파티션 함수(수량장 이론)

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양자장 이론에서 파티션 함수 $Z{\displaystyle }$[ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle Z[J]}$는 모든 상관 함수의 생성 함수로서 확률론의 특성 함수를 일반화한다.null

일반적으로 다음과 같은 기능적 적분으로 표현된다.

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}\phi \,e^{i(S[\phi ]+\int d^{4}xJ(x)\phi(x)},},}$

여기서 S는 작용 기능이다.null

양자장 이론에서 칸막이 함수는 수학 칸막이 함수의 특수한 경우로서, 통계 역학에서 통계 칸막이 함수와 관련이 있다.일차적인 차이점은 이처럼 단순한 파티션 함수의 정의에서 볼 수 있는 무작위 변수의 카운트 가능한 컬렉션이 셀 수 없는 집합으로 대체되어 $필드{\displaystyle }$ $▼{\displaystyle \phi }$에 걸쳐 기능 통합을 사용해야 한다는 점이다$.$

사용하다

n ${\displaystyle {포인트}_{}}$ 상관 함수 G $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 경로 적분 형식주의를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})\equiv \langle \Omega T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\} \Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\exp(iS[\phi ]/\hbar )}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp(iS[\phi ]/\hbar )}}}$

여기서 왼쪽은 S-매트릭스 요소를 계산하는 데 사용되는 시간 순서가 지정된 제품이다.오른쪽의$$ $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\$d}\$mathcal {D}\phi }$은(^[1]는) 가능한 모든 고전적 필드 구성 $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ ${\displaystyle \backslash }$$pi (x)$에 걸쳐 통합됨을 의미하며$$, 이 필드 구성에서$$ 평가된 $고전적{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{작업}}$ S$[\displaysty S[\phi ]$이 ]가 부여한다.null

생성 함수 $Z{\displaystyle }$[ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle Z[J]}$을(를) 사용하여 보조 $함수{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}($이 맥락에서 전류라고 함)을 사용하여 위의 경로 통합을 계산할 수 있다$$.null

정의에서(4D 컨텍스트)

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}\phi \exp \exp \{\frac {i}{\hbar }}}\왼쪽[]S[\phi ]+\int d^{4}xJ(x)\phi(x)\right]\right\}}}}$

n-point 상관 함수 ${\displaystyle {Gn}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ,${\displaystyle }$, , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )$${\$displaystyle G_{n}(x_{$1}, $.........x_{n})$이 제공하는 기능 파생상품을 사용하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})=(-i\hbar )^{n}{\frac {1}{Z[0]}}\left.$${\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n}}}}}\오른쪽 _{J=0$ ;

여기서 $\Delta {\displaystyle }$/ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle J}$( x ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \delta /\delta J(x_{i})$는 기능 파생 모델이다.null

통계역학과의 연결

생성 기능은 통계 역학에서 파티션 함수의 양자장 이론 아날로그로, 우리가 시스템에 대해 알고 싶어 할 수 있는 모든 것을 말해준다.생성함수는 어떤 특정 분야 이론의 성배로서, $특정{\displaystyle }$ 이론에$$ ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ Z${\displaystyle }$[J $]$ {\$displaystyle$ Z[J$]}$에 대한 정확한 닫힌 형태 식을 가지고 있다면 완전히 해결한 것이다.^[2]null

통계역학에서의 파티션 함수와 달리 양자장 이론의 파티션 함수는 작용 앞에 i의 추가 요소를 포함하고 있어 통합과 복잡성을 실제가 아닌 것으로 만든다.이 i는 양자장 이론과 장의 통계 이론 사이의 깊은 연관성을 지적한다.이 연결은 Wick이 통합 및 통합 경로의 지수에서 회전하는 것으로 볼 수 있다.^[3]i는 QFT의 파티션 함수가 상태 사이의 양자-기계학적 확률 진폭을 계산하여 복잡한 투영 공간(복잡한 힐버트 공간, 그러나 확률 진폭은 여전히 1로 정규화되기 때문에 projective라는 단어에 역점을 두고 있다.통계역학에서 필드는 힐버트 공간의 연산자와 반대로 실제 값을 갖는 임의의 변수들이다.null

참조

추가 읽기

• Jean Zinn-Justin(2009), Scholarpedia, 4(2): 8674.
• Kleinert, Hagen, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physical Markets, 제4판, World Scientific(싱가포르, 2004), 페이퍼백 ISBN981-238-107-4(온라인: PDF 파일 사용 가능)