파라콤팩트 공간

수학에서 파라콤팩트 공간은 모든 오픈 커버가 국소적으로 유한한 열린 정교함을 갖는 위상학적 공간이다.이 공간들은 Dieudonné(1944년)에 의해 소개되었다.모든 좁은 공간은 파라콤팩트하다.모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정상이며, 어떤 오픈 커버에 종속된 통합의 칸막이를 허용하는 경우에만 하우스도르프 공간이 파라콤팩트다.때때로 파라콤팩트 공간은 항상 하우스도르프라고 정의된다.

파라콤팩트 공간의 모든 닫힌 하위 공간은 파라콤팩트다.하우스도르프 공간의 콤팩트 서브셋은 항상 닫히지만 파라콤팩트 서브셋의 경우는 그렇지 않다.그것의 모든 하위공간이 파라콤팩트 공간인 공간을 유전적으로 파라콤팩트라고 부른다.이것은 모든 열린 하위 공간이 파라콤팩트를 필요로 하는 것과 같다.

타이코노프의 정리(어떤 콤팩트한 위상학적 공간의 집합이 콤팩트하다는 것을 기술하는 것)는 파라콤팩트 공간의 산물이 파라콤팩트가 될 필요가 없다는 점에서 파라콤팩트 공간에 일반화되지 않는다.그러나 파라콤팩트 공간과 컴팩트한 공간의 산물은 항상 파라콤팩트다.

모든 미터법 공간은 파라콤팩트다.위상학적 공간은 파라콤팩트(paracompact)이고 국소적으로 측정할 수 있는 하우스도르프 공간인 경우에만 측정이 가능하다.

정의

A cover of a set $X$ is a collection of subsets of $X$ whose union contains $X$ . In symbols, if $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ is an indexed family of subsets of $X$ , then $U$ is a c다음인 $X$ $경우$ X {\ $displaystyle X}$ 이상

X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }

위상학적 공간 $X$ $X$ 의 커버는 모든 구성원이 $X$ 열린 세트일 경우 열려 있다. $스페이스$ X $X$ 의 커버를 정교하게 다듬은 것은 동일한 공간의 새로운 커버여서 $X$ 새 커버의 모든 세트가 기존 커버에 설정된 일부의 서브셋이 되도록 한다.In symbols, the cover $V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}$ is a refinement of the cover $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ if and only if, for every $V_{\beta }$ in $V$ , there exists some ${\display$ $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$ $U$ 에서 $U_{\alpha }$ $U$ $스타일 U_{\alpha }.$ V $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$ $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$ $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$ ${\$ $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$

공간 $X$ {\ $displaystyle X}$ 의 오픈 커버는 공간의 모든 지점이 커버에서 미세하게 많은 세트만 교차하는 근접한 경우 국소적으로 유한하다 $X$ .In symbols, $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ is locally finite if and only if, for any $x$ in $X$ , there exists some neighbourhood $V(x)$ of $x$ such that the set

[\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\#Alpha }\cap V(x)\neq \varnothing \right\}}

유한하다.위상학적 공간 $X$ $X$ 은(는) 모든 오픈 커버가 국소적으로 유한한 오픈 정교함을 갖는다면 파라콤팩트(paracompact)라고 한다 $X$ .

예

모든 좁은 공간은 파라콤팩트하다.
모든 정기적인 린델뢰프 공간은 파라콤팩트다.^[1]특히 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 2차 카운트 가능 공간은 모두 파라콤팩트다.
Sorgenfrey 라인은 비록 작지도, 지역적으로 압축하지도, 두 번째로 셀 수도 없고, 메트리징도 가능하지도 않지만 파라콤팩트다.
모든 CW단지는 파라콤팩트다.^[2]
(A. H. 스톤이라는 주의) 모든 미터 공간은 파라콤팩트다.^[3]초기 증거는 어느 정도 관련되었지만, M. E. 루딘에 의해 초등적인 증거가 발견되었다.^[4]이에 대한 기존 증명에는 분리할 수 없는 경우에 대한 선택의 공리가 필요하다.의존적 선택의 약한 공리가 더해진 후에도 ZF 이론은 그것을 증명하기에 충분하지 않다는 것을 보여주었다.^[5]

파라콤팩트(paracompact)가 아닌 공간의 일부 예는 다음과 같다.

가장 유명한 counterexample은 긴 선으로, 비파라콤팩트 위상학 다지관이다. (긴 선은 국소적으로 콤팩트하지만 두 번째로 셀 수 있는 것은 아니다.
또 다른 예는 무한 이산 공간의 셀 수 없이 많은 복사본의 산물이다.특정 지점 위상도를 전달하는 무한 집합은 파라콤팩트가 아니며, 사실 그것은 메타콤팩트도 아니다.
Prufer 다지관은 비 파라콤팩트 표면이다.
백파이프 정리는 비파라콤팩트 표면의 이형성 등급이 2개^ℵ₁ 있음을 보여준다.
소르겐프리 비행기는 두 개의 파라콤팩트 공간의 산물임에도 불구하고 파라콤팩트가 아니다.

특성.

파라콤팩트(paracompactness)는 약하게 유전된다. 즉, 파라콤팩트 공간의 모든 닫힌 하위 공간은 파라콤팩트(paracompact)이다.이것은 F-시그마 서브 스페이스로도 확장될 수 있다.

모든 오픈 커버가 국소적으로 유한한 정교함을 인정하는 경우 정규 공간은 파라콤팩트(paracompact). (여기서는 정교함을 열 필요가 없다.)특히 정기적인 린델뢰프 공간은 모두 파라콤팩트다.
(Smirnov metrization organization) 위상학적 공간은 파라콤팩트, 하우스도르프, 국부적 메트리징이 가능한 경우에만 메트리징이 가능하다.
Michael 선택 정리에서는 X에서 Banach 공간의 비어 있지 않은 닫힌 볼록 하위 집합으로 낮은 반비례적 다변화가 paracompact인 경우 연속 선택을 인정한다고 명시하고 있다.

파라콤팩트 공간의 산물이 파라콤팩트가 될 필요는 없지만, 다음 사항은 사실이다.

파라콤팩트 공간과 컴팩트한 공간의 산물은 파라콤팩트다.
메타콤팩트 공간과 컴팩트한 공간의 산물은 메타콤팩트다.

이 두 가지 결과는 관 보조정리기로 증명할 수 있는데, 이는 미세하게 많은 콤팩트한 공간의 제품이 콤팩트하다는 증거에 사용된다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간

파라콤팩트 공간은 때때로 그들의 속성을 확장하기 위해 하우스도르프가 되어야 한다.

(장 디우도네 주의) 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정상이다.
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 축소된 공간이다. 즉, 파라콤팩트 하우스도르프 공간의 모든 오픈 커버는 축소된다. 새로운 커버의 모든 세트의 닫힘이 이전 커버의 해당 세트 안에 있도록 동일한 세트에 의해 인덱싱된 또 다른 오픈 커버가 있다.
파라콤팩트 하우스도르프 공간에서는 셰이프 코호몰로지(sheaf cohomology)와 체치 코호몰로지(chech cohomology)^[6]가 동일하다.

통합의 파티션

파라콤팩트 하우스도르프 공간의 가장 중요한 특징은 그것들이 정상이고 어떤 열린 커버에 종속된 통합의 칸막이를 인정한다는 것이다.이는 다음을 의미한다: X가 주어진 개방형 커버를 가진 파라콤팩트 하우스도르프 공간인 경우, 다음과 같이 단위 간격[0, 1]에 값을 갖는 연속 함수 집합이 X에 존재한다.

컬렉션의 모든 기능 f: X → R에 대해, 커버로부터 오픈 세트 U가 있어, f의 지원이 U에 포함되어 있다.
X의 모든 포인트에 대해, x의 근린 V가 있어서, 집합에서 거의 대부분의 기능을 제외한 모든 기능이 V에서 동일하게 0이고, 0이 아닌 기능의 합은 V에서 동일하게 1이다.

실제로 T₁ 공간은 어떤 오픈 커버(아래 참조)에 종속된 통합의 파티션을 허용하는 경우에만 하우스도르프와 파라콤팩트다.이 속성은 때때로 파라콤팩트 공간(최소한 하우스도르프 사례에서)을 정의하는데 사용된다.

통합의 칸막이는 종종 지역 건축물을 전체 공간으로 확장할 수 있게 해주기 때문에 유용하다.예를 들어, 파라콤팩트 다지관의 미분형성분들은 우선 국부적으로 정의되며(다지관은 유클리드 공간처럼 보이고 적분은 잘 알려져 있다), 이 정의는 통합의 분할을 통해 전체 공간으로 확장된다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간이 통합의 파티션을 허용한다는 증거

(증거를 보려면 오른쪽에 있는 "표시"를 클릭하고, 증거를 숨기려면 "숨기기"를 클릭하십시오.)

하우스도르프 공간 $X\,$ ${\$ 은(는) 모든 개방형 커버가 통합의 하위 파티션을 허용하는 경우에만 파라콤팩트다 $X\,$ .if 방향은 간단하다.이제 유일한 방향은, 우리는 몇 단계로 이것을 한다.

Lemma 1: If

{\mathcal {O}}\,

is a locally finite open cover, then there exists open sets

W_{U}\,

for each

U\in {\mathcal {O}}\,

, such that each

{\bar {W_{U}}}\subseteq U\,

and

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

{\displaystyle \{W_{U}:

U\in {\mathcal {O}\}\,}

은(는) 국소적으로 유한한 정제다

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

.

Lemma

{\mathcal {O}}\,

:

{\mathcal {O}}\,

O {\

displaystyle

{\

mathcal

{O

}\},}

이(가

{\mathcal {O}}\,

) 국소적으로 유한한 개방형 커버라면, 지속적인 함수

f_{U}:X\to [0,1]\,

:

f_{U}:X\to [0,1]\,

→

f_{U}:X\to [0,1]\,

[ 0 ,

f_{U}:X\to [0,1]\,

f_{U}:X\to [0,1]\,

{\

:

X

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

to [0,1]\,

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

f

U

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

U

{\

그리고

f_{U}:X\to [0,1]\,

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

displaysty

f

:=\sum {\mathcal {O}f

}f_

{{{{}

f}f}{{{}}f}}f}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}

U}\,}

은(는) 항상 0이 아니고 유한한 연속 함수다

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

.

정리:파라콤팩트 하우스도르프

X\,

X

{\

X

\,}

에서

X\,

O

displaystyle {\mathcal{O}\}}

이

\mathcal{O}\,

(가) 열린 커버라면, 그 아래 통합의 파티션이 존재한다.

증거(리메마 1):

{\mathcal {V}}\,

displaystyle {\mathcal {V}\},

{\mathcal {O}}\,

{\

{\mathcal {O}}\,

의 세트에 마감재가

{\mathcal {O}}

되어 있는 오픈 세트의 집합이

{\mathcal {V}}\,

될 수 있도록

{\mathcal {O}}

하라. 파라콤팩트 하우스(Paracompact HausDor

)

를 사용하기 때문에 오픈 세트로 확인할 수 있다.f 공간은 정규 공간이며,

{\mathcal {O}}\,

displaystyle

{\

mathcal {O}\}\

은

\mathcal{O}\,

(는) 국소적으로 유한하므로.이제

{\mathcal {V}}\,

displaystyle {\mathcal {V}\}

을(를) 국소적으로 유한한 개방형 정교함으로 교체하십시오

{\mathcal {V}}\,

.이러한 정교함의 각 세트는 원래 커버의 특징과 동일한 특성을 가지고 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

Now we define

W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,

. The property of

{\mathcal {V}}\,

guarantees that every

A\in {\mathcal {V}}

is contained in some

W_{U}

. Theref광석

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

{

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

:

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

{\

U\in {\mathcal {O}\}\,}

은

\{W_{U}:U\in\mathcal{O}\}\,

(는) O

displaystyle {\mathcal {O}\,}

의 공개 정제

{\mathcal {O}}\,

W

\

U {\

displaystyle W_{U

}\subseteq

U}

이(가) 있으므로 이 커버는 즉시 국소적으로 유한하다

W_{U}\subseteq U

Now we want to show that each

{\bar {W_{U}}}\subseteq U\,

. For every

x\notin U

, we will prove that

x\notin {\bar {W_{U}}}

. Since we chose

{\mathcal {V}}

to be locally finite, there is a neighbourhood

V[x]

V[x]

of

x

such that only finitely many sets in

{\mathcal {V}}

have non-empty intersection with

V[x]

, and we note

{\displaystyle A_{1},...,

A_{n},...

\in {\mathcal {V}

W_{U}

W_{U}

{\

의 정의에 있는

A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}

것

W_{U}

따라서 W

W_{U}

{\\

를 A

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

,

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

. ,

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

A

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

V

{\

},

...,

두 부분으로

W_{U}

분해할 수 있다.

A_{n}\in {\mathcal {V}}}

who intersect

V[x]

, and the rest

A\in {\mathcal {V}}

who don't, which means that they are contained in the closed set

C:=X\setminus V[x]

. We now have

{\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C

{\displaystyle {\bar {W_{U}}\subseteq {\bar {A_{1}}\컵...

\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}

. Since

{\bar {A_{i}}}\subseteq U

and

x\notin U

, we have

x\notin {\bar {A_{i}}}

for every

i

. And since

C

is the complement of a neighbourhood of

x

C

{\

displaystyle

x

x

x

x

도 C {\

displaystyle

C

}

에 없다

x

C

따라서

x\notin {\bar {W_{U}}}

는 x

x\notin {\bar {W_{U}}}

x\notin {\bar {W_{U}}}

U

'

{\

displaystyle

x

\notin {\w_{

U}}}}을

(를)

가지고 있다

x\notin {\bar {W_{U}}}

$\blacksquare \,$ ${\$ Lem 1)

증거(리메마 2):

Lemma 1 적용 시 f

f_{U}:X\to [0,1]\,

:

f_{U}:X\to [0,1]\,

→

f_{U}:X\to [0,1]\,

[

f_{U}:X\to [0,1]\,

, 1

f_{U}:X\to [0,1]\,

]

{\

X\to [0,1]\,}

be continuous maps with

f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,

and

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

(by Urysohn's lemma for disjoint closed sets in normal spaces, which a paracompact Hausdorff space is).함수의 지원으로, 여기서 우리는 0에 매핑되지 않는 점(이 집합의 닫힘이 아님)을 의미한다.

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

=

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

f

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal{O}}f_{{{

U\in}}}}을(를) 표시하려면

U}\,}

is always finite and non-zero, take

x\in X\,

, and let

N\,

a neighbourhood of

x\,

meeting only finitely many sets in

{\mathcal {O}}\,

; thus

x\,

belongs to only finitely many sets in

{\dis

playstyle {\mathcal {O}}\,}

; thus

f_{U}(x)=0\,

for all but finitely many

U\,

; moreover

x\in W_{U}\,

for some

U\,

, thus

f_{U}(x)=1\,

; so

{\displaystyle f(x)\

,}

은

f(x)\,

(는) 유한하고

\geq 1\,

\geq 1\,

{\

x,N\,

을 확립하려면 x

x,N\,

,

x,N\,

{\

x

,N\}

을(를) 전과 같이

x,N\,

취하여

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

=

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

{

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

∈

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

:

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

이

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

{\

{

O}::

N{\text{ meets }}U\}\,}

, which is finite; then

f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,

, which is a continuous function; hence the preimage under

f\,

of a neighbourhood of

f(x)\,

will be a neighbourhood of

x\,

displaystyle

x

\,})

$\blacksquare \,$ ${\$ Lem 2)

증거(테오렘):

Take

{\mathcal {O}}^{*}\,

a locally finite subcover of the refinement cover:

\{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,

. Applying Lemma 2, we obtain continuous functions

{\dis

playstyle f_{W}:X\to [0,1]\,}

with

\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,

(thus the usual closed version of the support is contained in some

U\in {\mathcal {O}}\,

, for each

W\in {\mathcal {O}}^{*}\,

; for which their sum cons항상 유한 비 0인 연속 함수를 티칭한다(수평

1/f\,

/

1/f\,

{\

1/

f\,}

은

1/f\,

(는) 연속 양성, 유한 값이다.So replacing each

f_{W}\,

by

f_{W}/f\,

, we have now — all things remaining the same — that their sum is everywhere

1\,

. Finally for

x\in X\,

, letting

N\,

be a neighbourhood of

{\displ

aystyle x\,}

meeting only finitely many sets in

{\mathcal {O}}^{*}\,

, we have

f_{W}\upharpoonright N=0\,

for all but finitely many

W\in {\mathcal {O}}^{*}\,

since each

{\displaystyle \operatorname {sup

p} ~f_{W}\subseteq W

그러므로 원래 열린 커버에 종속된 통합의 파티션이 있다.

$\blacksquare \,$ ${\$ Thm)

콤팩트한 관계

컴팩트함의 정의와 파라콤팩트 사이에는 유사성이 있다.파라콤팩트성의 경우, "하위 커버"는 "열린 정제"로 대체되고, "완료"는 "로컬 유한"으로 대체된다.이 두 가지 변화 모두 중요하다: 만약 우리가 파라콤팩트의 정의를 받아들이고 "열린 정제"를 "하위표지"로 다시 바꾸거나 "로컬리 유한"을 "완료"로 바꾸면, 우리는 두 경우 모두 좁은 공간을 갖게 된다.

파라콤팩트성은 소형성의 개념과는 거의 관계가 없으며 오히려 위상적 공간 실체를 관리 가능한 조각으로 분해하는 것과 더 관련이 있다.

특성과 압축성 비교

파라콤팩트성은 다음과 같은 점에서 콤팩트함과 유사하다.

파라콤팩트 공간의 모든 닫힌 부분집합은 파라콤팩트다.
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정상이다.

이러한 점에서 다르다.

하우스도르프 공간의 파라콤팩트 부분집합은 닫을 필요가 없다.실제로 미터법 공간의 경우 모든 하위 집합은 파라콤팩트다.
파라콤팩트 공간의 산물은 파라콤팩트가 될 필요가 없다.하한 위상에서의 실제 선 R의 제곱은 이것에 대한 고전적인 예다.

변형

파라콤팩트(paracompactness)라는 개념에는 여러 가지 변형이 있다.이러한 용어를 정의하려면 먼저 위의 용어 목록을 확장해야 한다.

위상학적 공간은 다음과 같다.

모든 오픈 커버가 개방된 점으로 한정된 정교함을 갖는 경우 메타콤팩트.
모든 오픈 커버가 개방된 정교함을 가지고 있는 경우, 직교법(직교법)은 이러한 정교함의 어느 지점에 대한 모든 오픈 세트의 교차점이 개방되어 있다.
모든 개방형 커버에 개방성 미세화가 있는 경우 완전 정상이고, 완전 정상이면 완전₄ T 및 T₁(분리 공리 참조)

"countably"라는 부사는 "paracompact", "metacompact" 및 "fully normal"이라는 형용사 중 어느 하나에나 추가될 수 있으며, 이는 해당 요건을 카운트 가능한 오픈 커버에만 적용하도록 한다.

모든 파라콤팩트 공간은 메타콤팩트, 모든 메타콤팩트 공간은 정형콤팩트다.

변동에 대한 관련 용어 정의

커버와 포인트가 주어지면, 커버에 있는 포인트의 별은 포인트가 포함된 커버에 있는 모든 세트의 조합이다.기호에서 x의 U = {U_α : α in A}의 별은

\mathbf {U}^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }}

별에 대한 표기법은 문헌에 표준화되어 있지 않으며, 이것은 단지 하나의 가능성일 뿐이다.

스페이스 X 커버의 항성 정제란 동일한 공간의 새로운 커버로, 공간의 어떤 점을 감안했을 때, 새로운 커버에 있는 포인트의 별은 기존 커버에 설정된 일부의 부분집합이 되도록 한다.기호에서 V는 U = {U_α : α in A}의 항성 정제로서, 만약 X의 어떤 X에 대해 U에 V^*(x)가 U에 포함되는_α U가_α 존재한다면 그 경우에 한한다.
공간 X의 커버는 공간의 모든 포인트가 커버에서 미세하게 많은 세트에만 속하는 경우 점으로 한정된다.기호에서 U는 X의 임의의 x에 대해 $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ α $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ A $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ : $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ ${\$ u_{\ $alpha }\right\}}}}}$ 집합이 $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ 유한한 경우에만 점으로 한정된다 $.$

이름에서 알 수 있듯이 완전히 정상적인 공간은 정상이다.모든₄ T 공간은 파라콤팩트다.사실 하우스도르프 공간의 경우 파라콤팩트(paracompactity)와 완전한 정규성이 동등하다.따라서 완전한 T₄ 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 같은 것이다.

하우스도르프 속성이 없다면 파라콤팩트 공간이 반드시 완전히 정상인 것은 아니다.규칙적이지 않은 모든 콤팩트한 공간은 예를 제공한다.

역사적 참고: 완전히 정상적인 공간은 1940년 존 W에 의해 파라콤팩트 공간 이전에 정의되었다.투키.^[7] 모든 측정 가능한 공간이 완전히 정상이라는 증거는 쉽다.A.H. 스톤에 의해 하우스도르프의 공간은 완전한 정규성과 파라콤팩트성이 동등하다는 것이 증명되었을 때, 그는 모든 메트리존스 공간이 파라콤팩트임을 암묵적으로 증명했다.후에 어니스트 마이클은 후자의 사실에 대한 직접적인 증거를 제시했고 M.E. 루딘은 또 다른 초기의 증거를 제시했다.

참고 항목

메모들

^ Michael, Ernest (1953). "A note on paracompact spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 831–838. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN 0002-9939.
^ 해처, 앨런, 벡터 번들, K-이론, 예비 버전은 저자의 홈페이지에서 볼 수 있다.
^ 스톤, A. H. 파라콤팩트, 제품 공간.황소. 아머.수학. Soc. 54 (1948), 977–982
^ 루딘, 메리 엘렌.미터법 공간이 파라콤팩트하다는 새로운 증거.미국수학협회의 의사록, 제20권, 제2권 (1969년 2월, 페이지 603).
^ C. Good, I. J. Tree, W. S. Watson.스톤의 정리와 선택의 축제에 관하여.미국수학협회의 의사록 126권, 제4권(1998년 4월), 페이지 1211–1218.
^ Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization, Progress in Mathematics, vol. 107, Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
^ * Tukey, John W. (1940). Convergence and Uniformity in Topology. Annals of Mathematics Studies. Vol. 2. Princeton University Press, Princeton, N. J. pp. ix+90. MR 0002515.

참조

Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 23: 65–76, ISSN 0021-7824, MR 0013297
Lynn Arthur Steen과 Jr. Arthur Seebach, 주니어, 토폴로지의 Counterrexampes in Topology(2 Ed), Springer Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7.페이지 23.
Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
Mathew, Akhil. "Topology/Paracompactness".

외부 링크

"Paracompact space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Michael, Ernest (1953). "A note on paracompact spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 831–838. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN 0002-9939.

[2] 해처, 앨런, 벡터 번들, K-이론, 예비 버전은 저자의 홈페이지에서 볼 수 있다.

[3] 스톤, A. H. 파라콤팩트, 제품 공간.황소. 아머.수학. Soc. 54 (1948), 977–982

[4] 루딘, 메리 엘렌.미터법 공간이 파라콤팩트하다는 새로운 증거.미국수학협회의 의사록, 제20권, 제2권 (1969년 2월, 페이지 603).

[5] C. Good, I. J. Tree, W. S. Watson.스톤의 정리와 선택의 축제에 관하여.미국수학협회의 의사록 126권, 제4권(1998년 4월), 페이지 1211–1218.

[6] Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization, Progress in Mathematics, vol. 107, Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.

[7] * Tukey, John W. (1940). Convergence and Uniformity in Topology. Annals of Mathematics Studies. Vol. 2. Princeton University Press, Princeton, N. J. pp. ix+90. MR 0002515.

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