수학 이론 통일
Unifying theories in mathematics |
역사적으로 수학의 통일 이론에 도달하려는 시도가 여러 번 있었다.학계에서 가장 존경받는 수학자들 중 일부는 전체 주제를 하나의 이론에 맞추어야 한다는 견해를 피력했다.
역사적 관점
통일의 과정은 수학이 무엇을 구성하는지를 하나의 학문으로서 규정하는 데 도움을 주는 것으로 보일 수도 있다.
예를 들어, 역학과 수학 분석은 미분 방정식 개념에 의해 통합된 18세기 동안 하나의 과목으로 일반적으로 결합되었다. 반면 대수학과 기하학은 크게 구별되는 것으로 간주되었다.이제 우리는 분석, 대수학, 기하학을 수학의 일부로서 고려하는데, 이는 물리학과 같은 역학은 관찰로부터 진행되어야 하는 반면, 그것들이 주로 연역적인 형식 과학이기 때문이다.다지관의 새로운 이론에 기초하여, 구식의 해석 역학은 이제 공감적 위상이라는 관점에서 표현되어, 내용상의 큰 손실은 없다.
수학 이론
이론이라는 용어는 수학 내에서 정의, 공리, 이론, 예시 등의 자기 일관성을 갖춘 본체를 의미하기 위해 비공식적으로 사용된다.(예로는 집단 이론, 갈루아 이론, 통제 이론, K-이론 등이 있다)특히 가상의 함축은 없다.따라서 통일론이라는 용어는 수학자들의 행동을 연구하는 데 사용되는 사회학적 용어에 가깝다.발견되지 않은 과학적 연결고리와 유사할 것이라는 추측이 전혀 없을지도 모른다.언어학이나 가이아 가설에서 프로토 월드와 같은 개념에 대한 수학 내에는 실제로 공감대가 없다.
그럼에도 불구하고 수학 역사 내에서는 개별적인 정리 집합이 단일 통일 결과의 특별한 경우로 밝혀지거나 수학 영역을 개발할 때 어떻게 진행해야 하는지에 대한 하나의 관점이 복수의 과목에 성과적으로 적용될 수 있는 에피소드가 여러 번 있었다.
기하학 이론
잘 알려진 예는 분석 기하학의 개발이었는데, 데카르트나 페르마트와 같은 수학자들의 손에 의해 특수 유형의 곡선과 표면에 대한 많은 이론들이 대수 언어(그 다음 새로운 것)로 명시될 수 있다는 것을 보여주었고, 이 이론들은 각각 같은 기법을 사용하여 증명될 수 있었다.즉, 기하학적 해석이 구별된다 하더라도 이론은 대수학적으로 매우 유사했다.
1859년에 Arthur Cayley는 Cayley-Klein 지표를 사용하여 미터법 기하학의 통일을 시작했다.후에 펠릭스 클라인은 비유클리드 기하학의 기초를 제공하기 위해 그러한 지표를 이용했다.
1872년 펠릭스 클라인은 19세기 동안 발달한 기하학의 많은 가지(아핀 기하학, 투영 기하학, 쌍곡 기하학 등)가 모두 획일적으로 처리될 수 있다고 언급했다.그는 기하학적 물체가 불변하는 집단을 고려하면서 이렇게 했다.이 기하학의 통일은 Erlangen 프로그램의 이름으로 통한다.[1]
각도의 일반 이론은 부위의 불변 측정으로 통일될 수 있다.쌍곡선은 자연 로그와 관련된 영역인 면적으로 정의된다.원각은 반지름이 2의 제곱근과 같은 원을 지칭할 때 면적 해석도 한다.이러한 영역은 각각 쌍곡선 회전과 순환 회전에 대해 불변한다.이러한 부착 변환은 특수 선형 그룹 SL(2,R)의 요소에 의해 영향을 받는다.이 그룹의 검사에서는 기울기를 증가시키거나 감소시키지만 기울기의 차이는 변하지 않는 전단 매핑이 나타난다.경사 차이에 의존하는 영역으로 해석되는 세 번째 유형의 각도는 전단 매핑의 영역 보존 때문에 불변한다.[2]
공리화를 통해
20세기 초, 수학의 많은 부분이 유용한 공리들을 묘사하고 그 결과들을 연구함으로써 다루어지기 시작했다.따라서 예를 들면, 콰터니온 학회에서 고찰한 것과 같은 "하이퍼컴플렉스 숫자"에 대한 연구는 고리 이론의 가지로서 자명적인 토대 위에 놓였다(이 경우, 복잡한 숫자의 분야 위에 연관성 있는 알제브라들의 구체적 의미와 함께).이런 맥락에서, 지수 링 개념은 가장 강력한 단수 중 하나이다.
이는 응용 프로그램의 필요성이 그때까지 지속되어 왔기 때문에, 수학의 상당 부분이 알고리즘(또는 알고리즘이 되는 것에 가까운 과정)을 통해 학습된다는 것을 의미했기 때문에, 일반적인 방법론의 변화였다.산수는 여전히 그런 식으로 가르쳐진다.수학의 독립된 분기로서 수학논리의 발달과 평행하는 것이었다.1930년대까지 상징 논리 그 자체는 수학에 적절히 포함되었다.
대부분의 경우, 연구 중인 수학적 물체는 집합으로 정의될 수 있으며(비수학적으로), 또는 더 비공식적으로 추가 연산 같은 추가 구조를 가진 집합으로 정의할 수 있다.세트 이론은 이제 수학적 테마를 개발하는 언어의 프랑카 역할을 한다.
부르바키
자명적인 발전의 원인은 부르바키 수학자들 집단이 본격적으로 떠맡았다.극단적으로 보면, 이러한 태도는 수학이 가장 보편적으로 발달할 것을 요구하는 것으로 생각되었다.하나는 가장 일반적인 공리에서 시작되었고, 그 다음엔 전문화되었는데, 예를 들어, 모듈들을 정류 링 위에 도입하고, 절대적으로 필요한 경우에만 실제 숫자에 대한 벡터 공간으로 제한하는 것이다.전문화가 일차적인 관심의 정리였을 때도 이야기는 이런 식으로 진행되었다.
특히 이러한 관점은 수학 분야(예: 콤비네이터학)의 연구 대상이 매우 자주 특별하거나 피상적으로만 과목의 더 자명한 분야와 관련될 수 있는 상황에서 발견되는 분야에는 거의 가치를 두지 않았다.
경쟁자로서 카테고리 이론
범주론은 20세기 후반에 처음 개발된 수학의 통일 이론이다.이 점에서 그것은 이론의 대안이자 보완이다."범주적" 관점에서 핵심 테마는 수학은 특정한 종류의 개체(Lie groups, Banach space 등)뿐만 아니라 그들의 구조를 보존하는 그들 사이의 매핑을 필요로 한다는 것이다.
특히 이것은 수학적인 물체가 동일하다고 간주되는 것이 정확히 무엇을 의미하는지를 명확히 한다.(예를 들어, 모든 등각 삼각형이 동일하거나 크기가 중요한가?)선더스 맥 레인은 충분한 '유독성'을 가진 어떤 개념도 (수학의 다양한 분야에서 발생) 그 자체로 분리하고 공부할 가치가 있다고 제안했다.범주 이론은 거의 틀림없이 다른 현재 접근법보다 그 목적에 더 잘 적응되어 있다.이른바 추상적인 허튼소리에 의존하는 단점은 구체적인 문제의 뿌리에서 탈피한다는 의미에서 어떤 싱겁고 추상적인 것이다.그럼에도 불구하고 범주 이론의 방법들은 수 많은 영역(D-모듈에서 범주형 논리까지)에서 수용에 있어서 꾸준히 진보해 왔다.
연합 이론
덜 큰 규모로, 수학의 서로 다른 두 가지 분야에서의 결과들의 집합들 사이의 유사성은 그 유사점을 설명할 수 있는 통일된 프레임워크가 존재하는가에 대한 의문을 제기한다.우리는 이미 분석 기하학의 예를 주목했고, 보다 일반적으로 대수 기하학의 분야는 기하학적 물체(알지브라질 품종 또는 더 일반적인 체계)와 대수적 물체(이상적 체계) 사이의 연결을 철저히 발전시킨다; 여기 시금석 결과는 힐버트의 Nullstellensatz인데, 대략적으로 말해서 n이 존재한다는 것을 보여준다.두 종류의 물체 사이의 1대1의 경락적 대응
다른 이론들도 같은 시각으로 볼 수 있다.예를 들어 갈루아 이론의 근본적인 정리는 밭의 연장과 밭의 갈루아 집단의 하위집단 사이에 일대일 일치성이 있다고 주장한다.타니야마족타원곡선에 대한 시무라 추측(현재 입증된)은 모듈형 형태로 정의되는 곡선들과 합리적인 숫자에 걸쳐 정의되는 타원곡선 사이에 일대일 일치성을 확립한다.때때로 몬스트러스 문샤인이라는 별명이 붙은 연구 영역은 모듈형 형태와 몬스터로 알려진 유한한 단순 집단 사이의 연결을 개발했는데, 단지 그것들 각각에서 다소 특이한 숫자 196884가 아주 자연스럽게 발생할 것이라는 놀라운 관찰로부터 시작되었다.랭글랜드 프로그램이라고 알려진 또 다른 분야도 명백히 터무니없는 유사성으로 시작하고(이 경우, 특정 집단의 숫자-이론적 결과와 표현 사이의) 두 가지 결과 집합이 모두 골관일 구조를 찾는다.
주요 통합 개념의 참조 목록
이러한 이론의 짧은 목록에는 다음이 포함될 수 있다.
모듈러 이론과 관련된 최근의 발전
잘 알려진 예가 타니야마-다.시무라 추측, 이제 모듈화 정리, 즉 이성적인 숫자에 대한 타원곡선을 각각 모듈 형태로 번역할 수 있다고 제안한 (관련된 L-기능을 보존하는 방법으로) 모듈화 정리.어떤 엄밀한 의미에서든 이것을 이등동형주의와 동일시하는 데는 어려움이 있다.어떤 곡선은 추측이 공식화되기 전(약 1955년)에는 타원곡선(속 1)과 모듈곡선 둘 다인 것으로 알려져 있었다.그 추측의 놀라운 부분은 <1>의 모듈형 곡선인 자코비안들의 인자에 대한 확장이었다.추측이 발표되기 전에는 아마도 그러한 합리적인 요소들이 '충분히' 있을 것이라는 것이 그럴듯하게 느껴지지 않았을 것이다; 사실 그 수치적 증거는 테이블이 그것을 확인하기 시작한 1970년 경까지 미미했다.복잡한 곱셈이 있는 타원곡선의 경우는 1964년 시무라에 의해 증명되었다.이 추측은 일반적으로 증명되기 전에 수십 년 동안 지속되었다.
사실 랭글랜드 프로그램(또는 철학)은 훨씬 더 통일된 추측의 거미줄에 가깝다; 그것은 실제로 오토모픽 형태의 일반 이론이 로버트 랭글랜드에 의해 소개된 L-그룹에 의해 규제되고 있다고 가정한다.L-그룹에 관한 그의 functorial성의 원칙은 자동형식의 알려진 리프팅 형태에 관한 매우 큰 설명적 가치를 가지고 있다(현재 자동형 표현으로 더 광범위하게 연구되고 있다).이 이론은 한 가지 의미에서 타니야마-과 밀접하게 연관되어 있다.시무라 추측, 그 추측이 실제로 반대 방향으로 작용한다는 것을 이해해야 한다.그것은 (매우 추상적으로) 동기의 범주에 있는 물체에서 출발하여 자동 형태의 존재를 요구한다.
또 다른 중요한 관련 포인트는 랭글랜드 접근법이 괴물 밀샤인(Fourier 시리즈로서의 타원 모듈식 함수와 몬스터 그룹 및 기타 산발적인 그룹의 집단 표현 사이의 연결)에 의해 촉발된 전체 개발과는 차이가 있다는 점이다.랭글랜드 철학은 이 연구 라인을 예시하지도, 포함할 수도 없었다.
K이론에서의 이소모르프리즘 추측
아직까지는 덜 발달했지만 수학의 범위가 넓은 또 다른 경우는 K 이론의 일부 부분에 대한 추측 근거다.이제 오랜 문제인 바움-콘스 추측은 K 이론의 이형성 추론이라고 알려진 집단에 다른 사람들이 참여하였다.이것들은 패럴-존스 추측과 보스트 추측을 포함한다.
