힐버트의 스물두 번째 문제

힐버트의 22번째 문제는 데이비드 힐버트가 1900년에 편찬한 23개의 힐버트 문제들에 대한 유명한 리스트에 있는 penultimate entry이다.그것은 자동형 함수에 의한 분석 관계의 통일화를 수반한다.

문제명세서

원래의 문제 진술의 전부는 다음과 같다.

푸앵카레(Poincaré)가 가장 먼저 증명되었기 때문에, 한 변수의 자동형 함수를 사용함으로써 두 변수 사이의 대수적 관계를 균일성으로 줄이는 것이 항상 가능하다.즉, 두 변수의 대수 방정식이 주어진다면, 이러한 변수에 대해 항상 단일 변수의 그러한 단일 가치 자동형 함수 두 개를 발견할 수 있고, 그 대체는 주어진 대수 방정식을 식별한다.두 변수 사이의 어떤 분석적 비알제브라 관계에 대한 이러한 근본적인 정리의 일반화는 푸앵카레에 의해서도 마찬가지로 시도되었지만, 처음에 언급된 특별한 문제에서 그에게 도움이 되었던 그것과는 완전히 다른 방법으로도 불구하고, 푸앵카레에 의해 성공하였다.그러나 두 변수 사이의 임의적인 분석적 관계를 축소할 가능성에 대한 푸앵카레의 증명으로부터, 해결 기능이 특정 추가 조건을 만족하도록 결정할 수 있는지는 분명하지 않다.즉, 하나의 새로운 변수의 두 개의 단일 가치 함수를 그렇게 선택할 수 있는지는 보여지지 않고, 이 변수가 그 함수의 정규 영역을 가로지르는 동안, 주어진 분석 분야의 모든 정규 점의 총계에 실제로 도달하여 표현된다.반대로 Poincaré의 조사에서는 특정 지점들 옆에 특정 지점들, 일반적으로 분석 분야의 다른 개별적인 예외 지점들이 무한히 많으며, 새로운 변수가 기능의 특정 제한 지점에 접근하게 함으로써만 도달할 수 있는 경우가 있는 것으로 보인다.푸앵카레가 문제를 공식화하는 것의 근본적인 중요성에 비추어 볼 때, 나는 이 난관에 대한 설명과 해결이 극히 바람직하다고 생각한다.

이 문제와 함께, 세 개 이상의 복잡한 변수들 사이의 대수적 관계나 다른 분석적 관계를 균일성으로 줄이는 문제를 제기한다. 즉, 많은 특정한 경우 해결할 수 있다고 알려져 있는 문제.이에 대한 해법으로, 두 변수의 대수적 기능에 대한 피카르의 최근 조사는 환영받고 중요한 예비 연구로 간주된다.^[1]

부분적 해결

코에베는 리만 표면이 복잡한 구의 열린 부분집합(또는 모든 요르단 곡선이 그것을 분리하는 경우 동등하게)에 대해 동형인 경우, 그것은 그 복잡한 영역의 열린 부분집합과 일치하게 동등하다는 일반적인 통일화 정리를 증명했다.

현재 상태

이 문제는 현재 열려 있다.^{[2][dubious – discuss]}그리피스와 버스에 의해 어느 정도 진전이 있었다.

참조

• Bers, Lipman (1976). "On Hilbert's Twenty-Second Problem". In Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. XXVIII.2. American Mathematical Society. pp. 559–609. ISBN 0-8218-1428-1.