토마의 함수

For all ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} ,}$ we also have ${\displaystyle x+n\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} }$ and hence ${\displaystyle f(x+n)=f(x)=0,}$

For all ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ,\;}$ there exist ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ and ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle \;x=p/q,\;}$ and ${\displaystyle \gcd(p,\;q)=1.}$ Consider ${\dis$$playstyle x+n=(p+nq)/q}$. If ${\displaystyle d}$ divides ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$, it divides ${\displaystyle p+nq}$ and ${\displaystyle p}$. Conversely, if ${\displaystyle d}$ divides ${\displaystyle p+nq}$ and ${\displaystyle q}$, it divides ${\displaystyle (p+}$${\displaystyle (p+nq)-nq=p}$ and ${\displaystyle q}$. So ${\displaystyle \gcd(p+nq,q)=\gcd(p,q)=1}$, and ${\displaystyle f(x+n)=1/q=f(x)}$.

x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= p /${\displaystyle q}$ /$q$ {\$displaystyle x_{0}=p/$${\displaystyle q\mathbb{}}$}은(는) 임의의 합리적$$ ${\displaystyle 숫자}$로, p${\displaystyle q}$ Z${\displaystyle }$,$$q${\displaystyle \in \mathb$ {Z$},\$$q$$\in \mathb$ {$N$$},$ p$$${\displaystylease q}$ coprime$$.

이렇게 하면 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle q}$. ${\displaystyle f(x_{0})=1/q.}$가 설정된다.

Let ${\displaystyle \;\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \;}$ be any irrational number and define ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+{\frac {\alpha }{n}}}$ for all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

이러한 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는${\displaystyle {}_{}}$ 모두 불합리하므로, 모든$$ $n{\displaystyle }$${\displaystyle n\mathbb{}}$ N${\displaystyle }$. ${\$$displaystyle$f$(x_{n}}=0$})에 대해$$ f${\displaystyle (}$ x ) = 0$.$ {\$displaystyle n.$ {\$in \mathb {N}}}}$

이는 ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha n}}{},}$ ${\$ = ${\frac {\$$frac$ $}{n},\quad$$$${\displaystyle \},f{}_{}{xn}_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{1q}}{}.}${\$displaystyle \quad$f($x_{0}-{n}}}}}}}}}},{q}}.$$}$

Let ${\displaystyle \;\varepsilon =1/q\;}$, and given ${\displaystyle \delta >0}$ let ${\displaystyle n=1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil .}$ For the corresponding ${\displaystyle \;x_{n}}$ we have

${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= 1 /${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\$}-$f(x_{n$}})-f(x_{n$}})$ =$1/q\geq \barepsilon \cs$ \cs$$$}$ 및

${\displaystyle x_{0}-x_{n} ={\frac {\alpha }{n}}={\frac {\alpha }{1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}<{\frac {\alpha }{\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}\leq \delta ,}$

이는 $정확히{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 불연속성에 대한 정의 입니다$.$

$f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f$$}$은(는) $기간{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$과(${\displaystyle 와\mathbb{}}$) 0$$${\displaystyle \{}$$$Q, {\$displaystyle$ 0$\$${\displaystyle in\mathrm{}}$ \mathb ${Q$${\displaystyle \}}$과$($$와)$의 모든 비합리적인 점을 확인하는 데 충분하다$.$\;}이제 을 ε;0으로 가정하자, 나는}과 x0∈ 나는 Q∖.{\displaystyle x_{0}\in I\smallsetminus \mathbb{Q}.}그 reals의 아르키메데스 성질에 따르면, r∈ N{\displaystyler\in \mathbb{N}}이 존재하 1/r<>, ε,{\displaystyle 1/r< N{\displaystyle \varepsilon>0,\,i\in \mathbb{N}∈.;\varepsilon$,}$ 및 \$mathb${$N}$에 k ${\displaystyle i_{}n\mathbb{}}$N , ${\displaystyle$\;$k_{i}\$in \mathb {N}이$$(가) 있다$.$

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle$i=$1,\ldots,r}$에 0 < i< > x + ${\displaystyle 0<{\frac {k_{i}}}{0}<\frac {k_{i}+1}{i$}}}{i$}}{$i}}}}}.$}$

${\displaystyle {i번째\mathrm{}}_{}}$ 하한 및 상한에$$ 대한 x $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 최소 거리는 동일하다.

${\displaystyle d_{i}:=\min \좌측 \{\좌측 x_{0}-{\frac {k_{i}}}{{i}}\우측 x_{0}-{\frac {k_{i}+1}{i}}우측 \우측 \우측 \}}$

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을(를) 모든 정밀하게 많은 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle d_{i}$의 최소값으로$$ 정의한다.$}$

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle :=\underset{}{min}}$ ${\displaystyle \underset{}{1\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ i ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ ≤ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ r ${\displaystyle \underset{}{r}}$ r r ${\displaystyle \underset{}{}}$ \ \ \ \ \$i$ ${\displaystyle \=$ :=\$min _{1\$leq i$\$leq r$}\d_{$i}\},\;}, 이렇게 되도록$$.

for all ${\displaystyle i=1,...,r,}$ ${\displaystyle \quad x_{0}-k_{i}/i \geq \delta \quad }$ and ${\displaystyle \quad x_{0}-(k_{i}+1)/i \geq \delta .}$

즉, 이 모든 합리적인 숫자 ${\displaystyle {ki}_{}{}_{}}$ i$$, (${\displaystyle k_{}\mathrm{i}}$ + 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/${\displaystyle i}$, {\$displaystyle k_{i$}/i$,\;(k_{i}+$1)/$i,\}$는 x${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ . {\$displaystyle$x_{0}의 $\Delta {\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ \delta $\}$ -nearhdelta$$ $}$을 $벗어나$ 있다.$}$

Now let ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ with the unique representation ${\displaystyle x=p/q}$ where ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ are coprime.그 다음, > r$,$ {\$displaystyle q$>r$,\;},$ 따라서,

${\displaystyle f(x)=1/q<1/r<\varepsilon .}$

마찬가지로 모든 비합리적 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ I ,${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle \mathrm{f}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ,${\$ x$\in$ I$,\;f(x)=0=f(x_{0}),\;}$ 따라서 > 0 ${\displaystyle$ $\varepsilon$$>0}$이면 ($적게$ 작은) > $0$을 선택할 수 있다$.$

${\displaystyle x-x_{0}<\property \f(x_{0})-f(x) =f(x)<\varepsilon .}$

따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $R{\displaystyle \mathbb{}}$∖ Q${\displaystyle }$. ${\$ {$Q} .\quad }$에서 연속적으로 나타난다$$.

• 합리적인 숫자의 경우 이는 비연속성에서 나타난다.

• 비합리적인 숫자의 경우:

For any sequence of irrational numbers ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ with ${\displaystyle a_{n}\neq x_{0}}$ for all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$ that converges to the irrational point ${\displaystyle x_{0},\;}$ the sequence ${\displaystyle (f(}$${\displaystyle (f(a_{n}))_{n=1}^{\infty }}$ is identically ${\displaystyle 0,\;}$ and so ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left {\frac {f(a_{n})-f(x_{0})}{a_{n}-x_{0}}}\right =0.$$}$

According to Hurwitz's theorem, there also exists a sequence of rational numbers ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }=(k_{n}/n)_{n=1}^{\infty },\;}$ converging to ${\displaystyle x_{0},\;}$ with ${\displaystyle k_{n}\in \mathbb {Z} }$ and $$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ coprime$$ k/ - x < 1 n . ${\$$\;}$

모든 n의 F, f.(x0)bn−)0대리자 그러므로{\displaystyle,}f(bn)− 1/n− 01/(5⋅ n2))5⋅ n≠ 0{\displaystyle \left{\frac{f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right>{\frac{1/n-0}{1({\sqrt{5}}\cdot n^{2})}}={\sqrt{5}}\cdot 0\n\neq.}등 f{\display.스타일$f}$은(는) 비합리적인 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{0}$ 전혀 다를 수 없다.$}$