헤이팅 대수

수학에서 헤이팅 대수(사이비 부울 대수라고도^[1] 한다)는 경계 격자(조인 및 만남 연산 ∨과 ∧을 쓰고 최소 원소 0과 가장 큰 원소 1) 2진법 연산 a → b를 갖춘 것으로서 (c a a) b b는 c ( (a → b)와 등가 되는 함축 함축성 a → b이다. 논리적인 관점에서 보면, A → B는 이러한 정의에 의해 모두스가 생각하는 가장 약한 명제인 추론 규칙 A → B, A ⊢ B가 건전하다. 부울 알헤브라와 마찬가지로 헤잉 알헤브라는 정밀하게 많은 방정식으로 공리화할 수 있는 다양한 공리성을 형성한다. 헤잉 알헤브라는 아렌드 헤잉(1930)이 직감적 논리를 공식화하기 위해 도입했다.

격자로써, Heyting Algebras는 분배적이다. 모든 부울대수는 ¬a ∨ b와 같이 통상적으로 정의될 때 헤잉 대수인데, 이는 모든 완전한 분배 격자가 →a ∨ b가 c가 a b가 되는 모든 c 집합의 우월성으로 받아들여질 때 aa b b가 된다. 유한한 경우, 모든 비빈 분배 격자, 특히 모든 비빈 유한 체인은 자동으로 완전하고 완전하게 분배되며, 따라서 헤이팅 대수학이다.

그것은 1 0 0 → a라는 정의에서 따르며, 어떤 명제 a가 모순 0에 의해 암시된다는 직관에 해당한다. 부정 연산 ¬a는 정의의 일부가 아니지만, a → 0으로 정의할 수 있다. ¬a의 직관적인 내용은 a를 가정하는 것이 모순으로 이어질 수 있는 제안이다. 이 정의는 ∧a = 0을 의미한다. 더 나아가 반향인 ¬aa ≤ a는 일반적으로 사실이 아니지만, 즉, 헤이팅 대수학에서는 이중 부정 제거가 일반적으로 이루어지지 않는다는 것을 알 수 있다.

헤잉 알헤브라는 ∨a = 1(중간 제외), 동등하게 ¬a = a(이중 부정 제거)를 만족하는 헤잉 대수학이 부울 대수라는 의미에서 부울 알헤브라를 일반화한다. ¬a 형식의 Heyting 대수 H의 그러한 요소들은 부울 격자로 구성되지만, 일반적으로 이것은 H의 하위격자가 아니다(아래 참조).

Heyting Algebras는 Boolean Algebras 모델 명제 고전적 논리와 같은 방식으로 명제 직관적 논리의 대수적 모델 역할을 한다. 초등 토포스의 내부 논리는 포함에 의해 정렬된 단자 객체 1의 하위 객체의 헤팅 대수학(Heyting 대수학)에 기초하며, 1부터 하위 객체 분류자 Ω까지의 형태에 동등하게 기초한다.

어떤 위상학적 공간의 열린 집합은 완전한 헤이팅 대수학을 형성한다. 따라서 완전한 헤잉 알헤브라는 무의미한 토폴로지의 중심 연구 대상이 된다.

가장 위대한 원소가 아닌 원소 집합이 가장 큰 원소를 가지고 있는 모든 헤잉 대수학(그리고 또 다른 헤잉 대수학을 형성하는)은 하위직으로 설명할 수 없으며, 모든 헤잉 대수학은 새로운 가장 큰 원소를 결합하여 하위직으로 해석할 수 없다. 유한한 헤잉 알헤브라스 사이에도 하위직접적으로 설명할 수 없는 무한히 많은 것들이 존재하며, 그 중 같은 등정 이론을 가진 두 개는 존재하지 않는다는 것이 뒤따른다. 따라서 유한한 헤잉 알헤브라의 어떤 유한 집합도 헤잉 대수학 비법칙에 모든 백작샘플을 공급할 수 없다. 이것은 부울 알헤브라와 극명한 대조를 이룬다. 부울 알헤브라는 직접적으로 설명할 수 없는 유일한 것은 2소절이며, 따라서 그것 자체로는 단순한 진리표 결정법의 기초인 부울대수의 비법칙에 대한 모든 반칙에 충분하다. 그럼에도 불구하고, 어떤 방정식이 모든 헤이팅 알헤브라를 포함하는지 여부는 결정 가능하다.^[2]

헤잉 알헤브라는 종종 사이비 부울 알헤브라스,^[3] 또는 심지어 브루워라트라고 불리지만,^[4] 후기는 이중 정의를 나타낼 수도 ^[5]있고 조금 더 일반적인 의미를 가질 수도 있다.^[6]

형식 정의

Heyting 대수학 H는 경계 격자로, H에 있는 모든 a와 b에 대해 H의 가장 큰 원소 x가 존재하는 것이다.

$A\displaystyle x\leq b.}$

이 원소는 b에 관한 a의 상대적인 사이비 합성물이며, a→b로 표기된다. 우리는 H의 가장 큰 원소와 가장 작은 원소에 각각 1과 0을 쓴다.

어떤 헤이팅 대수에서든 onea = (a→0)를 설정하여 어떤 원소 a의 사이비-완성 ¬a를 정의한다. 정의상${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle a}$= 0 ${\displaystyle a\wedge \lnot a=0},$¬a는 이 속성을 가진 가장 큰 요소다. 그러나 $일반적$으로${\displaystyle a}$a = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle a\vee \lnot$ a$=1$ 따라서 ¬은 부울대수에서처럼 진정한 보어가 아닌 사이비 보완에 불과하다.

완전한 헤이팅 대수학은 완전한 격자인 헤이팅 대수학이다.

헤이팅 대수 H의 하위골격은 0과 1을 포함하는 H의 부분집합 H이며₁, 연산 ∧, ∨, →에 따라 닫힌다. 이 역시 ¬에 따라 폐업한 것으로 되어 있다. 하위게브라는 유도된 연산에 의해 헤이팅 대수학으로 만들어진다.

대체 정의

범주-이론적 정의

Heyting $대수{\displaystyle }$H {\$displaystyle$H}는 모든$$ 지수형 객체를 가진 경계 격자다.

격자 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 만나는 범주로 간주되며,$meetstyle \wedge }$이$($가) 제품인 범주로 간주된다$$. 지수 조건은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 모든 $객체{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$ $및$ Z ${\displaystyle Z}$에 지수 Z ${\displaystyle Y^{}}$ ${\$가 $H{\displaystyle }$ ${\displaystystyle H}$에 개체로 고유하게$$ 존재함을 의미한다$.$

Heyting 시사점$({\displaystyle }$functor를 나타내기$$ 위해 → $\{\backslash {\displaystyle }$$displaystyle \$$Rightarrow }$ 또는$$${\displaystyle }$${\$$displaystyle \multimap }$을(를$)$ 사용하는 것과 같은 혼동을 피하기 위해 종종 다음과$$ 같은 지수일 뿐이다. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$은(는)$$Z Y {\$displaystyle Z^{$Y}}의 대체$$ 표기법이다$.$ 지수 정의에서 그러한 함축적 의미를 갖는다${\displaystyle (::}$ ${\displaystyle H}$×${\displaystyle H}$ → ${\displaystyle H}$ ${\displaysty \Rightarrow :$$H\time H\to H}$을$($를) 만나는 것이 옳다(${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle H}$× ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle \wedge$:$H\time H\to$ H$}.$ ${\displaystyle 이}$ 부속서는 (${\displaystyle }$-${\displaystyle \wedge }$ Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⊣}$ ${\displaystyle (Y}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$- )${\displaystyle (-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)}$ 또는$$ 그 이상 완전히 다음과 같이 쓸 수 있다.

격자 이론적 정의

헤잉 알헤브라의 동일한 정의는 매핑을 고려하여 지정할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}f_{a}\colon H\to H\\f_{a}(x)=a\wedge x\end{case}}}}$

H.의 어떤 고정된 a. 경계 격자 H는 모든 매핑_a f가 단조로운 갈루아 연결의 하위 조정인 경우에만 Heyting 대수다. 이 경우 각각의 상부 조정 g는_a g_a(x) = a→x로 주어지며, 여기서 →는 위와 같이 정의된다.

그러나 또 다른 정의는 모노이드 연산이 ∧인 잔류 격자로 정의된다. 그런 다음 모노이드 유닛이 상단 요소 1이 되어야 한다. 이 모노이드의 동시성은 두 잔차가 a→b로 일치한다는 것을 의미한다.

함축 연산이 있는 경계 격자

가장 크고 가장 작은 원소 1과 0을 가진 경계 격자 A와 이항 연산 → 이항 연산 → 이항 연산에서 다음과 같은 조건이 유지되는 경우에만 이들 합이 헤이팅 대수학(Heyting 대수학)을 형성한다.

1. $a=1}에 a\style 표시$
2. $a\displaystyle a\property(a\to b)=a\property b}$
3. $b\displaystyle b\pair (a\to b)=b}$
4. $(b\displaystyle a\to(b\to)(b\to c)=(a\to b)\reason(a\to c)}$

여기서 4는 →에 대한 분배법칙이다.

직관논리의 공리를 이용한 특성화

헤잉 알헤브라의 이러한 특성화는 직관주의 명제 미적분과 헤잉 알헤브라의 관계에 관한 기본적인 사실의 증거를 즉시 만든다.(이러한 사실에 대해서는 "제공 가능한 정체성"과 "범용구축" 섹션을 참조) 요소 $\top {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \top}$을(를) 직관적으로 "가능하게 사실"이라는$$ 의미로 생각해야 한다. 직관적 논리의 공리와 비교해 보십시오.Axiomization ).

Given a set A with three binary operations →, ∧ and ∨, and two distinguished elements ${\displaystyle \bot }$ and ${\displaystyle \top }$, then A is a Heyting algebra for these operations (and the relation ≤ defined by the condition that ${\displaystyle a\leq b}$ when a→b = ${\displaystyle \top }$) if and only if A의 어떤 원소 x, y 및 z에 대해서도 다음 조건이 유지된다.

1. ${\displaystyle {\mbox{{}x\leq y{\mbox{} 및 }y\leq x{\mbox{} 그 다음 }x=y,}$
2. ${\displaystyle {\mbox{{}}}\top \leq y,{\mbox{} 그 다음 }y=\top ,}$
3. $(\displaystyle x\leq y\to x,}$
4. ${\displaystyle x\to(y\to z)\leq(x\to y)\to(x\to z),}$
5. $(\displaystyle x\land y\leq x,}$
6. $(\displaystyle x\land y\leq y,}$
7. $(x\displaystyle x\leq y\to (x\land y),}$
8. $(\displaystyle x\leq x\lor y,}$
9. $y\leq x\lor y,}leq x\lor y,}$
10. ${\displaystyle x\to z\leq(y\to z)\to(x\lor y\to z),}$
11. $\displaystyle \bot \leq x.}$

마지막으로 wex를 x→ $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot }$으로 정의한다$.$

조건 1은 등가 공식을 식별해야 한다고 말한다. 조건 2는 확실히 참된 공식은 모드 폰에 의해 닫힌다고 말한다. 조건 3과 4는 조건이다. 조건 5, 6, 7은 조건이다. 조건 8, 9, 10은 또는 조건이다. 조건 11은 잘못된 조건이다.

물론 논리에 다른 공리들이 선택된다면 그에 따라 우리의 공리들을 수정할 수 있을 것이다.

예

• 모든 부울대수는 ¬p∨q가 부여한 p→q를 가진 헤이팅 대수학이다.
• 최소 원소 0과 최대 원소 1을 갖는 모든 순서가 완전히 정해진 집합은 헤이팅 대수(격자로 보는 경우)이다. 이 경우 p→q는 p≤q일 때 1과 같고, 그렇지 않으면 q와 같다.
• 이미 부울대수가 아닌 가장 간단한 헤이팅 대수학은 완전히 순서화된 집합 {0, 1/2, 1}( 격자로 표시됨), 작업 산출:

  $땅 b}$ b a 0 1/2 1 0 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 1 0 1/2 1

  $a\lor b}$ b a 0 1/2 1 0 0 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1 1 1 1 1

  a→b b a 0 1/2 1 0 1 1 1 1/2 0 1 1 1 0 1/2 1

  a ¬a 0 1 1/2 0 1 0

  이 예에서 1/22¬1/2 = 1/2((1/2 → 0) = 1/200 = 1/2로 제외된 중간의 법칙을 왜곡한다.

• 모든 위상은 오픈 세트 격자의 형태로 완전한 헤이팅 대수학을 제공한다. 이 경우 원소 A→B는 A와^c B의 조합 내부로, 여기서 A는^c 오픈 세트 A의 보어를 의미한다. 완전한 헤잉 알헤브라는 모두 이런 형태는 아니다. 이 문제들은 무의미한 토폴로지에서 연구되는데, 여기서 완전한 헤잉 알헤브라는 액자나 로케라고도 불린다.
• 모든 내부 대수학에서는 열린 원소의 격자 형태로 헤이팅 대수학을 제공한다. 모든 헤이팅 대수학은 자유 부울 확장을 경계 분배 격자로 삼고 그 다음 이 부울 대수에서 일반화된 위상으로서 취급함으로써 부울 대수학으로 완성될 수 있는 형태다.
• 명제적 직관논리의 린덴바움 대수학은 헤이팅 대수학이다.
• 초등 토포들의 하위 객체 분류기 Ω의 글로벌 요소는 헤이팅 대수학을 형성한다; 토포들이 유도하는 직관적 고차 논리학의 진리값의 헤이팅 대수다.
• 우카시오비치-Moisil Algebras (LM_n)는 또한 어떤 n을^[7] 위한 Heyting Algebras이다 (그러나 그것들은 n 5^[8] 5를 위한 MV-algebras가 아니다).

특성.

일반 속성

헤이팅 대수 H에 대한$$ 주문 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$leq$ $}$은(는$)$ 작업에서 복구할 수 있다 → a→b = 1인 $경우$에만 모든 원소 a, b $of$ H$, b$ b에 대해 $다음$과 같다.

몇몇 많은 가치의 논리학과는 대조적으로 헤이팅 알제브라는 부울알제브라와 다음과 같은 속성을 공유한다: 만일 부정(negating)이 고정점(즉, ¬a = a 일부 a)을 가지고 있다면, 헤이팅 대수학은 사소한 일 요소 헤이팅 대수학이다.

증명 가능한 정체성

Given a formula ${\displaystyle F(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})}$ of propositional calculus (using, in addition to the variables, the connectives ${\displaystyle \land ,\lor ,\lnot ,\to }$, and the constants 0 and 1), it is a fact, proved early on in any study of Heyting algebras, that the 다음 두 가지 조건은 동일하다.

1. F라는 공식은 직관주의 명제 미적분학에서 분명히 사실이다.
2. The identity ${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=1}$ is true for any Heyting algebra H and any elements ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H}$.

메타임벌 1 ⇒ 2는 매우 유용하며 헤잉 알헤브라스에서 신분을 증명하는 주요한 실용적인 방법이다. 실제로 그러한 증명에는 공제 정리를 자주 이용한다.

Since for any a and b in a Heyting algebra H we have ${\displaystyle a\leq b}$ if and only if a→b = 1, it follows from 1 ⇒ 2 that whenever a formula F→G is provably true, we have ${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq G(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$$)}$ for any Heyting algebra H, and any elements ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H}$. (It follows from the deduction theorem that F→G is provable [from nothing] if and only if G is provable from F, that is, if G is a provable consequence of F.) In particular, if F and G are provably equivalent, then ${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=G(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$, since ≤ is an order relation.

1 ⇒ 2는 증명 시스템의 논리적 공리를 조사하여 그 값이 헤이팅 대수에서 1이라는 것을 확인한 다음, 헤이팅 대수에서 값 1이 있는 표현에 추론 규칙을 적용하면 값 1이 있는 표현이 된다는 것을 검증함으로써 증명할 수 있다. 예를 들어, 추론의 유일한 규칙으로서 모듀스 폰이 있는 증거의 체계를 선택하자. 그리고 힐버트 스타일의 공리는 직관주의 논리에서 주어진 것이다.공리화. 그러면 검증되어야 할 사실들은 위에 주어진 헤이팅 알헤브라의 공리 같은 정의에서 바로 따르게 된다.

1 ⇒ 2는 또한 고전적 논리에서는 tautology가 있지만 어떤 명제적 공식은 직관적 명제적 논리에서는 증명될 수 없다는 것을 증명하는 방법을 제공한다. In order to prove that some formula ${\displaystyle F(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})}$ is not provable, it is enough to exhibit a Heyting algebra H and elements ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H}$ such that ${\displaystyle F(a_1,a_2,\dots ,a_n)\ne 1}$${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\neq 1$

만약 논리에 대한 언급을 피하고 싶다면, 실제로 헤이팅 알제브라스에게 유효한 공제 정리의 한 버전을 보조적으로 증명할 필요가 있다: 헤이팅 대수학 H의 어떤 원소 a, b, ${\displaystyle c}$에 $대해$ ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 ($∧$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$→ c${\displaystyle }$=$b$→ c ${\displaystyle )}$를 ${\displaystyle \mathrm{가지고}}$ 있다$.$

메타메이트레이션 2 ⇒ 1에 대한 자세한 내용은 아래의 "범용 구조" 절을 참조하십시오.

분배성

헤잉 알헤브라는 항상 분배적이다. 특히, 우린 항상 그 신분을 가지고 있어

1. $(b\displaystyle a\ve c)=(a\ve b)\ve(a\ve c)}$
2. $(b\displaystyle a\ve(b\be)=(a\ve b)\bee(a\ve c)}$

분배 법칙은 때로는 공리로 명시되기도 하지만, 사실 그것은 상대적인 사이비 완성의 존재에서 따온 것이다. 그 이유는 갈루아 연결부의 하위 부호인 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge}$이(가) 기존의 모든 우월성을 보존하기 때문이다. 차례로 분배성은 단지 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$에 의한 이항우월주의 보존일 뿐이다$.$

비슷한 주장에 의해, 다음의 무한분배법은 어떤 완전한 헤이팅 대수학에도 존재한다.

$\displaystyle x\wedge \bigvee Y=\bigvee \{x\wedge y\mid y\in Y\}}$

H의 어떤 원소 x와 H의 어떤 부분집합 Y에 대해서. 반대로, 위의 무한분포 법칙을 만족하는 어떤 완전한 격자는 완전한 헤이팅 대수학이며, 다음과 같다.

$\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}}$

상대적 사이비-유행적 수술로 말이야

정기적이고 보완적인 요소

헤팅 대수 H의 원소 x는 다음과 같은 등가 조건 중 하나가 유지되는 경우 정규라고 한다.

1. x = ¬¬x.
2. x = H의 일부 y에 대한 ¬y.

이러한 조건의 등가성은 단순히 정체성 ¬¬x = ¬x로 재작성할 수 있으며, H의 모든 x에 유효하다.

헤이팅 대수 H의 원소 x와 y는 x∧y = 0, x∨y = 1이면 서로 보완이라고 불린다. 만약 그것이 존재한다면, 그러한 y는 고유하며, 사실상 ¬x와 같아야 한다. 우리는 어떤 요소가 보완을 인정한다면 x 보완을 한다. x가 보완되면 ¬x도 보완되고, x와 xx가 서로 보완되는 것이 사실이다. 그러나 혼란스럽게도 x가 보완되지 않더라도 nonethelessx는 그럼에도 불구하고 보완(x와 같지 않음)이 있을 수 있다. 어떤 헤이팅 대수학에서든 원소 0과 1은 서로 보완된다. 예를 들어, xx는 0과 다른 모든 x에 대해 0이고, x = 0인 경우 1일 수 있으며, 이 경우 0과 1만이 정규 원소일 수 있다.

헤이팅 대수학의 어떤 보완적인 요소도 일반적으로는 사실이 아니지만 규칙적이다. 특히 0과 1은 항상 규칙적이다.

모든 헤이팅 대수 H의 경우, 다음 조건은 동일하다.

1. H는 부울 대수학이다.
2. H의 모든 x는 규칙적이다.^[9]
3. H의 모든 x는 보완된다.^[10]

이 경우 원소 a→b는 ¬a ∨ b와 같다.

헤이팅 대수 H의 정규(resp. 보완) 요소는 부울 대수 H_reg(resp)를 구성한다. H_comp) 연산 ∧, ¬, →는 물론 상수 0과 1이 H의 그것과 일치한다. H의_comp 경우 동작 ∨도 같으므로 H는_comp H의 하위골격이다. 그러나 일반적으로 조인 동작 ∨_reg과 다를 수 있기 때문에 H는_reg H의 하위골격은 아니다. x, y ∈ H의_reg 경우 x ∨_reg y = ¬(¬x ∧ ∧y)가 있다. ∨_reg이 ∨과 일치하도록 하기 위하여 필요한 조건과 충분한 조건은 아래를 참조한다.

헤이팅 대수학에서의 드 모건 법칙

두 가지 드 모건 법칙 중 하나는 모든 헤이팅 대수학에서 만족하고 있다.

$\displaystyle \forall x,y\in H:\qquad \lnot (x\vee y)=\lnot x\wedge \lnot y.}$

그러나 다른 드 모건 법이 항상 지켜지는 것은 아니다. 대신 모건 법은 약하다.

$\displaystyle \forall x,y\in H:\qquad \lnot(x\wedge y)=\lnot \lnot(\lnot x\vee \lnot y)}$

다음 문장은 모든 헤이팅 알제브라스 H에 대해 동일하다.

1. H는 De Morgan 법 모두를 만족시키고
2. ${\displaystyle \lnot (x\wedge y)=\lnot x\vee \lnot y{\mbox{{}모든 }x,y\in H,}$
3. ${\displaystyle \lnot (x\wedge y)=\lnot x\vee \lnot y{\mbox{{}모든 일반 }x,y\in H,}$
4. ${\displaystyle \lnot \lnot(x\vee y)=\lnot \lnot x\vee \lnot y{\lnot y{\mbox{{{}모든 }}$
5. ${\displaystyle \lnot \lnot (x\vee y)=x\vee y{\mbox{{}모든 일반 }x,y\in H,}$
6. ${\displaystyle \lnot(\lnot x\wedge \lnot y)=x\vee y{\mbox{{}모든 일반 }x,y\in H,}$
7. ${\displaystyle \lnot x\vee \lnot \lnot x=1{\mbox{{all}}}모든 경우에 해당됨$

조건 2는 다른 드 모건 법이다. 조건 6은 H의 정규 원소의 부울 대수 H에_reg 대한 결합 연산 ∨_reg은 H의 연산 ∨과 일치한다고 말하고 있다. 조건 7은 모든 정규 원소가 보완됨, 즉_reg H = H라고_comp 기술하고 있다.

우리는 동등함을 증명한다. 분명히 1 ications 2, 2 ⇒ 3, 4 ⇒ 5는 사소한 것이다. 더욱이 3 ⇔ 4와 5 ⇔ 6은 단순히 제1차 드 모건 법칙과 정규 원소의 정의에서 비롯된다. 우리는 보여 6⇒ 7로 찍¬x과 ¬¬x에 장소의 x와 y에 6과 이용 정체를 ∧ ¬a)0 보세요. 2⇒ 1다음에서 드 모르간 법칙, 그리고 7⇒ 6결과를 통해 사실은 조인 작업 ∨에 subalgebra Hcomp은 단지 규제의 ∨에 Hcomp, 고려하면서 그 characterizations 우리가 가진 조건 6. 그리고 7이다. 메타임법 5 ⇒ 2는 5의 x와 y를 대신하여 andx와 takingy를 취하는 약한 드 모건 법칙의 사소한 결과물이다.

위의 성질을 만족시키는 헤잉 알헤브라는 일반적으로 헤잉 알헤브라가 직감론적 논리와 관련된 것과 같은 방식으로 드 모건 논리와 관련이 있다.

헤이팅 대수 형태론

정의

Heyting Algebras H와₁ H₂ 두 개의 Hayting Algebras H와₁ H의 매핑 f: H → H를₂ 볼 때, Hyting Algebras의 형태론이라고 말할 수 있다. 만약 H의₁ 어떤 원소 x와 y에 대해 다음과 같은 것을 가지고 있다면,

1. ${\displaystyle f(0)=0,}$
2. ${\displaystyle f(x\land y)=f(x)\land f(y),}$
3. ${\displaystyle f(x\lor y)=f(x)\lor f(y),}$
4. ${\displaystyle f(x\to y)=f(x)\to f(y),}$

f가 증가하는 함수, 즉 f(x) ≤ f(y)가 x ≤ y일 때마다 f(y)인 것은 최근 세 조건 중 하나(2, 3 또는 4)에서 비롯된다.

H와₁ H가₂ 연산 →, ∧, ∨ (그리고 아마도 ¬)과 상수 0과 1이 있는 구조라고 가정하고, f는 위의 속성 1~4와 함께 H에서₁ H로₂ 이어지는 굴절적 매핑이다. 그렇다면 H가₁ 헤이팅 대수라면 H도 마찬가지다₂. 이는 헤잉 알헤브라를 수술 → 특정 정체성 충족과 함께 경계 격자(부분순서가 아닌 대수학적 구조로 간주)로 특성화한 데서 비롯된다.

특성.

아이덴티티 맵 f(x) = 어떤 헤이팅 대수학에서 그 자체로 x는 형태론이며, 어떤 두 형태론 f와 g의 합성 g ∘ f는 형태론이다. 그래서 헤잉 알헤브라는 하나의 범주를 이룬다.

예

Heyting 대수학 H와 하위격자 H를₁ 고려할 때, 포함 매핑 i : H → H는₁ 형태론이다.

어떤 헤이팅 대수 H에 대해서도, 지도 x ↦ xx는 H로부터 그것의 정규 원소_reg H의 부울 대수까지의 형태론을 정의한다. 이것은_reg 일반적으로 H의 결합 연산이 H의 결합 연산과 다를 수 있기 때문에 H로부터 그 자체로 형태론이 아니다.

인용구

H를 헤이팅 대수학으로 하고, F h H. F가 다음과 같은 성질을 만족하면 H의 필터라고 부른다.

1. $F에 1\displaystyle 1\in F,}$
2. ${\displaystyle {\mbox{{}x,y\in F{\mbox{{}x\land y\in F,}$
3. ${\displaystyle {\mbox{{}}f,\x\in H,\\\\x\leq y{\mbox{}, 그 다음 }}y\in F.}$

H에서 필터 세트의 교차점은 다시 필터다. 따라서 H의 하위 집합 S에 따라 S를 포함하는 가장 작은 필터가 있다. 우리는 그것을 S에 의해 생성된 필터라고 부른다. S가 비어 있으면 F = {1}. 그렇지 않으면 F는 H에서₁ x의 집합과 같으므로 y₁, y₂, ..., y_n ∈ S와 y ∧ y₂ ∧ ...가 있다. ∧ y_n ≤ x.

H가 Heyting 대수학이고 F가 H에 대한 필터라면, 우리는 관계를 다음과 같이 정의한다. x → y, y → x 둘 다 F에 속할 때마다 x ~ y를 쓴다. 그 다음 ~는 등가관계로, 우리는 지수 집합에 대해 H/F를 쓴다. H/F에는 정론적_F 추론 p : H → H/F가 Heying 대수형이 되는 독특한 Heyting 대수 구조가 있다. 우리는 Heyting 대수 H/F를 H by F의 지수라고 부른다.

S는 Heyting 대수 H의 하위 집합이 되고 F는 S에 의해 생성된 필터로 한다. 그 후 H/F는 다음과 같은 보편적 특성을 만족한다.

Heyting Algebras f : H → H′ 만족 f(y) = 1을 만족하는 Hyting Algebras f : H → H/F의 어떤 형태론을 고려할 때, 모든 y ∈ S에 대해 f(y) = 1을 만족하는 f 인자는 표준적인 추출을 통해_F 고유하다. 즉, 독특한 형태론 f/ : H/F → f_F fp = f를 만족시키는 H′가 있다. 형태론 f′은 f에 의해 유도된다고 한다.

렛 f : H₁ → H는₂ 헤잉 알헤브라의 형태론이다. f의 커널(글자 kerf)은 설정된⁻¹ f[{1}]이다. H₁.에 대한 필터(이 정의가 부울 알헤브라의 형태론에 적용된다면 반지의 형태론으로 볼 수 있는 형태론의 커널과 이중적이기 때문에 주의를 기울여야 한다.) 앞에서 f는 형태론 f′ : H/(ker₁ f) → H₂. H의₂ 하위격자 f[H₁]에 H/(ker f)의₁ 이형성을 유도한다.

유니버설 구조

직관론적 동등성에 대한 n 변수의 명제 공식 대수 분석

"제공 가능한 신분" 섹션의 메타메이트 2 ⇒ 1은 다음과 같은 구성의 결과 자체가 헤이팅 대수라는 것을 보여줌으로써 증명된다.

1. 변수 A₁, A₂, ..., A에서_n 명제 공식의 L 집합을 고려하십시오.
2. G가 F의 (직관론적) 논리적 결과인 경우, 즉 G가 F로부터 증명될 수 있는 경우 F definingG를 정의하여 사전 주문 ≼으로 L을 부여한다. ≼은 선주문이라는 것은 당장의 일이다.
3. 사전 주문 F fG에 의해 유도된 동등성 관계 F~G를 고려한다(F≼G와 G≼F에 의해서만 F~G로 정의된다). 사실 ~는 (직관주의) 논리적 등가성의 관계다.)
4. H를₀ 지수 집합 L/~가 되게 한다. 이것이 원하는 헤이팅 대수학일 것이다.
5. 공식 F의 동등성 등급에 [F]를 쓴다. 운영 → ∧, ∨, ¬, ¬은 L에서 명확한 방법으로 정의된다. 주어진 공식 F와 G, 등가 등급 [F→G], [F∧G], [F∨G], [F∨G], [¬F]가 [F]와 [G]에만 의존하는지 확인한다. 이것은 지수 집합 H₀=L/~에 대한 연산 →, ,, and, ¬을 정의한다. 1을 더 정의하여 가능한 참된 진술의 등급으로 설정하고 0=[1]을 설정하십시오.
6. H가₀ 이 연산들과 함께 헤이팅 대수인지 확인한다. 우리는 이것을 Heyting Algebras의 공리 같은 정의를 사용하여 한다. H는₀ 주어진 형태의 모든 공식은 직관 논리의 공리이기 때문에 조건 DEN-1에서 FALSE를 충족한다. MODUS-PONENS는 공식 formula→F가 입증 가능한 사실이라면, 여기서 ⊤이 증명될 수 있는 사실(추론모듈의 규칙 적용에 의해) F가 증명될 수 있다는 사실에서 따르게 된다. 마지막으로, EQIV는 F→G와 G→F가 모두 사실일 경우 F와 G가 서로로부터 (추론모듈의 규칙을 적용하여) 증명될 수 있기 때문에 [F]=[G]의 결과를 얻는다.

언제나 헤이팅 알헤브라의 공리 같은 정의에 따라, 우리는 만약 x→y=1일 경우에만 xyy라는 조건으로 H에₀ 대한 define을 정의한다. 왜냐하면, 공제 정리에서는 G가 F로부터 증명될 수 있는 경우에만 F→G 공식은 F→G가 증명될 수 있는 사실이기 때문에, F→G는 그 [F]≤[G]를 따른다. 즉, ≤은 L에 대한 사전주문 ≼에 의해 유도된 L/~에 대한 주문관계인 것이다.

임의의 발전기 집합에서 자유 헤이팅 대수학

사실 선행구조는 모든 변수 집합 {A_i : iiI}(아마 무한대일 것이다)에 대해 수행할 수 있다. 하나는 이러한 방식으로 {A_i} 변수에 대한 자유 헤이팅 대수학(free Heyting 대수학)을 얻는데, 우리는 다시 H로₀ 나타낼 것이다. 헤이팅 대수학 H가 그 원소의 가족 〈a_i: iiI〉와 함께 주어진 것을 보면, 독특한 형태론 f가 있다는 점에서 자유롭다.H₀→H 만족 f([A_i]=a_i. f의 고유성은 어렵지 않게 볼 수 있으며, 그 존재는 본질적으로 위의 "제공 가능한 정체성" 절의 메타미제 1 ⇒ 2에서 기인하며, F와 G가 증명할 수 있는 등가공식일 때마다 F( 〈a_ii〉)=G(a_i〉)가 원소 H의 어느 계열에도 해당한다는 것을 알 수 있다.

이론 T에 관해서 등가 공식의 Heyting 대수학 T.

공리로 간주되는 변수 {A_i}에서 공식 T 집합이 주어졌을 때, G가 F와 공리 T 집합의 입증 가능한 결과임을 의미하기 위해 L에 정의된 FgG와 관련하여 동일한 구성이 수행되었을 수 있다. 그렇게 얻은 헤이팅 대수학을 H로_T 표시하자. 그러면 H는_T 위의 H와₀ 같은 보편적 속성을 만족시키지만, 헤이팅 알헤브라스 H와 요소들의 가족들에 대해서는 T의 어떤 공리 J(A)에 대해서도 J( 〈A_iii〉)=1이 만족하는 성질을 만족시킨다(H는_T 그 요소들의 가족 〈A_i]〉와 함께 찍은 H가 그 자체로 이 성질을 만족시킨다는 점에 주목하자. 형태론의 존재와 고유성은 H와₀ 같은 방법으로 증명되는데, 1은 "T로부터 가능한 진실"이고 2는 "T의 공식을 만족하는 모든 원소₁ a, a₂, ..., a_n, in H"라고 읽도록 "제공 가능한 정체성"의 메타밍 1 ⇒ 2를 수정해야 한다.

우리가 방금 정의한 헤이팅 대수 H는_T H에_T 관해서 H의₀ 보편적 특성과 그 요소들의 가족 〈A_i〉를 적용함으로써 동일한 변수 집합에 대한 자유 헤이팅 대수 H의₀ 인수로 볼 수 있다.

모든 헤이팅 대수학은 H형식_T 중 하나에 이형이다. 이를 보려면 H를 어떤 헤이팅 대수학이라도 되게 하고, 〈a_i: i∈I〉를 H를 발생시키는 원소(예를 들어, 어떤 굴욕적인 가족이라도)의 가족이 되게 한다. 이제 J(가_i)=1과 같은 〈A_i: iiI〉 변수에서 공식 J(가_i)의 집합 T를 생각해 보자. 그리고 형태론 f를 얻는다.H_T→H는 H의_T 보편적 성질에 의한 것으로, 명백히 허탈성이 있다. f가 주입식이라는 것을 보여주는 것은 어렵지 않다.

린덴바움 알헤브라와 비교

우리가 방금 준 건축물은 헤잉 알헤브라와 부울 알헤브라에 관한 린덴바움 알헤브라와 완전히 유사한 역할을 한다. 실제로 공리 T에 관한 변수 {A_i}의 린덴바움 대수 B는_T 우리의 H에_T∪T1 불과하며, 여기서 T는₁ 모든 고전적 토폴로지를 증명하기 위해 T의₁ 부가 공리만이 추가될 필요가 있기 때문에 ¬F→F 형식의 모든 공식의 집합이다.

직감론적 논리에 적용되는 알헤브라를 헤딩하는 것

직관론적 명제 논리의 공리를 헤이팅 대수학의 용어로 해석한다면, 그들은 공식의 변수에 대한 값의 어떠한 할당 아래 어떤 헤이팅 대수에서 가장 큰 요소인 1에 대해 평가할 것이다. 예를 들어 (P∧Q)→P는 의사완성의 정의에 의해 $P{\displaystyle q}$ Q ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle P}$ { P $(\displaystyle P\land$Q$\land x\leq P}$와 같은 가장 큰 원소 x이다$.$ 이러한 불평등은 어떤 x에 대해서도 충족되므로 그러한 x가 1이다.

나아가 모드스 폰의 법칙은 공식 P와 P→Q에서 공식 Q를 도출할 수 있게 해준다. 그러나 어떤 헤이팅 대수학에서 P가 값 1을 가지고 있고, P→Q가 값 1을 가지고 있다면, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ 1${\displaystyle 1}$ Q$$(\$displaystyle P\land$1\$leq$ Q$\}$을 $의미$하며${\displaystyle ,}$ 따라서 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ $\$ Q (\$displaystyle$ 1\$land$ 1$\leq)$를 갖는 것만이 Q가 될 수 있다$.$

이것은 어떤 공식이 모더스 폰의 법칙에 의해 그것의 공리에서 파생되어 직감적 논리학의 법칙으로부터 추론될 수 있다면, 공식의 변수에 대한 어떤 가치의 할당 아래 항상 모든 헤이팅 알제브라의 값 1을 가질 것이라는 것을 의미한다. 그러나 페어스의 법칙의 가치가 항상 1인 것은 아닌 헤이팅 대수학을 구성할 수 있다. 위와 같이 3-element 대수{0,1/2,1}를 고려하십시오. P에 1/2을 할당하고 Q에 0을 할당하면 Peirce의 법칙((P→Q)→P)→P의 가치는 1/2이다. Peirce의 법칙은 직관적으로 도출될 수 없다. 형식 이론에서 이것이 암시하는 일반적인 맥락은 Curry-Howard 이형성을 참조하라.

그 반대도 증명할 수 있다: 어떤 공식에 항상 1의 가치가 있다면, 그것은 직관적 논리의 법칙에서 추론할 수 있다. 그래서 직관적으로 유효한 공식은 항상 1의 가치가 있는 공식이다. 이는 형식적으로 유효한 공식은 공식의 변수에 대해 가능한 어떤 진실과 거짓의 할당 하에 2개 요소 부울 대수에서 1의 값을 갖는 공식이라는 개념과 유사하다. 즉, 그것들은 일반적인 진실-표적 의미에서 tautology인 공식이다. 헤이팅 대수학은 논리적인 관점에서 보면, 그 때 진리 값의 통상적인 체계를 일반화한 것으로, 그 가장 큰 원소 1은 '진리'와 유사하다. 통상적인 2값 논리 체계는 헤이팅 대수학의 특수한 경우로, 가장 작은 비수치 논리 체계는 대수학의 유일한 원소가 1(참)과 0(거짓)인 것이다.

의사결정 문제

주어진 방정식이 모든 헤이팅 대수학에서 유지되는지 여부에 대한 문제는 1965년 S. Kripke에 의해 해독될 수 있는 것으로 나타났다.^[2] 문제의 정확한 계산 복잡성은 R에 의해 확립되었다. 1979년 Statman은 그것이 PSPACE-완전하다는^[11] 것을 보여주었고, 따라서 적어도 부울대수의 방정식을 결정하는 것만큼 어려웠다(S에 의해 1971년에 coNP-완전이라고 표시됨). 요리)^[12] 그리고 상당히 어려운 추측을 했다. 헤잉 알헤브라의 초급 또는 일급 이론은 불문가지다.^[13] 헤잉 알헤브라의 보편적인 혼 이론, 즉 단어 문제가 해독될 수 있는지 여부는 여전히 열려 있다.^[14] AHA 문제라는 단어의 제안은 Heyting Algebras가 국소적으로 유한하지 않으며(한정된 비어 있지 않은 집합에 의해 생성된 Heyting 대수학은 유한하지 않음), 국소적으로 유한하고 단어 문제가 해독 가능한 Boolean Algebras와는 대조적으로 알려져 있다. 한 발전기의 자유 헤이팅 대수학이 새 상단을 붙임으로써 사소한 보완을 할 수 있는 단일 발전기의 경우를 제외하고 자유완성 헤잉 알헤브라가 존재하는지 알 수 없다.

위상적 표현과 이중성 이론

Every Heyting algebra H is naturally isomorphic to a bounded sublattice L of open sets of a topological space X, where the implication ${\displaystyle U\to V}$ of L is given by the interior of ${\displaystyle (X\setminus U)\cup V}$. More precisely, X is the spectral space of prime ideals of the bounded lattice H and L은 X의 오픈 컴팩트 서브셋과 준 컴팩트 서브셋의 격자다.

보다 일반적으로 헤이팅 알헤브라의 범주는 헤이팅 공간의 범주와 사실상 동일하다.^[15] 이러한 이중성은 헤잉 알헤브라의 (비정전) 하위 범주에 대한 경계 분배 격자의 고전적인 스톤 이중성의 제한으로 볼 수 있다.

또는 헤이팅 알헤브라의 범주는 에사키아 공간의 범주와 사실상 동일하다. 이것을 에스아키아의 이중성이라고 한다.

메모들

참고 항목

• 알렉산드로프 위상
• 초인투지스틱(중간) 로직
• 부울 대수 주제 목록
• 오캄 대수

참조

• Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd. OCLC 224572.
• F. Borceux, Categular 대수학 핸드북 3, 수학 백과사전 및 그 응용 프로그램, 1994. 제53권, 캠브리지 대학교 출판부. ISBN 0-521-44180-3 OCLC 52238554
• G. G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove and D. S. Scott, Continuous Lattice and Domains, In Neginous Lattities and the Domains, In Nativilities of Math and the Applications and Applications, 2003, Volence of the Ecomics, Volence, 2003. 93.
• 쉴라르디. 자유 헤잉 알헤브라는 바이 헤잉 알헤브라스, 수학. 아카드 의원님. 1992년 6:240–244, 캐나다 16세
• Heyting, A. (1930), "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. I, II, III", Sitzungsberichte Akad. Berlin: 42–56, 57–71, 158–169, JFM 56.0823.01
• Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spectral Spaces. New Mathematical Monographs. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723. S2CID 201542298.

외부 링크

• PlanetMath의 Heyting 대수학.