varphi(1,\alpha,0$ 입니다.
${\widehat {ID}}_{<\nu }$ D의 ${\widehat {ID}}_{<\nu }$ 이론 순서 ${\widehat {ID}}_{<\nu }$ < ${\widehat {ID}}_{<\nu }$ \ $widehat$ } $\nu \geq \varepsilon _{0}$ $}}_{{\nu },$ 0 ${\widehat {ID}}_{<\nu }$ $(\displaystyle \nu \geq \varepsilon$ _ ${0$ })은 $\nu \geq \varepsilon _{0}$ $\varphi (1,\nu ,0)$ ( $\varphi (1,\nu ,0)$ , $")\displaystyle \varphi (1,\nu,0$ 와 같습니다.
$ID_{\nu }\#$ $ID_{\nu }\#$ $ID_{\nu }\#$ # ( \ $displaystyle ID$ _ { \ $nu }$ \ # )의 $ID_{\nu }\#$ $ID_{\nu }\#$ 이론 서수는 " $\varphi (\omega ^{\nu },0)$ ( " $\varphi (\omega ^{\nu },0)$ , $\varphi (\omega ^{\nu },0)$ ) \ $displaystyle$ \ $varphi$ ( \ $obega$ ^ { \ $nu$ } , 0 ) $\varphi (\omega ^{\nu },0)$ . . . $\varphi (\omega ^{\nu },0)$ the the 。
$ID_{<\nu }\#$ D $ID_{<\nu }\#$ < $ID_{<\nu }\#$ # { \ $displaystyle ID$ _ { \ $nu }$ \ # }의 $ID_{<\nu }\#$ 증명 이론 서수는 " ( $\varphi (0,\omega ^{\nu +1})$ , " $\varphi (0,\omega ^{\nu +1})$ + $\varphi (0,\omega ^{\nu +1})$ 1 ) $\varphi (0,\omega ^{\nu +1})$ { $display$ style \ $varphi$ ( $0$ , \ $메가$ ^ { \ nu + $1$ ) $\varphi (0,\omega ^{\nu +1})$ 입니다.
W $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ ( $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ , $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ β $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ ) { $displaystyle$ W { \ $textrm$ { - $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ } )의 증명 이론 순서 $ID_{\varphi(\alpha,\beta)}$ 는 $W{\textrm {-}}ID_{\varphi (\alpha ,\beta )}$ 0 $\psi _{0}(\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta )}\times \varphi (\alpha +1,\beta -1))$ $α$ + $\psi _{0}(\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta )}\times \varphi (\alpha +1,\beta -1))$ , $\psi _{0}(\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta )}\times \varphi (\alpha +1,\beta -1))$ - $)(\display \psi$ _ ${0}(\varphi(\alpha,\beta)}\times \varphi(\ala$ + $1,\beta$ -1))와 $같습니다$
W $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ - $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ D $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ < $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ ( $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ , $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ ) { $displaystyle$ W ${\textrm {-}}$ 의 $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ 이론 순서 $ID_{<\varphi (\alpha ,\beta$ )}는 $W{\textrm {-}}ID_{<\varphi (\alpha ,\beta )}$ $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ 0 ( $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ + $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ , $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ - $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ ) $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ ( $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ , $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ β - $\psi _{0}(\varphi (\alpha +1,\beta -1)^{\Omega _{\varphi (\alpha ,\beta -1)}+1})$ ) $(\displaystyle \psi$ _ ${0}(\varphi (\alpha$ + $1,\beta$ - 1 $)^{\Omega$ _ ${\varphi (\$ valphi (\ $beta$ - 1 ) } ) )입니다 $.$
U $U(ID_{\nu })$ ( $U(ID_{\nu })$ $U(ID_{\nu })$ $U(ID_{\nu })$ ) { $displaystyle$ U ( $ID$ _ { \ nu $}$ )의 $U(ID_{\nu })$ $U(ID_{\nu })$ 이론 서수는 $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ ( " $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ , $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ , $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ + $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ 1) $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$ { $displaystyle \psi$ _ { $0$ } ( \ $varphi$ ( $\ nu$ , $0$ , \ Omega + $1)$ 입니다 $\psi _{0}(\varphi (\nu ,0,\Omega +1))$
U $I$ D $U(ID_{<\nu })$ < $U(ID_{<\nu })$ ) $U(ID_{<\nu })$ ) ） { $displaystyle$ U $(ID_$ {\ $nu$ } )의 $U(ID_{<\nu })$ 증명 이론 서수는 $\psi _{0}(\Omega ^{\Omega +\varphi (\nu ,0,\Omega )})$ $\psi _{0}(\Omega ^{\Omega +\varphi (\nu ,0,\Omega )})$ ( $\psi _{0}(\Omega ^{\Omega +\varphi (\nu ,0,\Omega )})$ 0 + $\psi _{0}(\Omega ^{\Omega +\varphi (\nu ,0,\Omega )})$ ) ( $\psi _{0}(\Omega ^{\Omega +\varphi (\nu ,0,\Omega )})$ , $0$ , $\psi _{0}(\Omega ^{\Omega +\varphi (\nu ,0,\Omega )})$ ) \ $displaystyle$ \ $psi$ _ $0$ （ $Omega$ ^ { \ $Omega$ + \ $varphi$ \ $0 ）$ 、 0 ）。
ID의 증명₁ 이론 서수(Bachmann-Howard 서수)는 $(\$ ${\mathsf {KP\omega }}$ {\(\ $displaystyle\mathsf {KP\mega$ $(\$ style $\display\mathsf {C})$ 의 ${\mathsf {CZF}}$ 증명 이론 서수이기도 합니다.
W-ID의_ω 증명 이론 서수( $\psi _{0}(\Omega _{\omega }\varepsilon _{0})$ 0 $\psi _{0}(\Omega _{\omega }\varepsilon _{0})$ 0 $)(\displaystyle \psi$ _ ${0}(\Omega$ _ ${\obega$ }\ $varepsilon$ _{ $0$ 도 W ${\mathsf {W-KPI}}$ - ${\mathsf {W-KPI}}$ 의 ${\mathsf {W-KPI}}$ 이론 서수 $(\display$ style \ $mathf {W-K$ 입니다.
ID의 증명_ω 이론 서수(Takeuti-Feferman-Bucholz 서수)는 K ${\mathsf {KPI}}$ $(\$ $style$ ${\mathsf$ {KPI ${\mathsf {KPI}}$ $\Pi _{1}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ - $\Pi _{1}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ + $\Pi _{1}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ style $\Pi {1-{math1-s$ })의 증명 이론 서수이기도 합니다. $I}}$ 및 $\Pi _{1}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ 1 $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ - $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ A + $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}$ $(\displaystyle$ \ $Delta$ _ ${2$ }^{ $1}-{\mathsf {CA}+{\mathsf {B$ }) $I$
ID의 증명_<ω^ω 이론 서수( 0 $\psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})$ ( $\psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})$ $){$ $displaystyle \psi$ _ ${0}(\Omega$ _ ${\$ Omega $^{\obega$ 도 $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CR}}$ $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CR}}$ - $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CR}}$ 의 증명 이론 서수 $({displaystyle \Delta$ _{ $2}^$ 1-{\ $math$ 입니다 $.$
ID의 증명_<ε0 이론 서수( $\psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})$ 0 $\psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})$ 0 )({ $displaystyle \psi$ _ ${0}(\varepsilon _{0$ 도 $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CA}}$ - $(\$ }^{ $1-{$ 0}) 및 { $maths})$ 의 $\Delta _{2}^{1}-{\mathsf {CA}}$ 증명 이론 서수이다.