힐버트의 다섯 번째 문제

힐버트의 다섯 번째 문제는 수학자 데이비드 힐버트가 1900년에 발표한 문제목록 중 다섯 번째 수학 문제인데, 리 그룹의 특성화에 관한 것이다.

Lie groups 이론은 수학에서 연속적인 대칭을 묘사한다; 그곳과 이론 물리학에서 그것의 중요성은 20세기에 꾸준히 성장했다. 대략적으로 말하면, 리 집단 이론은 집단 이론의 공통 근거와 위상학적 다지관의 이론이다. 힐버트가 던진 질문은 이렇게 정확하게 만드는 것의 예리한 질문이었다: 매끄러운 다지관의 제한이 가해진다면 어떤 차이가 있을까?

예상된 답은 음(리 그룹 이론에서 가장 중심적인 예인 고전 그룹은 매끄러운 다지관이다.)에 있었다. 이것은 결국 1950년대 초에 확인되었다. 힐베르트는 "manifold"라는 정확한 개념을 사용할 수 없었기 때문에, 현대 수학 언어에서의 문제의 공식화에 대해 약간의 논쟁의 여지가 있다.

클래식 제형

오랫동안 받아들여진 공식은 역시 위상학적 다양성이었던 위상학적 집단으로 리 그룹을 특징짓는 것이 문제라는 것이었다. 힐버트가 사용했을 것에 더 가까운 용어로, 해당 그룹 G의 ID 요소 e 근처에 e를 포함하는 유클리드 공간에 오픈 세트 U가 있으며, U의 일부 오픈 서브셋 V에는 연속적인 매핑이 있다.

F : V × V → U

정의되는 그룹 공리를 만족시키는 것. 이 정도는 전형적인 지역 유클리드 위상학 집단의 단편이다. 이때 문제는 f가 e에 가까운 매끄러운 함수라는 것을 보여주는 것이다(위상학적 집단은 동질적인 공간이기 때문에 e에 가까운 곳과 어디에서나 똑같아 보인다).

또 다른 방법은 F의 가능한 차별성 등급은 중요하지 않다는 것이다: 그룹 공리는 전체 ^k C 게이머트를 붕괴시킨다.

해결책

첫 번째 주요 결과는 1933년 존 폰 노이만의 콤팩트 그룹이었다.^[1] 국지적으로 콤팩트한 아벨 그룹 사건은 1934년 레프 폰트랴긴에 의해 해결되었다. 적어도 힐버트가 의미하는 이 해석에서 최종 결의안은 1950년대 앤드류 글리슨, 데인 몽고메리, 레오 지핀의 작품과 함께 나왔다.

1953년 야마베 히데히코는 힐베르트의 다섯 번째 문제에 대한 최종 답을 얻었다.^[2]

연결된 국소 콤팩트 그룹 G가 일련의 Lie 그룹의 투영 한계이고, G가 "작은 하위 그룹이 없다"(아래에 정의된 조건)라면 G는 Lie 그룹이다.

그러나, 이 문제는 문헌에서, 주로 다양한 연구자들에 의해 주어진 문제에 대한 힐버트의 진술에 대한 다른 해석에 기초하여, 그러한 주장들이 있었기 때문에 여전히 논의되고 있다.^[3]

보다 일반적으로, 거의 연결된 모든 지역적 소형 그룹은 Lie 그룹의 프로젝트적 한계다. 우리가 일반적인 로컬 컴팩트 그룹 G와 ID₀ G의 연결된 구성 요소를 고려한다면, 우리는 그룹 확장자를 가지고 있다.

G₀ → G → G/G₀.

완전히 분리된 그룹으로서 G/G는₀ 개방된 콤팩트 서브그룹을 가지고 있으며, 그러한 오픈 컴팩트 서브그룹의 풀백 G′은 개방적이고 거의 연결된 G의 서브그룹이다. 이렇게 해서 G에 대해서는 (G g × G/ )/G에₀ 대해 동형이기 때문에, G′/G는₀ 이산형 집합이다.

대체 제형식

또 다른 견해는 G를 추상적으로 다루기보다는 변혁 집단으로 취급해야 한다는 것이다. 이는 힐버트-스미스 추측의 공식화로 이어지며, $2013년$ R ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ R$^{3}$에 대해 입증되었다.

작은 부분군 없음

이론에서 중요한 조건은 작은 부분군이 아니다. 위상군 G, 또는 위의 F와 같은 집단의 일부분은 {e}보다 큰 부분군이 없는 e의 인접군 N이 있으면 작은 부분군이 없다고 한다. 예를 들어, 원 그룹은 조건을 만족하지만, 첨가제 그룹으로서의 p-adic 정수 Z는_p 그렇지 않다. N은 모든 큰 정수 k에 대해 부분군: p Z를^k_p 포함하기 때문이다. 이것은 문제의 난이도가 어떤 것인지 짐작하게 한다. 힐버트-스미스 추측의 경우, Z가_p 닫힌 다지관에서 충실하게 행동할 수 있는지에 대한 알려진 감소의 문제다. Gleason, Montgomery, Zippin은 작은 하위 그룹이 없는 그룹으로 지역적으로 작은 그룹들 사이에서 Lie 그룹을 특징지었다.

무한치수

연구원들은 또한 유한한 차원성을 가정하지 않고 힐버트의 다섯 번째 문제를 고려했다. 베냐미니와 린덴스트라우스의 마지막 장에서는 힐베르트의 다섯 번째 문제인 '퍼 엔플로'에 대한 논제를 압축 없이 논한다.

참고 항목

• 한스 로드스트룀

메모들

참조

• Morikuni, Goto (1961). "Hidehiko Yamabe (1923–1960)". Osaka Mathematical Journal. 13 (1): i–ii. MR 0126362. Zbl 0095.00505.
• Rosinger, Elemér E. (1998). Parametric Lie Group Actions on Global Generalised Solutions of Nonliear PDE. Including a solution to Hilbert's Fifth Problem. Mathematics and Its Applications. 452. Doerdrecht–Boston–London: Kluwer Academic Publishers. pp. xvii+234. ISBN 0-7923-5232-7. MR 1658516. Zbl 0934.35003.
• D. 몽고메리 및 L. 지핀, 위상 변환 그룹
• 야마베, 히데히코, 오사카 수학 저널 v.2, 3월 1일 (1950년), 13–14. 한 리 그룹의 호칭 연결 서브그룹에 대하여.
• Irving Kaplansky, Lie Algebras and Local Compact Groups, Chicago Studies in Mathematics, 1971.
• Benyamini, Yoav and Lindenstrauss, Joram, 기하학적 비선형 기능 분석 Colorquium 출판물, 48. 미국 수학 협회
• 엔플로, 퍼. (1970년) 힐베르트의 다섯 번째 지역적 콤팩트 그룹 문제 조사. (1969년부터 1970년까지 엔플로 5개 조항의 박사 논문)
  • Enflo, Per; 1969a: 한 쪽의 곱셈이 서로 다르거나 선형인 위상학적 그룹. 수학, 스캔, 195–197
  • Per Enflo (1969). "On the nonexistence of uniform homeomorphisms between L_p spaces". Ark. Mat. 8 (2): 103–105. doi:10.1007/BF02589549.
  • Enflo, Per; 1969b: Smirnov의 문제에 관하여. 아크. 수학 8, 107–109.
  • Enflo, P. (1970). "Uniform structures and square roots in topological groups". Israel Journal of Mathematics. 8 (3): 230–252. doi:10.1007/BF02771560. S2CID 189773170.
  • Enflo, P. (1970). "Uniform structures and square roots in topological groups". Israel Journal of Mathematics. 8 (3): 253–272. doi:10.1007/BF02771561. S2CID 121193430.