양자역학 에서 확률전류 (확률전류 특히 확률을 이질적 인 유체로 생각한다면 확률 전류는 이 유체의 흐름 속도다. 공간과 시간에 따라 변하는 진짜 벡터 다. 확률 전류는 수력역학 에서는 질량 전류 , 전자기학 에서는 전류 와 유사하다. 그러한 장에서와 같이 확률 전류는 연속성 방정식 을 통한 확률 밀도 함수 와 관련된다. 게이지 변환 에서는 확률 전류가 불변 한다.
확률전류의 개념은 시간에 따라 변하는 확률밀도함수를 다룰 때 양자역학 외에 사용되기도 한다. 예를 들어, 브라운 운동과 포커-플랑크 방정식 에서 말이다.
정의(비상대적 3-전류) 자유 스핀-0 입자 비상대적 양자역학에서, 1차원 질량 {\displaystyle m} 파형 함수 function {\displaystyle \Psi } j 는 다음과 같이 정의된다.
j = ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x − Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ x ) = ℏ m ℜ { Ψ ∗ 1 i ∂ Ψ ∂ x } = ℏ m ℑ { Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x } , {\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},} 여기서 ψ \{\ displaystyle \PSI 파형 함수 의 복잡한 결합 을 나타내며 displaystyle \Re} 실제 부분 을, ℑ {\displaystyle \Im} 상상의 부분 을 나타낸다. 확률 전류는 Wronskian W ( ψ {\displaystyle W(\PSI ,\PSI ^{*}}) .
3차원으로, 이것은 다음과 같이 일반화된다.
j = ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ m ℜ { Ψ ∗ ∇ i Ψ } = ℏ m ℑ { Ψ ∗ ∇ Ψ } , {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,} 여기 ℏ {\displaystyle \hbar} Plank 상수 , m {\displaystyle m} 질량 , , {\displaystyle \Psi } ( 파동 함수 , ∇ {\displaystystyle \nablor gradientoperator 를 가리킨다
이것은 운동 운동 운동 운동 운영자 의 관점에서 단순화될 수 있다.
p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p} =-i\hbar \cla } 얻다 j = 1 2 m ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) . {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}\왼쪽(\PSI ^{*}\hat {p}\PSI \mathbf {\p}}\PSI \mathbf {\p}\PSI \matbf{*}\오른쪽)\, }
이러한 정의는 위치 기반(즉, 위치 공간 의 파동 기능에 대해)을 사용하지만 운동 공간 은 가능하다.
전자기장의 스핀-0 입자 위의 정의는 외부 전자기장 의 시스템에 대해 수정되어야 한다. SI 단위 에서 질량 m 과 전하 q 의 전하 입자 에는 전자기장과의 상호작용으로 인한 항이 포함된다.[2]
j = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q A Ψ 2 ] {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}\왼쪽(\PSI ^{*}\hat {p}\PSI \mathbf {\\p}}}\PSI \mathbf {\\\p}\Psi ^{*}\오른쪽)-2q\mathbf {A}\{{{{{{{{{{}}\}오른쪽} 여기서 A A (r ,t )자기 전위 (일명 "A-필드")이다. qA 라는 용어는 모멘텀의 치수를 가지고 있다. Note that p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla } canonical momentum and is not gauge invariant , unlike the kinetic momentum operator P ^ = − i ℏ ∇ − q A {\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }
가우스 단위 에서:
j = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q c A Ψ 2 ] {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} \Psi ^{2}\right]} 여기서 c 는 빛의 속도 다.
전자기장의 스핀-미립자 만약 입자 가 스핀을 가지고 있다면, 그것은 상응하는 자기 모멘트를 가지고 있기 때문에, 전자장과의 스핀 상호작용을 통합하는 추가적인 용어를 추가할 필요가 있다. SI 단위:[3]
j = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q A Ψ 2 ] + μ S s ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} \Psi ^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )} 여기서 S 는 해당 스핀 자기 모멘트 μ와S 스핀 양자 숫자 를 가진 입자의 스핀 벡터다. 가우스 단위에서: j = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q c A Ψ 2 ] + μ S c s ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} \Psi ^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}
고전역학과의 연결 파동함수는 다음 과 같은 복잡한 지수(극 ) 형태로도 작성할 수 있다.[4]
Ψ = R e i S / ℏ {\displaystyle \PSI =Re^{iS/\hbar }}} 여기서 R 과 S 는 r 과 t 의 실제 기능이다.
이렇게 쓰여진 확률밀도는
ρ = Ψ ∗ Ψ = R 2 {\displaystyle \rho =\PSI ^{*}\PSI =R^{2}} 확률 전류는 다음과 같다. j = ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ 2 m i ( R e − i S / ℏ ∇ R e i S / ℏ − R e i S / ℏ ∇ R e − i S / ℏ ) = ℏ 2 m i [ R e − i S / ℏ ( e i S / ℏ ∇ R + i ℏ R e i S / ℏ ∇ S ) − R e i S / ℏ ( e − i S / ℏ ∇ R − i ℏ R e − i S / ℏ ∇ S ) ] . {\displaystyle {\begin{ligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }}\왼쪽(\PSi ^{*}\mathbf {\nabla }}\Psi -\mathbf {\\nabla }\Psi ^{*}\오른쪽) \\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right) \\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right]. \end{정렬}}}
지수 및 R∇R 용어는 다음을 취소:
j = ℏ 2 m i [ i ℏ R 2 ∇ S + i ℏ R 2 ∇ S ] . {\displaystyle \mathbf{j} ={\frac {\hbar }{{2mi}\왼쪽[{\frac {2}}{\hbar }}}S+{\frac {i}{\hbar }{}}}}R^{}\mathbf {\nabla }Srig\right] }
마지막으로 상수를 조합하여 취소하고, R 을2 ρ 으로 대체한다.
j = ρ ∇ S m . {\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla }S}. }
만약 우리가 수력역학에서 질량 유량에 대한 친숙한 공식을 취한다면:
j = ρ v , {\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v},} 여기서 ρ {\displaystyle \rho} v 는 그 속도(파형의 그룹 속도)이며, sS /m 과 연관시킬 수 있는데, 이는 classicalS 와 고전적인 모멘텀 p = mv 를 동일시하는 것과 같다. 이 해석은 해밀턴-자코비 이론 과 맞아떨어진다. p = ∇ S {\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S} 데카르트 좌표는 ∇S 에 의해 주어지는데, 여기서 S 는 해밀턴의 주요 기능 이다.
동기 양자역학을 위한 연속성 방정식 확률 전류와 슈뢰딩거 방정식의 정의는 연속성 방정식을 도출하는 데 사용될 수 있는데, 연속성 방정식은 수력역학 및 전자기학 에 대한 것과 정확히 동일한 형태를 가지고 있다.[5]
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\frac {\reship \rho }{\\mathbf {\cdot \mathbf {j} =0} 여기서 확률밀도 ρ {\ displaystyle \rho \,} ρ ( r , t ) = Ψ 2 = Ψ ∗ ( r , t ) Ψ ( r , t ) . {\displaybstyle \rho(\mathbf {r},t)= \PSI ^{2}=\PSI ^{*}(\mathbf {r},t)\PSI(\mathbf {r},t) }
부피와 관련하여 연속성 방정식의 양쪽을 통합하면 다음과 같다.
∫ V ( ∂ Ψ 2 ∂ t ) d V + ∫ V ( ∇ ⋅ j ) d V = 0 {\displaystyle \int _{V}\왼쪽({\frac {\partial \Psi^{2}}:{\partial t}\오른쪽)\mathrm {d}V+\int _{V}\v(\mathbf {\nabla }\cdot \mathrmathbf {d=0}
그러면 발산 정리 는 연속성 방정식이 적분 방정식 과 동등하다는 것을 암시한다.
∂ ∂ t ∫ V Ψ 2 d V + {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}\int _{V}\Psi ^{2}\mathrm {d} V+} S {\displaystyle \scriptstyle S} j ⋅ d S = 0 {\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0} 여기서 V 는 어떤 볼륨 이고 S 는 V의 경계다. 이것은 양자역학에서 확률 에 대한 보존법칙 이다.
특히 ψ 이 단일 입자를 설명하는 파동함수라면, 앞의 방정식의 첫 번째 용어인 산스 시간 파생의 적분은 입자의 위치를 측정할 때 V 내 의 값을 얻을 확률이다. 두 번째 항은 V 부피에서 확률이 흘러나오는 비율이다. 모두 합쳐서 이 방정식 은 입자가 V로 측정될 확률의 시간 파생상품은 확률이 V 로 흐르는 속도와 동일하다고 기술하고 있다.
전위를 통한 전송 및 반사 스텝 전위 또는 전위 장벽 이 발생하는 지역에서, 확률 전류는 각각 T 와 R의 전송 및 반사 계수와 관련된다. 그들은 입자가 전위 장벽으로부터 반사되거나 그것을 통해 전달되는 정도를 측정한다. 두 가지 모두 만족:
T + R = 1 , (\displaystyleft style T+R=1\... T 와 R 은 다음과 같이 정의될 수 있다. T = j t r a n s j i n c , R = j r e f j i n c , {\displaystyle T={\frac { \mathbf {j} _{\mathrm {trans} } }{ \mathbf {j} _{\mathrm {inc} } }}\,,\quad R={\frac { \mathbf {j} _{\mathrm {ref} } }{ \mathbf {j} _{\mathrm {inc} } }}\,,} 여기서 j inc , j ref , j 는trans 입사, 각각 반영 및 전달 확률 전류, 수직 막대는 현재 벡터의 크기 를 나타낸다. T 와 R 의 관계는 확률 보존을 통해 얻을 수 있다. j t r a n s + j r e f = j i n c . {\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans}+\mathbf {j} _{\mathbf {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrmatrm {inc}\}\, }\, }
장벽에 정규적 인 단위 벡터 n 의 관점에서, 이것들은 동등하게 다음과 같다.
T = j t r a n s ⋅ n j i n c ⋅ n , R = j r e f ⋅ n j i n c ⋅ n , {\displaystyle T=\left {\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right \,,\qquad R=\left {\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right \,,} 여기 서 T 와 R이 음수가 되는 것을 방지하기 위해 절대값이 필요하다.
예 평면파 공간에 전파되는 평면 파형 의 경우:
Ψ ( r , t ) = A e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \PSI(\mathbf {r},t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {}-\omega t)}}}}}} 확률 밀도는 어디에서나 일정하다. ρ ( r , t ) = A 2 → ∂ Ψ 2 ∂ t = 0 {\displaystyle \rho(\mathbf {r},t)=A ^{2}\오른쪽 화살표 {\frac {\partial \Psi ^{2}}{\partial t}=0} (즉, 평면파는 정지 상태 임) 그러나 확률 전류는 0이 아니다 – 파형의 절대 진폭의 제곱이 입자의 속도를 곱한다. j ( r , t ) = A 2 ℏ k m = ρ p m = ρ v {\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r}, t\right)=\좌측 A\right ^{2}{\hbar \hbar \k}\over m}=\frac {\mathbf {}{m}}=\rho \mathbf {v}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
입자의 공간 확률 밀도가 명시적인 시간 의존성이 없더라도 입자가 움직이고 있을 수 있음을 나타낸다.
상자 안의 입자 상자 안의 입자 , 하나의 공간적 차원 및 길이 L의 경우 영역 x L {\displaystyle 0 <x<L}) .
Ψ n = 2 L 죄를 짓다 ( n π L x ) {\displaystyle \PSI _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {n\pi }}{L}x\right)}} 그리고 다른 곳에서는 0이다. 관련 확률 전류는 j n = i ℏ 2 m ( Ψ n ∗ ∂ Ψ n ∂ x − Ψ n ∂ Ψ n ∗ ∂ x ) = 0 {\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0} 그 이후 Ψ n = Ψ n ∗ {\displaystyle \psi _{n}=\psi _{n}^{*}}}}
이산 정의 For a particle in one dimension on ℓ 2 ( Z ) {\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)} H = − Δ + V {\displaystyle H=-\Delta +V} − Δ ≡ 2 I − S − S ∗ {\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }} S {\displaystyle S} t 연산자 {\ displaystyle \ell ^{2}\왼쪽(\mathb {Z} \right)} Then the probability current is defined as j ≡ 2 ℑ { Ψ ¯ i v Ψ } {\displaystyle j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\}} v {\displaystyle v} v ≡ − i [ X , H ] {\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]} X {\displaystyle X} ℓ 2 ( Z ) {\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)} V {\displaystyle V} ℓ 2 ( Z ) {\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right)} − i [ X , H ] = − i [ X , − Δ ] = − i [ X , − S − S ∗ ] = i S − i S ∗ {\displaystyle -i[X ,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\왼쪽[X,\,-S-S^{}\ast }\right]=i-iS^{\ast }}.
그 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다.
j ( x ) ≡ 2 ℑ { Ψ ¯ ( x ) i v Ψ ( x ) } = 2 ℑ { Ψ ¯ ( x ) ( ( − S Ψ ) ( x ) + ( S ∗ Ψ ) ( x ) ) } = 2 ℑ { Ψ ¯ ( x ) ( − Ψ ( x − 1 ) + Ψ ( x + 1 ) ) } {\displaystyle j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}}
참조 ^ 양자장 이론, D. 맥마흔, 맥 그라우 힐 (미국), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 ^ 양자역학, 발렌타인, 레슬리 E, 280권, 잉글우드 절벽: 프렌티스 홀, 1990. ^ 양자역학, E. 자루르, Y. 펠레그, R. 페니니, Schaum's Easy Outlines Crash Course, McGraw Hill (미국), 2006, ISBN 978-0-0-07-145533-6 ^ 분석역학 , L.N. 핸드, J.D. 핀치, 캠브리지 대학 출판부, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 ^ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed, Addison Wesley, 프렌티스 홀 Inc., 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
(는) 
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![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a07a7507e21f4fdf5018c5dc4eecc176b9b43f)
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63c28559ed31c360e70e57c4c2678a864a05833)
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3219a979fb146ecbf95dc0993d1c49ed925c3732)
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b43f12c2c9a1cde24aa52f357ea6123062de27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e446c6fe388f40f7999b28485421d4b7ee447d27)
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4f7e11d5134f1ac0717b2f5b5e01f2c875e561)
유체의 질량 밀도이고, v는 그 속도(
(는) 다음과 같이 정의된다. 
![{\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff86da0eb15dec9bdec0748133ae8b8fdd59d7ae)
![{\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bef507e40c8aa5543f2b8a2ac1a9eead7482ee4)
