힐베르트의 19번째 문제

힐버트의 19번째 문제는 데이비드 힐버트가 1900년에 정리한 리스트에 수록된 23개의 힐버트 문제 중 하나이다.^[1]그것은 변동의 미적분학에서 규칙적인 문제들의 해결책이 항상 분석적인 것인지 묻는다.^[2]분석적 coefficients,[3]힐베르트의 19문제를 그 기술적인 성명에도 불구하고 Informally, 그리고 아마도 덜 직접적으로 이후"정규 변분 문제"의 힐베르트의 개념 정확히는 변분 문제를 식별하는Euler–Lagrange 방정식은 타원 편미분 방정식, 단순히 묻는지 여부에 있는 이 C.(부분 미분 방정식의 ss, 모든 용액 함수는 해결된 방정식에서 비교적 단순하고 잘 이해된 구조를 계승한다.힐버트의 19대 문제는 1950년대 후반 엔니오 데 지오르기와 존 포브스 내쉬 주니어에 의해 독자적으로 해결되었다.

역사

문제의 근원

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhängigen Variabeln sind, die also, kurz gesagt, nur analytischer Lösungen fähig sind.^[4]

— David Hilbert, (Hilbert 1900, p. 288).

데이비드 힐버트는 제2차 국제 수학자대회 연설에서 지금 힐버트의 19번째 문제를 제시했다.^[5](힐베르트 1900년 페이지의 주 288)에서 그는 그의 생각으로는 한 분석 기능의 이론의 가장 주목할 만한 사실 거기에는 솔루션으로서 기능만 이러한 종류들이 자신을 인정해 편미분 방정식의 수업, 라플라스 방정식, 뤼빌 equation,[6]은 극소 곡면 방정식과 선형 pa. 한반의 adducing 존재한다고 나온다rt에밀 피카르가 예로 연구한 일차 미분방정식.^[7]그런 다음, 그는 이 속성을 공유하는 부분 미분방정식의 대부분이 잘 정의된 종류의 변동 문제의 오일러-라그랑주 방정식이며, 다음과 같은 세 가지 특성을 특징으로 한다는 사실에 주목한다.^[8]

(1) ${\displaystyle {\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{Minimum}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]}$,

(2) ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0}$,

(3) F는 모든 인수 p, q, z, x, y의 분석함수다.

힐베르트는 이러한 종류의 변이 문제를 "정기적인 변이 문제"라고 부른다:[9] (1) 속성은 그러한 종류의 변이 문제가 최소 문제라는 것을 의미하며, (2) 속성은 주어진 기능과 연관된 오일러-라그랑주 방정식의 타원성 조건인 반면, 속성 (3)은 함수 F의 단순한 정규성 가정이다.^[10]문제를 처리하는 것의 수업한 그는 그 뒤 다음 질문:-"...정기적으로 변화 문제의 모든 Lagrangian 편미분 방정식 독점적으로 분석적인 적분식을 인정하는 것을 특성이 있는가도 내포하고 있지?"[11] 물어 더 이상 이러한 경우를, 비록 기능은 필요하다고 생각, 그것에 일어난다 Diri.분석적이지 않지만 연속적인 경계 값인 잠재적 함수에 대한 문제.^[8]

전체 솔루션으로 가는 경로

힐버트는 자신의 19번째 문제를 분석 계수가 있는 타원형 부분 미분 방정식의 등급에 대한 규칙성 문제로 언급했고,^[8] 따라서 이를 해결하고자 하는 연구자들의 첫 번째 노력은 이 등급에 속하는 방정식에 대한 고전적 해법의 규칙성을 연구하기 위한 것이었다.C 3 해결책의 경우 힐버트의 문제는 세르게이 번스타인(1904)이 논문에서 긍정적으로 답한 바 있다: 그는 두 변수에서 비선형 타원 분석 방정식의 C 3 솔루션이 분석적이라는 것을 보여주었다.번스타인의 결과는 페트로스키(1939년)와 같은 몇몇 저자들에 의해 수년간 개선되었다. 그는 그것이 분석적이라는 것을 증명하는 데 필요한 해결책에 대한 차별성 요건을 줄였다.한편, 변동의 미적분학에서 직접적 방법은 매우 약한 차별성 성질을 가진 해결책의 존재를 보여주었다.수년 동안 이러한 결과 사이에는 차이가 있었다. 즉, 구축할 수 있는 솔루션은 사각형 통합형 2차 파생상품이 있는 것으로 알려져 있었는데, 이 파생상품이 분석적임을 증명할 수 있는 기계에 공급될 만큼 강하지 않았고, 이는 첫 번째 파생상품의 연속성이 필요했다.이 격차는 엔니오 데 조르기(1956, 1957), 존 포브스 내쉬(1957, 1958)가 독자적으로 메웠다.그들은 Hölder 연속적인 첫 번째 파생상품이 있다는 것을 보여줄 수 있었고, 이전의 결과에 따르면 미분방정식이 분석 계수를 가질 때마다 솔루션이 분석적이므로 힐버트의 19번째 문제에 대한 해결책이 완성된다는 것을 암시했다.

문제에 대한 다양한 일반화에 대한 반복

같은 결론 또한 더 많은 일반 functionals의 Euler-lagrange 방정식 대해 보유하고 있는 힐베르트의 19문제에 대한 긍정적인 대답이 나오엔니오 드 조르지와 존 포브스 내시에 의해 주어지:1960년대 말에, Maz'ya(1968년)[12]드 기오르기(1968년)과 주스티&미란다(1968년)을 건설하였다 독립적으로 여러 counterexa 문제를 제기하였다.smples,[13]일반적으로 가설을 더 추가하지 않고서는 그러한 종류의 규칙성 결과를 증명할 희망이 없다.

정확하게, Maz'ya(1968)는 분석 계수를 가진 2보다 큰 단일 타원 방정식을 포함하는 몇 개의 백리샘플을 주었다.^[14] 전문가들에게는, 그러한 종류의 방정식이 비분석적이고 심지어 매끄러운 해결책을 가질 수 있다는 사실이 센세이션을 일으켰다.^[15]

드 조르지(1968년)와 기우스티&미란다(1968)는 스칼라 값이 아닌 벡터 값인 경우 분석하지 않아도 된다는 것을 보여주는 백리샘플을 주었는데, 드 조르기의 예는 경계 계수가 있는 타원 계수로 구성되는 반면 기우스티와 미란다 중 하나는 분석 계수가 있다.^[16]나중에, 네차스(1977)는 벡터 가치 문제에 대해 더 정제된 다른 예들을 제공했다.^[17]

드 조르기의 정리

De Giorgi에 의해 증명된 핵심 정리는 만약 당신이 형태에 대한 적절한 선형 2차 순서의 해결책이라면 엄격히 타원형 PDE라고 하는 선행 추정이다.

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0}$

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) 사각 통합 가능한 첫 번째 파생 모델을 가지고 있으며, 그$$ 다음 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) Hölder 연속형입니다.

힐베르트의 문제에 대한 데 조르기의 정리 적용

Hilbert의 문제는 다음과 같은 에너지 기능의 $최소제$ w ${\displaystyle$ w}을$($를) 묻는 것이다.

${\displaystyle \int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d}x}$

분석적이다여기서 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$은(는$)$ R의ⁿ $일부{\displaystyle }$ 콤팩트 세트 U ${\displaystyle U}$에 대한 함수, $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Dw}$은 그라데이션 벡터, $L{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $L$$}$은 특정 성장, 부드러움 및 볼록성 조건을 만족하는$$ $w{\displaystyle }$ ${\disprodesignment$ of w$}$의 함수인 Lagrangian이다.$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$의 부드러움은 De Giorgi의 정리를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다$$.이 변동 문제에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 비선형 방정식이다.

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i})(Dw)_{x_{i}=0}$

$그리고{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대해 이를 차별화하십시오.

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i_}p_{j}})(Dw)w_{x_{j}x_{k})_{x_{i}=0}$

이는 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$이(가) 선형 방정식을 만족한다는$$ 것을 의미한다.

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$

와 함께

$(\displaystyle a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}}(Dw)}$

따라서 De Giorgi의 결과에 의해, $매트릭스{\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle {p{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\$이(가) 경계인$$ 경우 솔루션 w는 Hölder 연속적인 첫 번째 파생상품을 갖게 된다.그렇지 않은 경우에는 추가 단계가 필요하다. 솔루션 w ${\displaystyle w}$이(가) Lipschitz 연속형임을 입증해야 한다. 즉, 그라데이션 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Dw}$이($가{\displaystyle {}^{}}$) L $∞$ {\$displaystyle$ L$^{\infty }$ 함수임을$$ 입증해야 한다.

w가 일부 n ≥ 1에 대해 Hölder 연속 (n+1)st 유도체를 갖는 것으로 알려지면 계수 a는^ij Hölder 연속 n번째 유도체를 갖는다고 알려져 있으므로, Schauder의 정리는 (n+2)nd 유도체도 Hölder 연속형이라는 것을 암시하므로, 이것을 무한 반복하면 w의 해결이 원활하다는 것을 알 수 있다.

내시의 정리

내시는 포물선 방정식의 해법에 대한 연속성 추정치를 제공했다.

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)}$

여기서 u는 t ≥ 0에 대해 정의된 x₁, ...,x_n, t의 경계 함수다. 그의 추정치로부터 Nash는 타원 방정식의 해법에 대한 연속성 추정치를 추론할 수 있었다.

${\displaystyle {}_{}}$D ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle i^{}j}$( x ) ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{u}}$ ) =$$0 {\$displaystyle D_{i}($a^{$ij}(x)D_{j}$u)=$0}$에 의존하지 않는 특수한 경우를 고려하여$$.

메모들

참조

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