디지털 필터

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신호 처리에서 디지털 필터는 신호의 특정 측면을 줄이거나 강화하기 위해 샘플링된 이산 시간 신호에 대해 수학적 연산을 수행하는 시스템입니다.이는 다른 주요 유형의 전자 필터인 아날로그 필터와는 대조적입니다. 아날로그 필터는 일반적으로 연속 시간 아날로그 신호로 작동하는 전자 회로입니다.

디지털 필터 시스템은 보통 입력 신호를 샘플링하기 위한 아날로그-디지털 변환기(ADC)와 마이크로프로세서 및 데이터 및 필터 계수를 저장하기 위한 메모리 등의 주변 컴포넌트로 구성됩니다.마이크로프로세서에서 실행되는 프로그램 명령(소프트웨어)은 ADC로부터 수신한 번호에 대해 필요한 수학 연산을 실행함으로써 디지털 필터를 구현합니다.일부 고성능 어플리케이션에서는 범용 마이크로프로세서 또는 필터링 ^[1][2]등의 조작을 고속화하기 위한 특정 병렬 아키텍처를 가진 특수 디지털 신호 프로세서(DSP) 대신 FPGA 또는 ASIC가 사용됩니다.

디지털 필터는 복잡성이 증가하기 때문에 동등한 아날로그 필터보다 더 비쌀 수 있지만 아날로그 필터로서 실용적이지 않거나 불가능한 설계를 많이 만듭니다.디지털 필터는 종종 매우 높은 차수로 만들 수 있으며, 종종 선형 위상 응답을 허용하는 유한 임펄스 응답 필터입니다.실시간 아날로그 시스템의 컨텍스트에서 디지털필터를 사용하면 아날로그-디지털 및 디지털-아날로그 변환과 안티에일리어싱 필터 또는 그 구현의 기타 지연으로 인해 지연(입력과 응답의 시간 차이)이 발생할 수 있습니다.

디지털 필터는 일반적인 것으로, 라디오, 휴대 전화, AV 수신기등의 일상적인 전자 기기의 필수 요소입니다.

특성화

디지털 필터는 전송 함수 또는 이에 상당하는 차분 방정식에 의해 특징지어진다.전달 함수의 수학적 분석은 입력에 어떻게 반응하는지를 설명할 수 있다.따라서 필터 설계는 문제에 적합한 사양(예를 들어 특정 컷오프 주파수를 갖는 2차 로우패스 필터)을 개발한 후 사양에 맞는 전송 함수를 생성하는 것으로 구성된다.

선형 시간 불변 디지털 필터의 전송 함수는 Z 도메인에서 전송 함수로 표현될 수 있습니다. 원인이 되는 경우 다음과 같은 형태를 ^[3]가집니다.

$({displaystyle H(z)=paramfrac {B(z)}{A(z)}=paramfrac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots + b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{a}^{-1})$

여기서 필터의 순서는 N 또는 M 중 큰 것입니다.이 전달 함수에 대한 자세한 내용은 Z 변환의 LCCD 방정식을 참조하십시오.

이것은 재귀 필터의 형식입니다.일반적으로 무한 임펄스 응답(IIR) 동작으로 이어집니다만, 분모가 단일성과 동등하게 되어 있는 경우(즉, 피드백 없음), 이것은 유한 임펄스 응답(FIR) 필터가 됩니다.

분석 기법

주어진 디지털 필터의 거동을 해석하기 위해 다양한 수학적 기법을 사용할 수 있다.이러한 분석 기법의 대부분은 설계에도 채용될 수 있으며 필터 사양의 기초가 되는 경우가 많습니다.

통상, 필터는, 임펄스등의 단순한 입력에 어떻게 응답하는지를 계산해 특징짓습니다.그런 다음 이 정보를 확장하여 더 복잡한 신호에 대한 필터 응답을 계산할 수 있습니다.

임펄스 응답

임펄스 응답(종종${\displaystyle }$h [${\displaystyle k}$ $]$ \ $displaystyle$h [ $k$]${\displaystyle {또는}_{}}$ h$$\ $displaystyle h_{k$은 필터가 Kronecker 델타 함수에 어떻게 응답하는지를 측정하는 것입니다.^[4]예를 들어, 차분 방정식이 주어진 경우 k${\displaystyle 0}$0(\$displaystyle$ k$\neq$ 0$)$에 ${\displaystyle {대해\mathrm{}}_{}}$ x 0 $=$ $(\displaystyle x_{0$}=$1$)$$$및{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle k_{}}$ $=$(\$displaystyle x_{k$}=$0)$을 $설정$하고 평가합니다.임펄스 응답은 필터 동작의 특성입니다.디지털 필터는 일반적으로 무한 임펄스 응답(IIR)과 유한 임펄스 응답(FIR)의 2개의 카테고리로 간주됩니다.선형 시간 불변 FIR 필터의 경우 임펄스 응답은 필터 계수의 시퀀스와 정확히 같기 때문에 다음과 같습니다.

$\displaystyle \y_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}$

한편 IIR 필터는 재귀적이며 출력은 이전 출력뿐만 아니라 현재 및 이전 입력에 따라 달라집니다.IIR 필터의 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum_{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}$

임펄스 응답을 그래프로 표시하면 필터가 갑작스런 일시적인 장애에 어떻게 반응하는지 알 수 있습니다.IIR 필터는 항상 재귀적입니다.재귀 필터는 임펄스 응답이 유한할 수 있지만 비재귀 필터는 항상 임펄스 응답이 유한합니다.예를 들어 Moving Average(MA; 이동평균) 필터는 재귀적^{[citation needed]} 또는 비재귀적으로 구현할 수 있습니다.

차분 방정식

이산 시간 시스템에서 디지털 필터는 종종 전송 함수를 Z 변환을 통해 선형 상수 계수 차분 방정식(LCCD)으로 변환함으로써 구현된다.이산 주파수 영역 전송 함수는 두 다항식의 비율로 작성됩니다.예를 들어 다음과 같습니다.

$({displaystyle H(z)=frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}}}}})$

이것은 확장됩니다.

$({displaystyle H(z)=frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}})$

그리고 해당 필터를 발생시키기 위해 분자와 분모는 z$\displaystyle$z의 $가장{\displaystyle }$ 높은 순서로 나눕니다.

${\displaystyle H(z)=black {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\flac {1}{4}}z^{-1}-{\flac {3}{8}}z^{-2}}=blac {Y(z)}{X(z}}}}}}}}}$

분모 ${\displaystyle {계수}_{}}$인 $(\$는 '피드백' 계수이며 분자의 계수는 '피드포워드' $계수{\displaystyle {}_{}}$ b$(\$입니다.결과 선형 차분 방정식은 다음과 같습니다.

${{displaystyle y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]}}$

또는 위의 예에서는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {Y(z)}{X(z)}=sq{1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{-1}-{\frac {3}{8}z^{-2}}}}}}$

용어 재배치:

$\displaystyle \Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)}$

그런 다음 역 z-timeout을 취합니다.

$\displaystyle \rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}y[n-1]-{\frac {3}{8}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$

$마지막$으로 y${\displaystyle }$[$]$ {$display style$ y[n$]$에 대해 $해결$합니다.

${\displaystyle y[n]=-{\frac {1}{4}y[n-1]+{\frac {3}{8}y[n-2]+x[n]+2x[n-2]}$

이 방정식은 과거 $출력{\displaystyle }$ y [${\displaystyle n]}$ {$displaystyle$ y$[n$] {$displaystyle$ y$[n-p$ 현재 입력${\displaystyle }x{\displaystyle }$ [$]$ {$displaystyle$ x$[n$ 및 과거 $입력{\displaystyle }$x [$]$ {$displaystyle$x[n]} {displaystyle x[n-p$]\}$를 기준으로 다음 출력 샘플 y${\displaystyle [}$n$]$를 $계산$하는 방법을 나타냅니다.평가의 정확한 순서에 따라 직접 양식 I 또는 II(아래 참조) 실현에 대응합니다.

예를 들어 코드로 위의 방정식을 구현하는 컴퓨터 프로그래머가 사용하는 일반적인 용어로 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

${\displaystyle y}${\$displaystyle$ y$}$ =$$ 출력 또는 필터링된 값
${\displaystyle x}${\$displaystyle$ x$}$ =$$ 입력 또는 착신 원시 값
${\displaystyle n}${\$displaystyle$ n$}$ =$$ 샘플 번호, 반복 번호 또는 기간 번호

따라서 다음과 같습니다.

${\displaystyle y}$[$]$ {$displaystyle$ y$[n]$ =$$ 현재 필터링된(출력) 값
${\displaystyle y}$[${\displaystyle n}$ - $]{$ $displaystyle$y [ n - 1$$] =$$ 마지막으로 필터링된(출력) 값
${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [n}$ - $]{$ $displaystyle$y [ n - 2$$] =$$ 두 번째에서 마지막으로 필터링된(출력) 값
${\displaystyle x}$[$]$ {$displaystyle$ x$[n]}$ =$$ 현재 원시 입력 값
${\displaystyle x}$[${\displaystyle n}$ - $]{$ $displaystyle$x [ n - 1$$] =$$ 마지막 원시 입력값
${\displaystyle x}$[${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle -}$ 2$]$ {$displaystyle$ x $[n-2]$ =$$ 두 번째에서 마지막까지의 원시 입력값

필터 설계

필터는 쉽게 이해하고 계산할 수 있지만, 필터의 설계와 구현의 실제적인 과제는 매우 중요하며 훨씬 더 고도의 연구 주제입니다.

디지털 필터에는 재귀 필터와 비재귀 필터의 두 가지 범주가 있습니다.이들은 보통 무한 임펄스 응답(IIR) 필터 및 유한 임펄스 응답(FIR) 필터라고 불립니다.^[5]

필터 실현

필터를 설계한 후에는 샘플 시퀀스에 대한 동작의 관점에서 필터를 설명하는 신호 흐름도를 개발하여 실현해야 합니다.

주어진 전송 함수는 여러 가지 방법으로 실현될 수 있다.${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b}$x +$$ (\$displaystyle$ax + $bx + c$ )와 같은 간단한 식을 어떻게 평가할 수 있는지 생각해 보십시오.또한 $동등$한${\displaystyle }$x (${\displaystyle a}$ ${\displaystyle +}$b${\displaystyle }$) +$$ (\$displaystyle$x ($a$+ $b)$ +$c$ $)$도 계산할 수 있습니다.같은 방법으로, 모든 실현은 같은 전송 함수의 "인수"로 간주될 수 있지만, 다른 수치로 나타납니다.모든 속성구체적으로는 구현에 필요한 운영 또는 스토리지 요소의 수가 더 효율적이며, 수치 안정성 향상 및 반올림 오류 감소와 같은 이점을 제공하는 구현도 있습니다.고정 소수점 산술에 더 적합한 구조와 부동 소수점 산술에 더 적합한 구조도 있습니다.

다이렉트 폼 I

IIR 필터 실현을 위한 간단한 접근방식은 직접 형식 I이며, 여기서 차분 방정식이 직접 평가됩니다.이 형식은 작은 필터에는 실용적이지만 복잡한 ^[6]설계에는 비효율적이고 비실용적일 수 있습니다(숫자적으로 불안정함).일반적으로 이 형식에서는 N차 필터에 2N 지연 요소(입출력 신호 모두)가 필요합니다.

다이렉트 폼 II

대체 다이렉트 폼 II에는 N개의 지연 유닛만 필요합니다.여기서 N은 필터 순서입니다.이것은 다이렉트 폼I의 절반일 가능성이 있습니다.이 구조는 다이렉트 폼 I의 분자와 분모 섹션의 순서를 반대로 함으로써 얻을 수 있습니다.이것은, 실제로는 2개의 선형 시스템이기 때문에, 정류성 특성이 적용되기 때문입니다.그러면 센터넷을 탭하는 2개의 지연열(${\displaystyle {}^{}}$-$$ { $display style$ z$^{-1$ )이 있음을 알 수 있습니다.이러한 지연열은 용장성이기 때문에 조합할 수 있으며, 다음과 같이 구현이 가능합니다.

단점은 다이렉트 폼 II가 Q가 높은 필터 또는 ^[7]공진 필터의 산술 오버플로 가능성을 높인다는 것입니다.Q가 증가함에 따라 두 직접 형태 토폴로지의 반올림 노이즈가 ^[8]경계 없이 증가하는 것으로 나타났다.이는 개념적으로 신호가 포화되기 전에 먼저 전극 필터(일반적으로 공진 주파수에서 게인을 증가)를 통과한 다음 전극 필터(전극 반이 증폭하는 것의 대부분을 감쇠)를 통과하기 때문입니다.

계단식 2차 섹션

일반적인 전략은 2차 "biquadratic"(또는 "biquad") 섹션의^[9] 캐스케이드된 시리즈로 고차(2보다 큰) 디지털 필터를 실현하는 것입니다(디지털 비쿼드 필터 참조).이 전략의 장점은 계수 범위가 제한적이라는 것입니다.다이렉트 폼 II 섹션을 캐스케이드하면 N차 필터에 N개의 지연 요소가 됩니다.다이렉트 폼 I 섹션을 캐스케이드하면 N+2의 지연 요소가 됩니다.이는 임의의 섹션(제1섹션 제외)의 입력 지연 요소가 이전 섹션의 출력 지연 요소와 중복되기 때문입니다.

기타 양식

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2012년 7월)

기타 양식은 다음과 같습니다.

• 다이렉트 폼 I 및 II 전치
• 시리즈/캐스케이드 하위(일반적으로 두 번째) 서브섹션
• 병렬 하위(일반적인 두 번째) 서브섹션
  • 지속적 비율 확장
• 격자와 사다리
  • 하나, 둘, 셋의 격자 형태
  • 3배 및 4배 정규화 사다리 형태
  • ARMA 구조
• 상태-공간 구조:
  • 최적(최소 노이즈 의미):${\displaystyle }$(${\displaystyle N}$+${\displaystyle {}^{}1}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle (N+1)^{2}}$ 파라미터$$
  • block-optimal 및 section-optimal: $4{\displaystyle \mathrm{}N}$ - ${\displaystyle 1}$ { $displaystyle 4N$ -$1$}파라미터$$
  • 입력과 Givens $회전$의 균형: 4${\displaystyle N}$- ${\displaystyle 1}$ { $displaystyle$ 4 N - 1$$}파라미터$$^[10]
• 결합된 형식: Gold Rader(정상), 상태 변수(Chamberlin), Kingsbury, 수정 상태 변수, Zölzer, 수정 lzer
• Wave Digital Filter(WDF)^[11]
• Agarwal-Burrus (1AB 및 2AB)
• 해리스-브루킹
• ND-TDL
• 멀티피드백
• Salen-key 및 상태 변수 필터 등 아날로그에서 영감을 얻은 형식
• 수축기 어레이

아날로그 필터와 디지털 필터의 비교

디지털 필터는 아날로그 필터의 설계를 크게 복잡하게 하는 구성요소 비선형성의 영향을 받지 않습니다.아날로그 필터는 불완전한 전자 부품으로 구성되어 있으며, 그 값은 한계 공차(예: 저항 값의 공차 ±5%)로 지정되며, 온도와 함께 변화하고 시간에 따라 표류할 수도 있습니다.아날로그 필터의 순서가 증가하여 성분 수가 증가함에 따라 가변 성분 오류의 영향이 크게 확대됩니다.디지털 필터에서는 계수 값이 컴퓨터 메모리에 저장되므로 훨씬 안정적이고 ^[12]예측 가능합니다.

디지털 필터의 계수는 확실하기 때문에 훨씬 더 복잡하고 선택적인 설계를 실현하기 위해 사용할 수 있습니다.특히 디지털 필터의 경우 아날로그 필터보다 낮은 통과 대역 리플, 빠른 전환 및 높은 스톱 대역 감쇠를 실현할 수 있습니다.아날로그 필터를 사용해 설계를 실시할 수 있다고 해도, 동등한 디지털 필터를 설계하는 엔지니어링 코스트는 훨씬 낮아질 가능성이 있습니다.또한 디지털 필터의 계수를 쉽게 변경하여 적응 필터 또는 사용자가 제어할 수 있는 파라미터 필터를 만들 수 있다.이러한 기술은 아날로그 필터에서는 가능하지만, 다시 상당히 어렵습니다.

디지털 필터는 유한 임펄스 응답 필터 설계에 사용할 수 있습니다.동등한 아날로그 필터는 지연 요소가 필요하기 때문에 종종 더 복잡합니다.

디지털 필터는 아날로그 회로에 대한 의존도가 낮기 때문에 신호 대 잡음비를 향상시킬 수 있습니다.디지털 필터는 아날로그 로우패스 필터링, 아날로그-디지털 변환, 디지털-아날로그 변환 중에 신호에 노이즈를 발생시키며 양자화로 인해 디지털 노이즈가 발생할 수 있습니다.아날로그 필터에서는 모든 컴포넌트가 열 노이즈(존슨 노이즈 등)의 원인이 되기 때문에 필터의 복잡성이 증가하면 노이즈도 증가합니다.

단, 디지털필터는 시스템에 보다 높은 기본 레이텐시를 가져옵니다.아날로그 필터에서는 대기 시간은 무시할 수 있는 경우가 많습니다.엄밀히 말하면 필터 회로를 통해 전기 신호가 전파되는 시간입니다.디지털 시스템에서 지연은 디지털 신호 경로의 지연 요소 및 시스템이 아날로그 신호를 처리할 수 있도록 하는 아날로그-디지털 및 디지털-아날로그 변환기에 의해 도입됩니다.

매우 간단한 경우에는 아날로그 필터를 사용하는 것이 비용 효율이 더 높습니다.디지털 필터를 도입하려면 앞서 설명한 바와 같이 2개의 로우패스 아날로그 필터를 포함한 상당한 오버헤드 회로가 필요합니다.

아날로그 필터의 또 다른 이유는 저소비 전력입니다.아날로그 필터는 전력 소모가 상당히 적기 때문에 전력 요건이 엄격한 경우에는 유일한 해결책입니다.

PCB에 전기회로를 만들 때는 일반적으로 디지털 솔루션을 사용하는 것이 더 쉽습니다.이는 처리 장치가 수년간 고도로 최적화되었기 때문입니다.아날로그 컴포넌트로 같은 회로를 만들면 디스크리트 컴포넌트를 사용할 때 더 많은 공간을 차지하게 됩니다.FPAA와^[13] ASIC의 두 가지 대안이 있지만, 그것들은 낮은 수량에 비해 비싸다.

디지털 필터의 종류

필터를 특징짓는 방법은 다음과 같이 다양합니다.

• 선형 필터는 입력 샘플의 선형 변환이며, 다른 필터는 비선형입니다.선형 필터는 중첩 원리를 충족합니다.즉, 입력이 다른 신호의 가중치 선형 조합일 경우 출력은 대응하는 출력 신호의 유사한 가중치 선형 조합입니다.
• 원인 필터는 입력 또는 출력 신호의 이전 샘플만 사용하고 비원인 필터는 미래의 입력 샘플을 사용합니다.비원인 필터는 보통 지연을 부가함으로써 원인 필터로 변경할 수 있다.
• 시간 불변 필터는 시간에 따라 일정한 속성을 가지며 적응형 필터와 같은 다른 필터는 시간에 따라 변합니다.
• 안정적인 필터는 시간과 함께 일정한 값으로 수렴되거나 제한된 간격 내에서 경계가 유지되는 출력을 생성합니다.불안정한 필터는 경계가 없거나 심지어 0인 입력으로 무한 확장 출력을 생성할 수 있습니다.
• 유한 임펄스 응답(FIR) 필터는 입력 신호만 사용하는 반면 무한 임펄스 응답(IIR) 필터는 입력 신호와 출력 신호의 이전 샘플 모두를 사용합니다.FIR 필터는 항상 안정적이지만 IIR 필터는 불안정할 수 있습니다.

필터는 블록 다이어그램으로 나타낼 수 있으며, 다음으로 샘플 처리 알고리즘을 도출하여 하드웨어 명령을 사용하여 필터를 구현할 수 있습니다.필터는 차분 방정식, 0과 극의 집합 또는 임펄스 응답 또는 스텝 응답으로도 설명할 수 있다.

일부 디지털 필터는 신호의 주파수 스펙트럼을 빠르게 추출하는 수학적 알고리즘인 고속 푸리에 변환을 기반으로 하며, 수정된 스펙트럼을 역 FFT 연산을 통해 시계열 신호로 다시 변환하기 전에 스펙트럼을 조작할 수 있습니다(예: 매우 높은 차수의 밴드 패스 필터 생성).이러한 필터는 O(n log n)의 계산 비용을 제공하는 반면, 기존의 디지털 필터는 O(n²)인 경향이 있습니다.

디지털 필터의 또 다른 형태는 상태-공간 모델입니다.잘 사용되는 상태 공간 필터는 1960년에 루돌프 칼만(Rudolf Kallmann)이 발표한 칼만(Kalman) 필터입니다.

기존의 선형 필터는 일반적으로 감쇠에 기초하고 있습니다.에너지 전달 ^[14]필터를 포함한 비선형 필터를 설계할 수 있습니다.이 필터는 사용자가 불필요한 노이즈 또는 효과를 저주파수 또는 고주파수 대역으로 이동시킬 수 있도록 설계된 방식으로 에너지를 이동할 수 있도록 하며, 다양한 주파수에 걸쳐 확산, 분할 또는 집중시킬 수 있습니다.에너지 전달 필터는 기존의 필터 설계를 보완하고 필터 설계에 더 많은 자유도를 가져옵니다.디지털 에너지 전송 필터는 비선형 역학 설계 및 구현 및 활용이 비교적 쉽습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 베셀 필터
• 쌍선형 변환
• 버터워스 필터
• 체비셰프 필터
• 전자 필터
• 타원형 필터(카우어 필터)
• 필터 설계
• 하이패스 필터, 로우패스 필터
• 무한 임펄스 응답, 유한 임펄스 응답
• 링크비츠-릴리 필터
• 일치 필터
• 샘플(신호)
• 사비츠키-골레이 필터
• 2차원 필터

레퍼런스

추가 정보

• J. O. Smith III, Stanford University 음악 및 음향 컴퓨터 연구 센터, 2007년 9월호.
• Mitra, S. K. (1998). Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. New York, NY: McGraw-Hill.
• Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. (1999). Discrete-Time Signal Processing. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 9780137549207.
• Kaiser, J .F. (1974). Nonrecursive Digital Filter Design Using the Io-sinh Window Function. Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Circuit Theory. pp. 20–23.
• Bergen, S. W. A.; Antoniou, A. (2005). "Design of Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical Window Function". EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2005 (12): 1910–1922. Bibcode:2005EJASP2005...44B. doi:10.1155/ASP.2005.1910.
• Parks, T. W.; McClellan, J. H. (March 1972). "Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase". IEEE Trans. Circuit Theory. CT-19 (2): 189–194. doi:10.1109/TCT.1972.1083419.
• Rabiner, L. R.; McClellan, J. H.; Parks, T. W. (April 1975). "FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation". Proc. IEEE. 63 (4): 595–610. Bibcode:1975IEEEP..63..595R. doi:10.1109/PROC.1975.9794. S2CID 12579115.
• Deczky, A. G. (October 1972). "Synthesis of Recursive Digital Filters Using the Minimum p-Error Criterion". IEEE Trans. Audio Electroacoustics. AU-20 (4): 257–263. doi:10.1109/TAU.1972.1162392.