힐버트의 두 번째 문제

Hilbert's second problem

수학에서 힐버트의 두 번째 문제는 1900년 데이비드 힐버트에 의해 23개의 문제 중 하나로 제시되었다.그것은 그 산수가 일관성이 있다는 증거를 요구하고 있는데, 그것은 내부의 모순이 전혀 없다는 것이다.힐베르트는 자신이 산술적으로 고려했던 공리가 힐버트(1900년)에 주어진 공리라고 진술했는데, 여기에는 2차 순서 완전성 공리가 포함되어 있다.

1930년대에 커트 괴델과 게르하르트 겐첸은 이 문제에 새로운 빛을 발하는 결과를 증명했다.괴델의 이론이 이 문제에 부정적인 해결책을 준다고 느끼는 사람도 있고, 겐첸의 증거를 부분적인 긍정적인 해결책으로 보는 사람도 있다.

힐버트의 문제와 그 해석

한 영어 번역에서 힐버트는 이렇게 묻는다.

"우리가 과학의 기초를 조사하는 일에 종사할 때, 우리는 그 과학의 기초 사상들 사이에 존재하는 관계에 대한 정확하고 완전한 설명을 포함하는 공리 체계를 세워야 한다.그러나 무엇보다도 공리와 관련하여 물어볼 수 있는 수많은 질문들 중에서 가장 중요한 것은 다음과 같다.그들이 모순되지 않는다는 것을 증명하는 것, 즉 그것들에 기초하는 확실한 수의 논리적 단계는 결코 모순된 결과를 초래할 수 없다는 것이다.기하학에서 공리의 호환성에 대한 증명은 적절한 수의 분야를 구성함으로써 효과를 얻을 수 있다. 예를 들어 이 분야의 숫자 사이의 유사 관계가 기하학적 공리와 일치한다. ...반면에 산술적 공리의 호환성을 증명하기 위해서는 직접적인 방법이 필요하다."[1]

힐버트의 진술은 때때로 오해되는데, 왜냐하면 "산술적 공리"에 의해 그는 페이노 산술에 준하는 시스템을 의미하는 것이 아니라 2차적인 완전 공리를 가진 더 강한 시스템을 의미했기 때문이다.힐베르트가 완전성을 증명해 달라고 요청한 시스템은 1차적인 페이노 산술이라기보다는 2차 산술에 가깝다.

오늘날 흔히 볼 수 있는 해석으로서 힐버트의 두 번째 질문에 대한 긍정적인 해결책은 특히 페이노 산수가 일치한다는 증거를 제공할 것이다.

페아노 산수가 게르멜로-프란켈 세트 이론과 같은 강력한 시스템에서 수행될 수 있는 일관성이 있다는 많은 알려진 증거가 있다.그러나 페이노 산술의 일관성을 의심하는 사람은 그 일관성을 증명하기 위해 (그것이 훨씬 더 강한) 세트 이론의 공리를 받아들일 것 같지 않기 때문에, 힐버트의 두 번째 질문에 대한 해결책을 제시하지 못한다.따라서 힐버트의 문제에 대한 만족스러운 대답은 PA가 이미 일관성이 있다고 믿지 않는 사람이 받아들일 수 있는 원칙을 사용하여 수행되어야 한다.그러한 원리는 완전히 건설적이고 완성된 자연수의 무한을 전제하지 않기 때문에 종종 피니티즘이라고 불린다.괴델의 두 번째 불완전성 정리(괴델의 불완전성 정리 참조)는 페아노 산술의 일관성을 여전히 증명하면서도 얼마나 미완성 시스템이 약할 수 있는가에 심각한 한계를 둔다.

괴델의 불완전성 정리

주요기사 : 괴델의 불완전성 정리

괴델의 두 번째 불완전성 정리를 보면 페아노 산술은 페아노 산술 자체 내에서 수행되는 것이 일관성이 있다는 어떤 증거도 가능하지 않다는 것을 알 수 있다.이 정리는 만약 수용 가능한 유일한 증명 절차가 산술 내에서 공식화될 수 있는 절차라면 일관성 있는 증명에 대한 힐버트의 요구에 대답할 수 없다는 것을 보여준다.그러나, 나겔과 뉴먼(1958:96–99)이 설명하듯이, 산술에서는 공식화할 수 없는 증명에는 여전히 여지가 있다.

"고델의 분석의 이 당당한 결과가 오해되어서는 안 된다. 그것은 산술의 일관성에 대한 메타수학적 증거를 배제하지 않는다.그것이 배제하는 것은 산술의 형식적인 추론에 의해 미러링될 수 있는 일관성의 증거다.산술의 일관성에 대한 메타수학적 증거는 사실, 특히 힐베르트 학파의 일원인 게르하르트 겐첸이 1936년에, 그리고 그 이후 다른 사람들에 의해 구성되었다……그러나 이러한 메타수학적 증명들은 산술적 미적분학 내에서 나타낼 수 없다; 그리고 그것들은 다듬어지지 않기 때문에 힐버트의 원래 프로그램의 선언된 목적을 달성하지 못한다. ...산술에 대한 정합성의 피니티즘적 절대 증거를 구성할 가능성은 괴델의 결과에서 제외되지 않는다.괴델은 산술적으로 나타낼 수 있는 그런 증거는 없다는 것을 보여주었다.그의 주장은 산술적으로 표현될 수 없는 엄밀히 미세한 증거의 가능성을 제거하지 못한다.그러나 오늘날 어느 누구도 산술 내에서 공식화할 수 없는 미세한 증거가 어떤 것인지에 대한 명확한 생각을 갖고 있는 사람은 없는 것 같다."[2]

겐첸의 일관성 증명

주요 기사:겐첸의 일관성 증명

1936년 겐첸은 페아노 산술의 일관성이 있다는 증거를 발표했다.겐첸의 결과는 집합 이론보다 훨씬 약한 체계에서 일관성의 증거를 얻을 수 있다는 것을 보여준다.

겐첸의 증명서는 증명 구조에 근거하여 페아노 산술에 있는 각 증명에 서수 번호를 부여하여 진행되며, 이들 서수 각각은 ε보다0 작다.[3]그리고 그는 이 서수들에 대한 최종 유도를 통해 어떤 증거도 모순으로 결론날 수 없다는 것을 증명한다.이 증명에 사용되는 방법은 1차 논리보다 강한 논리로 페이노 산술의 컷 탈락 결과를 증명하는 데도 사용할 수 있지만, 정합성 입증 자체는 원시 재귀 산술의 공리와 트랜스피나이트 유도 원리를 이용한 일반적인 1차 논리에서도 수행할 수 있다.타이트(2005)는 겐첸의 수법을 경기이론적으로 해석한다.

겐첸의 일관성 증명이 증명 이론의 서수 분석 프로그램을 시작했다.이 프로그램에서는 산술이나 세트 이론의 형식 이론에 이론의 일관성 강도를 측정하는 서수적 숫자가 할당된다.이론은 더 높은 증명 이론적 서수로 다른 이론의 일관성을 증명할 수 없을 것이다.

문제의 상태에 대한 현대적 관점

괴델과 겐첸의 이론들은 이제 수학 논리학계에 의해 잘 이해되고 있지만, 이러한 이론들이 힐버트의 두 번째 문제에 대해 (혹은 어떤 방식으로) 답을 주는지에 대해서는 아무런 공감대가 형성되지 않았다.심슨(1988:sec. 3)은 괴델의 불완전성 정리가 강력한 이론의 미완성 증명서를 만드는 것이 불가능하다는 것을 보여준다고 주장한다.크레이셀(1976)은 괴델의 결과가 어떠한 미세한 구문론적 일관성 증명도 얻을 수 없다는 것을 암시하지만, 의미론적(특히, 2차 순서) 주장은 설득력 있는 일관성 증거를 제공하는 데 사용될 수 있다고 말한다.데틀렙센(1990:p. 65)은 괴델의 정리가 일관성 증명이 수행될 수 있는 모든 시스템에는 그 가설이 적용되지 않을 수 있기 때문에 일관성 증명을 막지 못한다고 주장한다.도슨(2006:sec. 2)은 겐젠이 준 일관성 증명과 1958년 괴델이 준 이후 일관성 증명 등을 들어 괴델의 정리가 설득력 있는 일관성 증명의 가능성을 '오루네우스'라고 부른다.

참고 항목

메모들

  1. ^ M의 영어 번역으로부터.뉴슨, 1902년 http://aleph0.clarku.edu/에서 제공. djoyce/hilbert/1902년 제공.
  2. ^ 비슷한 인용구들이 단어들의 사소한 차이들과 함께 더글러스 R에 의해 수정된 2001년 판 페이지 107-108에 나타난다.뉴욕 주 뉴욕 대학 출판부의 호프스태터 ISBN0-8147-5816-9.
  3. ^ 사실, 그 증명은 각 증명에 서수 번호에 대한 "통지"를 할당한다.표기법은 직감적으로 서수를 나타내는 기호의 유한 문자열이다.유한한 방법으로 서수를 나타냄으로써 겐첸의 증거는 서수 숫자에 관한 강한 공리를 전제하지 않는다.

참조

외부 링크