적분으로 정의된 특수 기능
S (x )C (x . C (x ).977451424 이다.만약 S와 C의 integrands .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output을 사용하여 정의되었다.t2대신.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2t2, 그 이미지를 수직과 수평으로(아래 참조)재조정 될 것이다. 프레스넬 통합 S (x )C (x )광학 에서 사용되는 아우구스틴-장 프레스넬 의 이름을 딴 두 개의 초월 함수로 오류 함수 (erf )와 밀접한 관련이 있다.그것들은 근거리장 프레스넬 회절 현상에 대한 설명에서 발생하며 다음과 같은 적분 표현을 통해 정의된다.
S ( x ) = ∫ 0 x 죄를 짓다 ( t 2 ) d t , C ( x ) = ∫ 0 x cas ( t 2 ) d t . {\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int_{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.}
S (x )C (x )모수 그림은 오일러 나선형(Cornu 나선형 또는 천장형이라고도 한다)이다.
정의 t 2 2 420 / 2 아닌 2 2t 2 프레스넬 통합은 모든 x 에 대해 수렴되는 다음과 같은 파워 시리즈 확장 을 인정한다.
S ( x ) = ∫ 0 x 죄를 짓다 ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! ( 4 n + 3 ) , C ( x ) = ∫ 0 x cas ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 1 ( 2 n ) ! ( 4 n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}. \end{정렬}}}
널리 사용되는 일부 테이블은 S (x )C (x 대신 2 π / 2t 2 사용한다. 이로써 무한대 에서의 2 · 2 1 / 2 √ t 이러한 대체 기능은 보통 정규화된 프레스넬 통합 으로 알려져 있다.
오일러 나선형 오일러 나선형(x , y ) =C (t ),S (t ) 나선은 t 가 양 또는 음의 무한대에 경향이 있기 때문에 영상의 구멍의 중심으로 수렴한다. 코르누 나선형의 진화를 그린 애니메이션으로, 끝부분과 곡률 반경이 같은 접선 원, 오스카 원이라고 도 한다. 오일러 나선형(Oiler Spiral Spiral ) 또는 천장형이라고 도 하며, C (t S (t )파라메트릭 플롯 에 의해 생성된 곡선이다. 코르누 나선은 마리 알프레드 코르누에 의해 과학과 공학에서의 회절 계산을 위한 노모그램 으로 만들어졌다.
프레스넬 통합의 정의에서 infinitesimals dx 및 dy 는 다음과 같다.
d x = C ′ ( t ) d t = cas ( t 2 ) d t , d y = S ′ ( t ) d t = 죄를 짓다 ( t 2 ) d t . {\displaystyle {\begin}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\오른쪽)\,dt,\ddd&=S'(t)\sin \left(t^{2}\오른쪽)\,dt. \end{정렬}}}
따라서 원점 에서 측정한 나선형의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다.
L = ∫ 0 t 0 d x 2 + d y 2 = ∫ 0 t 0 d t = t 0 . {\displaystyle L=\int _{0}^{0}{0}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2} }}}=\int _{0}^{t_{0}dt=t_{0}. }
즉, 매개변수 t 는 원점으로부터 측정 된 곡선 길이(0, 0) 이며, 오일러 나선형의 길이 는 무한하다. 벡터(cos(t 2 ), sin(t 2 ) 도 나선형을 따라 단위 접선 벡터 를 표현하여 θ 부여 2 . t 는 곡선 길이이므로 곡률 curvature 은 다음과 같이 표현할 수 있다.
κ = 1 R = d θ d t = 2 t . {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}={\frac {d\teta }{dt}=2t.}
따라서 곡선 길이에 대한 곡률 변화율은
d κ d t = d 2 θ d t 2 = 2. {\dt^{d}{dt}={dt}={\frac {d^{2}\theta}{dt^{2}}=2}=2. }
오일러 나선은 어느 지점 에서 곡률이 원점에서 측정한 나선상의 거리와 비례하는 특성을 가지고 있다. 이 특성은 고속도로와 철도공학에서 전환곡선 으로 유용하게 쓰인다: 차량이 단위 속도로 나선형을 따라간다면, 위의 파생상품의 매개변수 t 도 시간을 나타낸다. 결과적으로, 일정한 속도로 나선형을 따르는 차량은 일정 한 각 가속도 를 가질 것이다.
오일러 나선형의 부분들은 흔히 롤러코스터 루프의 모양에 통합되어 천 으로 된 루프 라고 알려진 것을 만든다.
특성. C (x )x )x 의 홀수 함수 다.x → integr 프레스넬 적분들의 점근법은 다음 공식에 의해 제시된다. S ( x ) = π 2 ( sgn x 2 − [ 1 + O ( x − 4 ) ] ( cas ( x 2 ) x 2 π + 죄를 짓다 ( x 2 ) x 3 8 π ) ) , C ( x ) = π 2 ( sgn x 2 + [ 1 + O ( x − 4 ) ] ( 죄를 짓다 ( x 2 ) x 2 π − cas ( x 2 ) x 3 8 π ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right) }}{x{\sqrt{2\pi }}}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\오른쪽) }{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right) }}{x{\sqrt {2\pi }}-{\frac {\cos \left(x^{2}\오른쪽) }}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}}\오른쪽). \end{정렬}}} 위의 파워 시리즈 확장을 사용하여 프레스넬 통합은 복잡한 숫자 의 영역까지 확장될 수 있으며, 여기서 그것들은 복합 변수의 분석 기능 이 된다. C (z )S (z )z 의 전체 함수 다.프레스넬 통합은 다음과 같은 오류 기능 을 사용하여 표현할 수 있다.[4] S ( z ) = π 2 ⋅ 1 + i 4 [ 에프 ( 1 + i 2 z ) − i 에프 ( 1 − i 2 z ) ] , C ( z ) = π 2 ⋅ 1 − i 4 [ 에프 ( 1 + i 2 z ) + i 에프 ( 1 − i 2 z ) ] . {\displaystyle {\begin{aigned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {1+i}{4} }}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right]. \end{정렬}}} 또는 C ( z ) + i S ( z ) = π 2 ⋅ 1 + i 2 에프 ( 1 − i 2 z ) , S ( z ) + i C ( z ) = π 2 ⋅ 1 + i 2 에프 ( 1 + i 2 z ) . {\displaystyle {\begin}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }2}}\cdot {\frac {1+i}{2}{2} }}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt{2}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\pqrt{\frac{2}}}\cdot{\\frcdac {1+i}{1+i}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}}}{2}{2} }}}\cHB 이름 {erf} \left\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right). \end{정렬}}} x C (x )S (x )기본적인 기능 의 측면에서 폐쇄적인 형태 로 평가할 수 없다.x 가 무한대로 이동할 때 이러한 기능의 한계 는 다음과 같이 알려져 있다.
∫ 0 ∞ cas ( t 2 ) d t = ∫ 0 ∞ 죄를 짓다 ( t 2 ) d t = 2 π 4 = π 8 ≈ 0.6267. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.}
프레스넬 통합의 한계를 계산하는 데 사용되는 섹터 윤곽선 인수 x 가 무한을 추구하는 C(x ) 와 S (x )그들[5] 등고선 적분 을 사용한다.
e − z 2 {\displaystyle e^{-z^{2}} 양의 x 축에복잡한 평면 에서 섹터 모양의 영역의 경계, 첫 번째 사분면 y x 의 이등분자, 그리고 R
R γ 2 따라 있는 적분은 0 을 나타내는 경향이 있다.
∫ γ 2 e − z 2 d z = ∫ 0 π 4 e − R 2 ( cas t + i 죄를 짓다 t ) 2 R e i t d t ≤ R ∫ 0 π 4 e − R 2 cas 2 t d t ≤ R ∫ 0 π 4 e − R 2 ( 1 − 4 π t ) d t = π 4 R ( 1 − e − R 2 ) , {\displaystyle \left \int _{\gamma _{2}}e^{-z^{2}}\,dz\right =\left \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}(\cos t+i\sin t)^{2}}\,Re^{it}dt\right \leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4 R}}\왼쪽(1-e^{-R^{2}}\오른쪽),} 여기서 극좌표 z Re it 사용되었고 요르단의 불평등 이 두 번째 불평등에 사용되었다. 실제 축 γ 1 따라 있는 적분은 가우스 적분 의 절반에 해당된다. ∫ γ 1 e − z 2 d z = ∫ 0 ∞ e − t 2 d t = π 2 . {\displaystyle \int_{\n1}e^{1-z^{2}}\,dz=\int_{0}^{0}^{\e^{-t^{2}}\,dt={\frac {\sqrt{\pi}}}}. }
또한, 통합은 복잡한 평면의 전체 함수이기 때문에 전체 윤곽선을 따라 통합은 0이다. 전반적으로, 우리는 반드시
∫ γ 3 e − z 2 d z = ∫ γ 1 e − z 2 d z = ∫ 0 ∞ e − t 2 d t , {\displaystyle \int_{\\\\{3}e^{2}}\\,dz=\int_{1}e^{1}e^{-z^{2}}\,dz=\int_{0}^{0}{\e^{-t^{2}}\}}} 여기서 γ 3 도표에서와 같이 제1 사분면의 이등분선을 나타낸다. 왼쪽 측면을 평가하려면 이등분자를 다음과 같이 파라메트리화하십시오. z = t e i π 4 = 2 2 ( 1 + i ) t {\displaystyle z=te^{i{\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt{2}}(1+i)t} 여기서 t 의 범위는 0 ~ +105이다. 이 표현식의 제곱은 +it일 2 뿐이라는 점에 유의하십시오. 그러므로 치환술은 왼손이 다음과 같이 되어 있다. ∫ 0 ∞ e − i t 2 2 2 ( 1 + i ) d t . {\displaystyle \int_{0}^{0}^{-e^{-it^{2}}:{\frac {\sqrt{2}}(1+i)\,dt.}
오일러 −it 2 공식 을 사용하여 e의 실제와 가상의 부분을 취하면 다음과 같이 된다.
∫ 0 ∞ ( cas ( t 2 ) − i 죄를 짓다 ( t 2 ) ) 2 2 ( 1 + i ) d t = 2 2 ∫ 0 ∞ [ cas ( t 2 ) + 죄를 짓다 ( t 2 ) + i ( cas ( t 2 ) − 죄를 짓다 ( t 2 ) ) ] d t = π 2 + 0 i , {\displaystyle{\begin{정렬}&,\int _ᆯ^ᆰ\left(\cos \left({2}t^ \right)-i\sin \left(t^{2}\right)\right){\frac{\sqrt{2}}{2}}(1+i)[6px]&, \quad ={\frac{\sqrt{2}}{2}}\int _ᆵ^ᆶ\left[\cos \left(t^{2}\right)+\sin \left(t^{2}\right)+i\left(\cos \left(t^{2}\right)-\sin \left(t^{2}\right)\right)\right]\,dt\\[6px]&, \quad.){\frac{\s qrt{\pi }:{2}}+0i,\end{aigned}} 여기서 우리는 0i 를 써서 원래의 가우스 적분 값이 상상의 부분 0으로 완전히 실제라는 것을 강조하였다. 내버려 두는 I C = ∫ 0 ∞ cas ( t 2 ) d t , I S = ∫ 0 ∞ 죄를 짓다 ( t 2 ) d t {\displaystyle I_{C}=\int _{0}^{\nft }\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\dt,\quad I_{S}=\int _{0}^{0}}{pit(t^{2}\rig)\dt} 그리고 나서 실제 부품과 가상 부품을 동일시하면 두 개의 미지의 I C I S 다음과 같은 두 개의 방정식이 생성된다. I C + I S = π 2 , I C − I S = 0. {\displaystyle {\reasoned} I_{C}+I_{S}&={\sqrt {\frac {}{2}}},\\\ I_{C}-I_{S}&=0. \end{정렬}}}
나나C 나나S
일반화 적분
∫ x m e i x n d x = ∫ ∑ l = 0 ∞ i l x m + n l l ! d x = ∑ l = 0 ∞ i l ( m + n l + 1 ) x m + n l + 1 l ! {\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l! }}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infl}{\frac{i^{l}}{{(m+nl+1) }}{\frac {{x^{m+nl+1}:{l! }}} 결합초기하함수 와 불완전한 감마함수 다. ∫ x m e i x n d x = x m + 1 m + 1 1 F 1 ( m + 1 n 1 + m + 1 n ∣ i x n ) = 1 n i m + 1 n γ ( m + 1 n , − i x n ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right) \\[6px]&={\frac {1}{n}i^{\frac {m+1}{n}}}\properties \refac\frac {m+1}{n1}{n},-ix^{n}\riged}}}}}} 실제 또는 가상 부품을 사용할 경우 프레스넬 통합으로 감소: ∫ x m 죄를 짓다 ( x n ) d x = x m + n + 1 m + n + 1 1 F 2 ( 1 2 + m + 1 2 n 3 2 + m + 1 2 n , 3 2 ∣ − x 2 n 4 ) . {\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right). } 점증적 팽창의 주어는 다음과 같다. 1 F 1 ( m + 1 n 1 + m + 1 n ∣ i x n ) ∼ m + 1 n Γ ( m + 1 n ) e i π m + 1 2 n x − m − 1 , {\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},} 따라서 ∫ 0 ∞ x m e i x n d x = 1 n Γ ( m + 1 n ) e i π m + 1 2 n . {\displaystyle \int_{0}^{0}^{\x^{m}e^{n}\,dx={\frac{1}{n}},\Gamma \left({\frac {m+1}{n}\오른쪽)e^{i\pi{\m+1}{2n}}}. }
m 0 의 경우 특히 이 방정식의 가상 부분은
∫ 0 ∞ 죄를 짓다 ( x a ) d x = Γ ( 1 + 1 a ) 죄를 짓다 ( π 2 a ) , {\displaystyle \int _{0}^{\inflt \}\sin \left(x^{a}\오른쪽)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac{1}{a}\오른쪽)\sin \left({\frac {}}{2}}\오른쪽),}}}}}, 오른쪽)} 좌측이 1 > 에 대해 수렴되고 우측이 전체 면에 대한 해석 확장인 경우, γ (a −1 .
결합초기하함수의 금메르 변환은
∫ x m e i x n d x = V n , m ( x ) e i x n , {\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n},} 와 함께 V n , m := x m + 1 m + 1 1 F 1 ( 1 1 + m + 1 n ∣ − i x n ) . {\displaystyle V_{n,m}={\frac {x^{m+1}:{m+1}:{m+1}\,_{1}F_{1}\{1}\좌측({\begin{1}\1\\+{\frac{m+1}{n1}{n}}}}}}\mid -ix^{n}\n}우측) }
수치 근사치 임의의 정밀도에 대한 계산을 위해, 파워 시리즈는 작은 인수에 적합하다. 큰 논쟁의 경우, 점증적 팽창이 더 빨리 수렴된다. 또한 지속적인 분수 방법을 사용할 수 있다.
특정 목표 정밀도에 대한 계산을 위해 다른 근사치가 개발되었다. 코디는 2× 10 까지의−19 상대적 오류를 주는 합리적인 기능을 바탕으로 효율적인 근사치 세트를 개발했다. 다른 언어로 구현하는 데 필요한 계수의 값을 포함하는 코디 근사치의 FORTRAN 구현이 반 스나이더에 의해 발표되었다. Boersma는 1.6× 10−9 미만의 오차를 가진 근사치를 개발했다.
적용들 프레스넬 통합은 원래 빛이 불투명한 물체를 중심으로 휘어지는 환경에서 전자기장 강도를 계산하는 데 사용되었다. 보다 최근에는 고속도로와 철도의 설계, 특히 곡률 전환 구역에서 선로 전환 곡선을 참조하는 데 이용되고 있다. 다른 애플리케이션은 롤러코스터 또는 벨로드롬 트랙의 전환을 계산하여 커브에 빠르게 진입하고 점진적으로 출구할 수 있도록 한다.[citation needed
참고 항목 메모들 ^ 기능들 wolfram.com, 프레스넬 적분 S: 등가함수를 통한 표현 과 등가함수 를 통한 프레스넬 적분 C: 등가함수를 통한 표현 . 참고:울프램은 아브 및을 사용한 이름에서 이 기사에서√.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{의 요인들에 따라 차이 Stegun 규칙,.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π⁄2. ^ 파라메트릭 통합 에 기초한 다른 방법은 예를 들어 Zajta & Goel 1989 에 설명되어 있다.
참조 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 7". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Alazah, Mohammad (2012). "Computing Fresnel integrals via modified trapezium rules". Numerische Mathematik . 128 (4): 635–661. arXiv :1209.3451 Bibcode :2012arXiv1209.3451A . doi :10.1007/s00211-014-0627-z . S2CID 13934493 . Beatty, Thomas (2013). "How to evaluate Fresnel Integrals" (PDF) . FGCU Math - Summer 2013 . Retrieved 27 July 2013 . Boersma, J. (1960). "Computation of Fresnel Integrals" . Math. Comp . 14 (72): 380. doi :10.1090/S0025-5718-1960-0121973-3 MR 0121973 . Bulirsch, Roland (1967). "Numerical calculation of the sine, cosine and Fresnel integrals". Numer. Math . 9 (5): 380–385. doi :10.1007/BF02162153 . S2CID 121794086 . Cody, William J. (1968). "Chebyshev approximations for the Fresnel integrals" (PDF) . Math. Comp . 22 (102): 450–453. doi :10.1090/S0025-5718-68-99871-2 Hangelbroek, R. J. (1967). "Numerical approximation of Fresnel integrals by means of Chebyshev polynomials". J. Eng. Math . 1 (1): 37–50. Bibcode :1967JEnMa...1...37H . doi :10.1007/BF01793638 . S2CID 122271446 . Mathar, R. J. (2012). "Series Expansion of Generalized Fresnel Integrals". arXiv :1211.3963 math.CA ]. Nave, R. (2002). "The Cornu spiral" . t 2 π / 2t 2 Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). "Section 6.8.1. Fresnel Integrals" . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 van Snyder, W. (1993). "Algorithm 723: Fresnel integrals". ACM Trans. Math. Softw . 19 (4): 452–456. doi :10.1145/168173.168193 . S2CID 12346795 . Stewart, James (2008). Calculus Early Transcendentals ISBN 978-0-495-38273-7 Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 van Wijngaarden, A.; Scheen, W. L. (1949). Table of Fresnel Integrals . Verhandl. Konink. Ned. Akad. Wetenschapen. Vol. 19. Zajta, Aurel J.; Goel, Sudhir K. (1989). "Parametric Integration Techniques". Mathematics Magazine . 62 (5): 318–322. doi :10.1080/0025570X.1989.11977462 . 외부 링크
.svg)
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002b9ff355b01dfc50dd0e0feab0f4c38c2968da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407600705c2052e6eb7040fa8557b62d68057988)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8ce089075b919154f476c7ce03d0042de5d9d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left(\cos \left(t^{2}\right)-i\sin \left(t^{2}\right)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(t^{2}\right)+\sin \left(t^{2}\right)+i\left(\cos \left(t^{2}\right)-\sin \left(t^{2}\right)\right)\right]\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d989e74dd984a8127b5f034eb8392d61d3101790)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e48d28903c53cdfc707c5b0c92a08bdc4612b0c)
