제타 함수 정규화

리노말라이제이션과 정규화
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수학과 이론물리학에서 제타함수 정규화는 상이한 합계나 산출물에 유한값을 할당하는 정규화 또는 합계법의 일종으로, 특히 일부 자기 적응 연산자의 결정요인과 추적을 정의하는 데 사용할 수 있다.이 기술은 현재 물리학의 문제들에 일반적으로 적용되지만, 숫자 이론에 나타나는 잘못된 합계에 정확한 의미를 부여하려는 시도에서 기원을 두고 있다.

정의

제타함수 정규화라고 하는 여러 가지 다른 합계 방법이 있다. 가능한 상이한 시리즈 a₁ + a₂ + ....의 합을 정의하기 위해서 말이다.

한 가지 방법은 제타 정규화 합계를 ζ_A(-1)로 정의하는 것이다. 여기서 제타 함수는 다음과 같이 큰 레(s)에 대해 정의된다.

${\displaystyle \zeta _{A}={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^}}}+{cdots }}}}}$

이 합계가 수렴되면 다른 곳에서 분석적 연속성을 통해 수렴한다.

a_n = n일 경우, 제타 함수는 일반적인 리만 제타 함수가 된다.이 방법은 오일러가 시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + ...을 "sum"하기 위해 사용하였다.~ ζ(-1) = -1/12.

호킹(1977)은 라플라시안들의 고유값을 알고 있는 평탄한 공간에서 파티션 함수에 해당하는 제타 함수를 명시적으로 계산할 수 있다는 것을 보여주었다.온도 T = β에서⁻¹ 평탄한 시간 내에 V 볼륨의 큰 상자에 포함된 스칼라 필드 φ을 고려한다.칸막이 함수는 박스 벽면에 0이고 주기 β로 in에서 주기적인 τ을 넣어 얻은 유클리드 공간에 모든 필드에 φ 적분된 경로로 정의된다.이 상황에서 칸막이 함수에서 그는 에너지, 엔트로피 및 필드 φ 방사선의 압력을 계산한다.평탄한 공간의 경우 물리적 양으로 나타나는 고유값을 일반적으로 알고 있지만 곡선 공간의 경우 알 수 없다. 이 경우 무증상 방법이 필요하다.

또 다른 방법은 상이한 무한 제품 aa₁₂....을 exp(-ζ′(_A0)로 정의한다.레이앤싱어(1971)는 이를 이용하여 고유값 a₁, a, ....을₂ 가진 양성 자기 성찰 연산자 A(그들의 적용에 있어서 리만 다지관의 라플라시안)의 결정요인을 정의했으며, 이 경우 제타 함수는 공식적으로 A의^−s 추적이다.Minakshisundaram & Pleijel(1949)은 A가 콤팩트한 리만 다지관의 Laplacian이라면 Minakshisundaram–을 보여주었다.플라이젤 제타 함수는 모든 복잡한 숫자에 공형함수로서의 분석적 연속성을 가지며, 실리(1967)는 이를 콤팩트 리만 다지관의 타원 사이비 차등 연산자 A까지 확장했다.따라서 그러한 연산자의 경우 제타 함수 정규화를 사용하여 결정 인자를 정의할 수 있다."분석적 비틀림"을 참조하십시오.

호킹(1977)은 이 아이디어를 곡선 공간에서의 경로 통합을 평가하는 데 사용할 것을 제안했다.그는 열방정식의 알맹이 추적에 대한 역 멜린 변환에 의한 관계를 이용하여 블랙홀의 지평선과 드 시터 배경과 같이 곡선 배경에서 열 그라비톤과 물질의 퀀타에 대한 파티션 함수를 계산하기 위해 제타 함수 정규화를 연구했다.

예

제타 함수 정규화를 이용할 수 있는 첫 번째 예는 3차원의 양자장의 대량 기여로 평탄한 공간에 있는 카시미르 효과에 나타난다.이 경우에 우리는 분명히 분리가 되는 -3에서 리만 제타 함수의 값을 계산해야 한다.단, 분석적으로 s=-3까지 이어질 수 있는데, 여기서 폴이 없기 때문에 표현에 유한한 값을 부여한다.작업에서 이러한 정규화의 자세한 예는 결과 합이 매우 명백하게 리만 제타 기능(그리고 외관상으로는 레거데마인 분석적 연속성이 첨가제 무한대를 제거하여 물리적으로 유의미한 유한수를 남기는 경우)의 카시미르 효과의 상세한 예에 관한 기사에 제시되어 있다.

제타 함수 정규화의 예는 양자장 이론에서 입자장 에너지의 진공 기대값 계산이다.보다 일반적으로, 제타 기능 접근법을 사용하여 전체 에너지-모멘텀 텐서를 곡선 스페이스타임으로 정규화할 수 있다.^{[1] [2]}

비규제 에너지 값은 진공 모든 소비 모드 0점 에너지에 대한 합계에 의해 주어진다.

${\displaystyle \langle 0 T_{00} 0\rangle =\sum _{n}{n}{\frac {\hbar \omega_}{n}}}}}$

여기서 T ${\$는 에너지-모멘텀 텐서의 제로트 성분이며$$, 총량(적분할 수 있음)은 에너지가 양성으로 취해진다는 것을 상기시키는 절대값인 $Ω$n {\$displaysty \omega$_{$n}$에 걸쳐 확장되도록 이해된다$.$이 합은, 쓰여진 대로, 일반적으로 무한하다(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 일반적으로 n으로 선형이다$$).합계액은 다음과 같이 적음으로써 정해질 수 있다.

${\displaystyle \langle 0 T_{00}s(s) 0\angle =\sum _{n}{n}{\frac {\hbar \opene _{n}}{2}} \omega_{n} ^{-s}}}}$

여기서 s는 복잡한 숫자로 간주되는 어떤 매개변수다.(3차원 공간의 경우) 4보다 큰 실질 s의 경우, 합은 명백하게 유한하므로 이론적으로 평가되는 경우가 많다.

제타-정규화는 물리적 시스템의 다양한 대칭이 보존되는 방식으로 자주 사용될 수 있어 유용하다.제타 함수 정규화는 정합장 이론, 재호르몬화 및 끈 이론의 임계 스페이스타임 치수를 고정하는 데 사용된다.

기타 정규화와의 관계

제타 함수 정규화는 치수 정규화와 동일하다. 참조^[3].그러나 제타 정규화의 주요 장점은 치수 정규화가 실패할 때마다, 예를 들어 계산 ${\displaystyle {inside}_{}}$ i ,${\displaystyle j_{}}$, k ${\$ 계산 내부에 행렬이나 텐서가 있을 경우 사용할 수 있다는 것이다.

디리클레 시리즈와의 관계

제타 함수 정규화는 산술 함수 f(n)에 대한 모든 합계에 분석 구조를 제공한다.그러한 총계는 디리클레 시리즈로 알려져 있다.정규화된 양식

${\displaystyle {\tilde{f}}=\sum _{n=1}^{\nf(n)^{-s}}$

합계의 분산을 복잡한 s-평면의 단순 극으로 변환한다.숫자 계산에서 제타 함수 정규화는 수렴 속도가 극히 느리기 때문에 부적절하다.수치적 목적을 위해, 보다 빠르게 수렴되는 합은 지수적 정규화로서, 다음과 같다.

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\inf(n)e^{-tn}.}$

이것을 f의 Z 변환이라고 부르기도 하는데, 여기서 z = exp(-t)이다.지수화 및 제타정규화의 분석 구조는 관련이 있다.지수 합을 Laurent 시리즈로 확장하여

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}+\cdots }}}}$

제타 시리즈가 그 구조를 가지고 있다는 것을 알게 된다.

${\displaystyle {\tilde{f}}={\frac {a_{N}}{s-N}+\cdots .}$

지수 및 제타-조절기의 구조는 멜린 변환에 의해 관련된다.하나는 감마 함수의 적분 표현을 사용하여 다른 것으로 변환할 수 있다.

${\displaystyle \Gamma(s)=\int _{0}^{{0}^{\t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

그래서 정체성을 갖게 된 거야

${\displaystyle \Gamma(s){\tilde{f}}=\int _{0}^{\infit }t^{s-1(t)\,dt}$

지수 및 제타-조절기 관련 및 s-평면의 폴을 Laurent 시리즈의 다이버전트 용어로 변환한다.

열 커널 정규화

합계

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s \omega_{n}}}}}}$

열 커널 또는 열 커널 정규화 합이라고 부르기도 한다. 이 $이름$은 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$n {\$displaystyle \omega_{n}$이 열 커널의 고유값으로 이해될$$ 수 있다는 생각에서 유래한다.수학에서, 그러한 합은 일반화된 디리클레 시리즈로 알려져 있다; 평균화를 위한 그것의 용도는 아벨의 평균으로 알려져 있다.그 점에서 라플라스-스티엘트제스 변혁과 밀접한 관련이 있다.

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\\infit }e^{-st}\,d\put (t)}$

여기서 $){\displaystyle \alpha(t)}}$는 스텝 함수로서,${\displaystyle }t{\displaystyle }$ = ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle t=\omega_{n}}}$에서 n$${\$displaystystyle a_{n}$의 스텝을 갖는 것으로서, 그러한 시리즈의 정합성을 위한 여러 가지 이론이 존재한다$.$예를 들어 하디-리틀우드 타우베리안 정리에 의해, 만약

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \inflt }{\frac {\log \vert \sum \{k=1}^{n}a_{k}\vert }{\omega_{n}}}}}}}}}}}}}}}}$

$그런{\displaystyle }$ 다음 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle f(s)}$에 대한 시리즈가 하프 평면 )> L {\$displaystyle$\Re$(s)>$에 수렴된다$$.$L}$이며, 반평면 > ${\displaystyle \Re(s)]$의 모든 콤팩트 서브셋에서 균일하게 수렴된다.$L$ 물리학에 대한 거의 모든 응용에서 하나는 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L=0}$을(를) 갖는다.

역사

열 커널과 제타 함수 정규화 방법으로 정규화된 직렬의 융합과 동등성을 확립하는 초기 작업의 대부분은 1916년^[5] G. H. Hardy와 J. E. Littlewood에 의해 수행되었으며 Cahen-Mellin 적분 적용에 기초하고 있다.그 노력은 숫자 이론에 나타난 여러 가지 잘못 정의되고 조건적으로 수렴된 합계에 대한 값을 얻기 위해 이루어졌다.

물리적 문제에서 조절기로서의 적용 측면에서는 호킹(1977년) 이전인 1976년 J. 스튜어트 다우커와 레이먼드 크라이슬리가 양자 물리적 문제에 대한 제타 함수 정규화 방법을 제안했다.^[6]Emilio Elizalde and others have also proposed a method based on the zeta regularization for the integrals ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$, here ${\displaystyle x^{-s}}$ is a regulator and the divergent integral depends on the numbers ${\displaystyle \zeta (s-m)}$ in제한 $s{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s\\to$ 0$}$ 참조.또한 치수 정규화, 분석 정규화 등의 다른 정규화와 달리, 제타 정규화는 상쇄가 없고 유한한 결과만 준다.

참고 항목

• 생성함수
• 페론의 공식
• 리노말화
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 분석 비틀림
• 라마누잔 합계
• 미낙시순다람-플라이젤 제타 함수
• 제타 함수(운영자)

참조

• ^ 톰 M. 아포톨, "숫자 이론의 모듈적 기능과 디리클레트 시리즈", "스프링거-베를라크 뉴욕. (8장 참조)"
• ^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. E. Elizalde, V. Moretti, S. Zerbini, "양자장의 분석적 측면", 세계 과학 출판, 2003, ISBN981-238-364-6
• ^ G.H. Hardy와 J.E. Littlewood, "리만 제타-함수의 이론과 프라임 분포의 이론에 대한 기여", 액타 매티매틱스, 41페이지(1916) 페이지 119–196 (예를 들어 정리 2.12 참조)
• Hawking, S. W. (1977), "Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime", Communications in Mathematical Physics, 55 (2): 133–148, Bibcode:1977CMaPh..55..133H, doi:10.1007/BF01626516, ISSN 0010-3616, MR 0524257, S2CID 121650064
• ^ V. Moreti, "원루프 스트레스 텐서의 직접 z 기능 접근 및 리노멀화(곡선 스페이스타임, Phys).D 56, 7797 (1997년).
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), "Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds", Canadian Journal of Mathematics, 1 (3): 242–256, doi:10.4153/CJM-1949-021-5, ISSN 0008-414X, MR 0031145
• Ray, D. B.; Singer, I. M. (1971), "R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics, 7 (2): 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4, MR 0295381
• "Zeta-function method for regularization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Seeley, R. T. (1967), "Complex powers of an elliptic operator", in Calderón, Alberto P. (ed.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 10, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR 0237943
• ^ J.S. 다우커와 R.Critchley, Effective Lagrangian and Energy-momentum tensor in de Sitter space, Physic.개정판 13, 3224 (1976년).