이십면체 대칭

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3차원의 점 그룹

인볼루션 대칭 Cs, (*) [ ] =	순환 대칭 Cnv, (*nn) [n] =	이면체 대칭 Dnh, (*n22) [n,2] =
다면체군, [n,3], (*n32)
사면체 대칭 Td, (*332) [3,3] =	팔면체 대칭 Oh, (*432) [4,3] =	이십면체 대칭 Ih, (*532) [5,3] =

정십이면체는 60개의 회전 대칭(또는 방향을 보존하는)과 120개의 대칭 차수가 있으며, 반사와 회전을 결합하는 변환을 포함한다.정십이면체와 마름모꼴 3면체는 모두 동일한 대칭 집합을 가지고 있다.

전체 대칭 그룹(반사 포함)은 콕서터 그룹₃ H로 알려져 있으며 콕서터 표기법 [5,3]과 콕서터 다이어그램으로도 표현된다.방향 보존 대칭 집합은 그룹₅ A(5글자의 교대 그룹)와 동형인 부분군을 형성합니다.

포인트 그룹으로

프리즘 대칭과 반크리즘 대칭의 두 무한 시리즈를 제외하고, 키랄 물체의 회전 20면체 대칭 또는 키랄 20면체 대칭과 완전한 20면체 대칭 또는 아키랄 20면체 대칭은 가장 큰 대칭 그룹을 가진 이산 점 대칭이다.

이십면체 대칭은 번역 대칭과 호환되지 않으므로 연관된 결정학적 점군이나 공간 그룹이 없습니다.

셰	콕서터		오브.	추상적인 구조.	주문
I	[5,3]+		532	A5.	60
나h	[5,3]		*532	A5×2	120

상기에 대응하는 프레젠테이션은 다음과 같습니다.

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \}$

${{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\}$

이 값은 (2,3,5) 삼각형 그룹인 20면체 그룹(회전 및 전체)에 해당합니다.

첫 번째 발표는 1856년 윌리엄 로완 해밀턴이 아이코시안 ^[1]미적분에 대한 그의 논문에서 했다.

예를 들어 (I의 경우) 교대 그룹으로 다른 프레젠테이션을 할 수 있습니다.

시각화

슈. (오브)	콕서터 표기법	요소들	미러 다이어그램
			직교	입체 투영
나h (*532)	[5,3]	거울 회선: 15개
I (532)	[5,3]+	회전 포인트: 12개5 이십3 30개2

그룹 구조

5개의 팔면체의 구면 화합물의 가장자리는 15개의 거울 평면을 색칠된 대원으로 나타냅니다.각 8면체는 모서리로 3개의 직교 미러 평면을 나타낼 수 있습니다.
열면체 대칭은 직교 녹색 반사 선 3개와 적색 순서 3회전 점 8개를 가진 20면체 대칭의 지수 5 하위 그룹이다.열면체 대칭에는 5가지 다른 방향이 있습니다.

20면체 회전군 I은 60차이다.군 I는 5개의 물체의 짝수 배열의 교대로 이루어진 군 A와₅ 동형이다.이 동형성은 다양한 화합물, 특히 5개의 정육면체의 화합물, 5개의 팔면체의 화합물 또는 5개의 사면체의 2개의 화합물 중 하나에 작용함으로써 실현될 수 있다.

이 그룹에는 20개₃ 버전의 D(10축당 2개)와 6개 버전의₅ D가 포함된 5개_h 버전의 T가 포함됩니다.

전체 20면체_h 군 I는 120을 주문했다.지수 2의 정규 부분군으로서 I가 있습니다.I군은_h I × Z₂ 또는₅ A × Z와₂ 동형이며, 중심부의 반전은 요소(정체성,-1)에 대응하며, 여기서₂ Z는 곱셈으로 표기된다.

나는_h 5개의 큐브와 5개의 팔면체 화합물에 작용하지만, -1은 아이덴티티로서 작용한다(큐브와 팔면체는 중심 대칭이다).그것은 10개의 사면체 화합물에 작용한다.나는 두 개의 키랄 반쪽(5개의 사면체 조합)에 작용하고 -1은 두 반쪽을 교환한다.특히, S로서 기능하지₅ 않고, 이러한 그룹은 동형이 아닙니다.자세한 것은, 이하를 참조해 주세요.

이 그룹에는 D의_3d 10가지 버전과 D의_5d 6가지 버전(대칭과 같은 대칭)이 포함됩니다.

나도₂ PSL(5)과 동형이지만_h SL(5)과는 동형이₂ 아니다.

I와₅ A의 동형성

I와₅ A 사이의 동형성이 어떻게 보이는지를 명확하게 기술하는 것은 유용하다.다음 표에서 순열_i P와 Q는_i 각각 5원소와 12원소에 작용하며 회전행렬_i M은 I원소이다.하고 그것에 대해 Pj을 적용하는 i, j, k의 같은 값에 대한 순열 파이고 만약 Pk은 제품이라면 그것은 또한 Qj을 적용하는 치 복용의 Qk 제품은은 Mk에 의해 벡터 premultiplying은 Mi고 나서 Mj, Mk)Mj×선미와 그 결과 premultiplying 그 벡터 premultiplying과 같다. 이후기 위해서는 사실이다그는 permutat이온_i P는 모두 12345의 60 짝수 배열이며, 일대일 대응이 명시되어 있기 때문에 동형도 마찬가지입니다.

회전 행렬	5의 치환 1 2 3 4 5에	12의 치환 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$\displaystyle M_{1}=begin{bmatrix}1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$1 ({$디스플레이 스타일$ P_${1}})$ =$$ ()	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 1$$({$displaystyle Q_{1}})$ =$$ ( )
${displaystyle M_{2}=bgin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2\fhi}}}&{\frac {1}{1}{frac {1}{2}}.$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2$({$ P_${2}})$ =$$ (3 4 5)	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 2$$({$displaystyle Q_{2}})$ =$$ (1 11 8) (2 9 6) (3 5 12) (4 7 10)
$({displaystyle M_{3}=bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}&-{\frac {1}{2\phi}}}\{\frac {1}{2\frac}-{frac}{1}-frac {2})$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 3$$({$디스플레이 스타일$ P_${3}})$ =$$ (3.5 4)	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 3$({$ =$$ (1.8 11) (2 6) (3 12 5) (4 10 7)
$({displaystyle M_{4}=bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2\phi}}}-{\frac {1}{2\frac}-{frac {2})$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 4$({$ P_${4$}})$$=$$ (2) 3)(45)	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 4$({$ =$$ (1 12) (2 8) (3 6) (4 9) (5 10) (7 11)
$({displaystyle M_{5}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}}-{\frac {1}{{\frac {2} {\fi})$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 5$({$ P_${5})$ =$$ (2 3 4)	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 5$$({$displaystyle Q_{5}})$ =$$ (1 2 3) (4 5 6) (7 9 8) (10 11 12)
${displaystyle M_{6}={bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\frac}$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 6$({displaystyle$P_{6}}) =$$ (2 3 5 )	$({$ =$$ (175) (2 4 11) (3 10 9) (6 8 12)
$({displaystyle M_{7}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{2\frac {\fi})$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 7$({$ P_${7})$ =$$ (2 4 3)	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 7$({$ =$$ (1 3 2) (4 6 5) (7 8 9) (10 12 11)
$\displaystyle M_{8}=begin{bmatrix}0&1&0&1\-1&0&0\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$8 {\$displaystyle$P_{8}} =$$ (2 4 5 )	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 8$({$ =$$ (1 10 6) (2 7 12) (3 4 8) (5 11 9)
$({displaystyle M_{9}=bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{1}{2\phi}}&{\frac {1}{{\frac {1}{2\fi}}}&{\frac {\f})$	${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 9$({$ P_${9$}}) =$$ (2 4)(3 5)	${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 9$({$ =$$ (1 9) (2 5) (3 11) (4 12) (6 7) (8 10)
$({displaystyle M_{10}=bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{1}{{f})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 10$${\$displaystyle$ P_${10}}$ =$$ (2.5 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 10$$({$displaystyle Q_{10$}}) =$$ (15 7) (2 11 4) (3 9 10) (6 12 8
$\displaystyle M_{11}=\begin{bmatrix}0&1&1&0\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 11$({$ P_${11})$ =$$ (2.5 4)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 11$({$ =$$ (1 6 10) (2 12 7) (3 8 4) (5 9 11)
$({displaystyle M_{12}=bmatrix}{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 12$({$ P_{12$})$ =$$ (2 5)(3 4)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 12$({$ =$$ (1 4) (2 10) (3 7) (5 8) (6 11) (9 12)
$\displaystyle M_{13}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 13$({$ P_{13$})$ =$$ (1) 2 (4 5)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 13$({$ =$$ (1 3) (2 4) (5 8) (6 7) (9 10) (11 12)
$({displaystyle M_{14}=bgin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{2\fhi}}}&{\frac {1}{2})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 14$({$P_${14$}}) =$$ (1) (2)(34)	$({$ =$$ (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$({displaystyle M_{15}={bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}}&-{\frac {1}{2\phi}}}\-{\frac {2}}{frac {2\frac {2}})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 15$({$ P_${15})$ =$$ (1) 2 (3 5)	$({$ =$$ (1 12) (2 10) (3 8) (4 6) (5 11) (79)
${displaystyle M_{16}={bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{{1}{frac}{2}}{\frac} {\frc}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 16$({displaystyle$P_{16}) =$$ (1 2 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 16$({$ =$$ (1 11 6) (2 5 9) (3 7 12) (4 10 8)
$({displaystyle M_{17}=bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {2}}-{\frac {2}}-{\frac {2}})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 17$({$P_${17$}}) =$$ (1 2 3 4 5 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 17$$({$displaystyle Q_{17}})$ =$$ (1 6 5 3) (4 12 7 8 11)
$({displaystyle M_{18}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}{\frac {1}{\frac {1}{2}}{\frac}{\fi}}}{\frac {\frc}}}}}{{{\frc}}}}}}}{\frac {\frc}}}}}}}{{{{{{$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 18$({displaystyle$ P_{18$})$ =$$ (1 2 3 5 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 18$({$ =$$ (1 4 8 6 2) (5 7 10 129)
$({displaystyle M_{19}=bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}-{frac {2}}-{\frac {\f})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 19$({$P_${19$}}) =$$ (1 2 4 5 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 19$({$ =$$ (1.8 7 3 10) (2 12 5 6 11)
$\displaystyle M_{20}=begin{bmatrix}0&1\-1&0\0&0\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 20$($ P_${20})$ =$$ (1 2 4)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 20$$({$displaystyle Q_{20}})$ =$$ (1 7 4) (2 11 8) (3 5 10) (6 9 12)
$({displaystyle M_{21}=bmatrix}{\frac {2\phi}}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {2}}{\frac {2}}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 21$({$ P_${211})$ =$$ (1 2 4 3 5 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 21$({$}) =$$ (1 2 9 117) (3 6 12 10 4)
$({displaystyle M_{22}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{\frac {1}{2\fi}}&{\frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 22$({$P_${22$}}) =$$ (1 2 5 4 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 22$({$ =$$ (2 3 4 7 5) (6 8 10 119)
$\displaystyle M_{23}=begin{bmatrix}0&1&0&1\-1&0&0\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 23$({$ P_${23})$ =$$ (1 2 5)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 23$$({$displaystyle Q_{23}})$ =$$ (1 9 8) (2 6 3) (4 5 12) (7 11 10)
$({displaystyle M_{24}={bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}\{\{\frac {1}{2\fhi}}-{\frac {2})-{\frac {1}{2\fi}-{\frac}-{{frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 24$({$ P_${24})$ =$$ (1 2 5 3 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 24$({$ =$$ (1 10 5 4 11) (2 8 9 3 12)
$({displaystyle M_{25}={bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi }}\-{\frac {1}{2\phi }}}-{\frac {1}{1}{frac {2}}-{\frac {1}-{{frc})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 25$({$ P_${25})$ =$$ (1.32)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 25$({$ =$$ (1 6 11) (2 9 5) (3 12 7) (4 8 10)
$({displaystyle M_{26}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\-{\frac {1}{1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{\frac {1}{{{{2}})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 26$({$ =$$ (1 3 4 5 2)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 26$({$ =$$ (2 5 7 4 3) (6 9 11 10 8)
$({displaystyle M_{27}=bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{{2}}&{\frac {1}{{f})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 27$({$ P_${27$}) $=$ (1 3 5 4 2)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 27$({$ =$$ (110 3 7 8) (211 6 5 12)
$({displaystyle M_{28}=bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2\fhi}}}-{\frac {2}-{frac {2}-{frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 28$${\$displaystyle$ P_${28}}$ =$$ (1) (4) (4)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 28$({$ =$$ (17) (2 10) (3 11) (4 5) (6 12) (89)
$({displaystyle M_{29}={bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}-{frac {2}}-{\frac {1}-{frc})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 29$({$P_${29$}) =$$ (1.34)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 29$({$ =$$ (1 9 10) (2 12 4) (3 6 8) (5 11 7)
$({displaystyle M_{30}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi}}\-{\frac {1}{2\fhi}}}\-{\frac {2}}-{\frac {2}-{\frac {2})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 30$${ $displaystyle$P_{30$}}$ =$$ (1.35)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 30$$({$displaystyle Q_{30}})$ =$$ (1 3 4) (2 8 7) (5 6 10) (9 12 11)
$({displaystyle M_{31)=bmatrix(bmatrix)-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}-{{frac {1}-{frac})$	$({$ =$$ (1)(3)(24)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 31$({$}) =$$ (1 12) (2 6) (3 9) (4 11) (5 8) (7 10)
${displaystyle M_{32}=bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{2}}\{\frac {2}}&{\frac {2}}{\frac {2}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 32$({$ =$$ (1 3 2 4 5 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 32$({$ =$$ (1 4 10 11 5 ) (2 3 8 12 9 )
$({displaystyle M_{33)=bgin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{2\fhi}}}&{\frac {1}{2\frac}}{\frac {2\fi}}&{\frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 33$({$ =$$ (1 3 5 2 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 33$({$ =$$ (1 5 9 6 3) (4 7 11 12 8 )
$({displaystyle M_{34}=bmatrix}{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {2}}&{\frac {2}}{\frac {1}{2}&{\fi})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 34$({$ =$$ (1)(3)(25)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 34$({$ =$$ (1 2) (3 5) (4 9) (6 7) (8 11) (10 12)
$({displaystyle M_{35}={bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {{1}{2\frac}})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 35$({$ P_${35})$ =$$ (1 3 2 5 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 35$({$ =$$ (111 2 79) (3 10 6 4 12)
$({displaystyle M_{36}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi}}\{\frac {1}{2\phi}}}\{\frac {1}{2\frac {2}}}&{-{\frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 36$${ $displaystyle P_{36)$=$$ (1 3 4 2 5 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 36$$({$displaystyle Q_{36)$ =$$ (1.8 2 4 6) (5 10 9 7 12)
$({displaystyle M_{37}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\-{\frac {1}{1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}-{\frac {1}{\frac {2}}}-{\frac {\frac {\frc})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 37$({$P_${37$}}) =$$ (1 4 5 3 2)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 37$({$ =$$ (1 2 6 8 4 ) (5 9 12 10 7 )
$\displaystyle M_{38}=begin{bmatrix}0&1&0\1&0&0\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 38$({$ P_{38$})$ =$$ (1.42)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 38$({$ =$$ (1 4 7) (2 8 11) (3 10 5) (6 12 9)
$({displaystyle M_{39}={bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\-{\frac {1}{2}}-{\frac {2\phi}}-{\frac {2})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 39$(\$ P_${39})$ =$$ (1 4 3 5 2)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 39$({$ =$$ (111 4 5 10) (2 12 3 9 8)
${displaystyle M_{40}=bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 40$($ 스타일 P_{$40$})$=$ (1.43)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 40$$({$displaystyle Q_{40}})$ =$$ (1 10 9) (2 4 12) (3 8 6) (5 7 11)
$(\displaystyle M_{41)=begin{bmatrix}0&1&0\0&1&0\end{bmatrix})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 41$({$}) =$$ (1.45)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 41$({$}) =$$ (15 2) (3 7) (411 6) (8 10 12)
$({displaystyle M_{42)=bmatrix}{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {1}{2}}\{\frac {2}}-{\frac {2}}{{\frac {2}})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 42$({$ =$$ (1.4)(35)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 42$({$ =$$ (1 6) (2 3) (4 9) (5 8) (7 12) (10 11)
$({displaystyle M_{43)=bmatrix(bmatrix)-{\frac {1}{2}}-{\frac {2\phi}}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {1}{2}-{\frac {2\fi}}}-{\frac}-{\frac })$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 43$({$ P_{$439}) =$ (1 4 5 2 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 43$({$ =$$ (1 9 7 2 11) (3 12 4 6 10)
${displaystyle M_{44}=bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{1}{2}}&{\frac {1}{f}$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 44$${ $displaystyle P_{44}$ =$$ (1 4 ) (2 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 44$({$ Q_${44})$ =$$ (1 8) (2 10) (3 4) (5 12) (6 7) (9 11)
$({displaystyle M_{45}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{2\fhi}}}&{-{\frac {2\frac}{1}{2}&{frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 45$({$ =$$ (1 4 2 3 5 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 45$({$ =$$ (2.7 3 5 4) (6 11 8 9 10)
$({displaystyle M_{46}={bmatrix}{\frac {1}{2}}}&-{\frac {1}{2\phi}}\{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {2}}{\frac {\frac {1}{{2}}{{\frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 46$({$ =$$ (1 4 2 5 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 46$$({$displaystyle Q_{46)}$ =$$ (1 3 6 9 5 ) (4 8 12 11 7 )
$({displaystyle M_{47}=bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {1}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{{2}} {\frc})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 47$({$ P_${47$}) $=$ (1 4 3 2 5)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 47$({$ =$$ (1.7 10 8 3) (2.5 11 12 6)
$({displaystyle M_{48}=begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 48$${ $displaystyle P_{48}$ =$$ (1 4 ) (2 5 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 48$${ $displaystyle$Q _ { $48$} =$$ ( 1 12 ) ( 2 9 ) ( 3 11 ) ( 4 10 ) ( 5 6 ) ( 7 8 )
$({displaystyle M_{49)={bmatrix}-{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {2}}&{\frac {2}}-{\frac {2}}{\frac {2}}-{\frac {\fi})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 49$({$ =$$ (1 5 4 3 2)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 49$({$ =$$ (1.9 3 5 6) (4 11 8 7 12)
${displaystyle M_{50}=begin{bmatrix}0&1&0\0&0\end{bmatrix}}$	$P$ 50$({$ P_${50})$ =$$ (15 2)	$({$ =$$ (1 8 9) (2 3 6) (4 12 5) (7 10 11)
$({displaystyle M_{51)=bmatrix}{\frac {1}{2\phi}}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {2}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\fi})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 51$({$}) =$$ (1 5 3 4 2)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 51$({$ =$$ (1.7 11 9 2) (3 4 10 12 6 )
$({displaystyle M_{52}=bgin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\-{\frac {1}{2}}&{\frac {2\phi}}}}&{\frac {1}{2\frac}}{{\frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 52$({$ =$$ (1.5 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 52$({$ =$$ (1 4 3) (2 7 8) (5 10 6) (9 11 12)
$({displaystyle M_{53)=begin{bmatrix}0&1&1&0&end{bmatrix})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 53$({$ =$$ (1.54)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 53$({$ =$$ (1 2 5) (3 9 7) (4 6 11) (8 12 10)
$({displaystyle M_{54)=bmatrix(bmatrix)-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\-{\frac {1}{2\phi}}}&{\frac {2})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 54$({$ =$$ (1 5)(3 4)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 54$({$ =$$ (1 12) (2 11) (3 10) (4 8) (5 9) (67)
$({displaystyle M_{55}=bmatrix}{\frac {1}{2\phi}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {2}}&{\frac {2}}{\frac {2}}{\frac {\fi})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 55$({$ =$$ (1 5 4 2 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 55$({$ =$$ (1 5 11 10 4 ) (2 9 12 8 3)
$({displaystyle M_{56}=bmatrix}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\phi}}-{\frac {2}}-{\frac {2}-{frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 56$$({$displaystyle P_{56)}$ =$$ (1 5) (2 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 56$$({$displaystyle Q_{56)}$ =$$ (1 10) (2 12) (3 11) (4 7) (5 8) (69)
${\displaystyle M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2\phi}}&-{\frac{\phi}{2}}\\-{\frac{1}{2\phi}}&{\frac{\phi}{2}}&-{\frac{1}{2}}\\{\frac{\phi}{2}}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2\phi}}\end{bmatrix}}}({displaystyle M_{57}=bmatrix}{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2\phi}}}\-{\frac{1}{2\phi}}}\{\frac{1}{2\f.rac}{\frac})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 57$({$ =$$ (1 5 2 3 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 57$({$ =$$ (1 3 8 10 7 ) (2 6 12 11 5
${\displaystyle M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2\phi}}&-{\frac{\phi}{2}}\\-{\frac{1}{2\phi}}&-{\frac{\phi}{2}}&-{\frac{1}{2}}\\-{\frac{\phi}{2}}&{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2\phi}}\end{bmatrix}}}{displaystyle M_{58}=bgin{bmatrix}{\frac{1}{2\phi}}&-{\frac{1}{2\fhi}}\-{\frac{1}{2\fhi}}}}&,{.-{frac{2}$	$P$ 58$({displaystyle$ P_{58$})$ =$$ (1 5 2 4 3)	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 58$({$ =$$ (1 6 4 2 8 ) (5 12 7 9 10)
${\displaystyle M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2\phi}}&{\frac{\phi}{2}}\\{\frac{1}{2\phi}}&-{\frac{\phi}{2}}&-{\frac{1}{2}}\\{\frac{\phi}{2}}&{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{2\phi}}\end{bmatrix}}}({displaystyle M_{59)=bgin{bmatrix}{\frac{1}{2\phi}}}&{\frac{1}{2\fhi}}}&{\frac{2\frac}}{2\frac.{2}&,{프라크})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 59$({$ P_${59)}$ =$$ (1 5 3 2 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 59$({$ =$$ (2 4 5 37) (6 10 9 8 11)
$\\displaystyle M_{60}="bmatrix"-1&0&0&1\end{bmatrix})$	${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ 60$${ $displaystyle P$_ { $60$} =$$ ( 1 5 ) ( 2 4 )	${\displaystyle {\mathrm{Q}}_{}}$ 60$${ $displaystyle$ Q _ { $60$} =$$ ( 1 11 ) ( 2 10 ) ( 3 12 ) ( 4 9 ) ( 5 7 ) ( 6 8 )

으로 혼동되는

순서 120을 .

• S₅, 5개의 원소에 대한 대칭군
• I_h, 완전한 20면체군(이 기사의 주제, H라고도₃ 함)
• 2I, 이원 정십면체군

이것들은 다음과 같은 짧은 정확한 시퀀스(후자는 분할되지 않음)와 생성물에 대응합니다.

$1 S_ S_{21) (\displaystyle 1 to A_{5\to S_{2}\to 1)$

$h}}\2}}{\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

$1 } \ \ \ 1) (\displaystyle 1 to Z_{2} ~2I to A_{5} \ to 1)$

한마디로 말하면

• $({$는 $({$의 표준 서브그룹입니다.
• ${\displaystyle {}_{}}$A5$($는 다이렉트 제품인 $Ih($ I_$\{$$h$})의 ${\displaystyle {\mathrm{계수}}_{}}$입니다.
• $({$는 $({displaystyle 2I})$의 지수 ${\displaystyle {\mathrm{그룹}}_{}}$입니다.

$단{\displaystyle {}_{}}$, $({$5$$})는 예외적인 3차원 표현(이십면체 회전군으로서)을 가지지만, $({$5$$})는 대칭군이 아닌 완전한 이십면체군에 해당하는 3차원 표현을 가지지 않는다.

이들은 또한 5개의 요소가 있는 유한 필드 상의 선형 그룹과 관련될 수 있으며, 이들은 하위 그룹을 나타내며 그룹을 직접 포괄한다. 이들 중 어느 것도 완전한 20면체 그룹이 아니다.

• ${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}\mu }$ PSL ${\displaystyle †}$ ( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$5${\displaystyle }$)$$, {\$displaystyle$A_${5$}\$cong \operatorname {PSL}$ ($2,5)$ 투영$$ 특수 선형 그룹, 증명은 여기를 참조하십시오.
• ${\displaystyle {}_{}}$S 5${\displaystyle {}_{}p}$ PGL ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$5$),$ \$displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL}(2,5)$투영$$ 일반 선형 그룹;
• ${\displaystyle 2}$ I${\displaystyle \mathrm{sl}}$ SL ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$5${\displaystyle }$) ,$$\ $displaystyle 2I \cong \operatorname {SL}$( $2$, 5 $)$특수 선형 그룹.

120개의 대칭은 10개의 켤레 클래스로 나뉩니다.

I	I의 추가h 클래스
order 1 의 면 × 12 × 12 × 12 = 6 = 72 5 = 5 회 12 × ±160° 회, 12면체의 면 주위 20 × ±120° 회, 12면체의 하는 10축 × , 2,을 통해 으로 15 × 180° 회전 × 180°	inversion, order 2 앙앙2 × 면축에 ± 12 × 12의 6의 회전수 ±36°, 10의 회전수 12 × ±108° 회, , 12면체의 면 6개의 축 × 축에 ±의 회전 회전을 20 × ±60°, 6차, 12차 10차 × , × 2차

다음 표의 각 선은 켤레(즉, 기하학적으로 동등한) 부분군의 한 클래스를 나타냅니다. 열은 등급의.색상 설명: 녹색 = 반사에 의해 생성되는 그룹, 빨간색 = 회전만 포함된 키랄(방향 보존) 그룹.

그룹은 12면체의 관점에서 기하학적으로 묘사된다.약어 "h.t.s.(edge)"는 "이 모서리를 반대쪽 모서리와 스왑하는 하프턴"을 의미하며, "face" 및 "vertex"도 이와 유사합니다.

			★★★★★★★★★★★★★★★.	H-M	★★★★		★★★		★★★★	★★
나h	[5,3]		*532	532/m	A5×Z2		120	1	1	그룹 " " "
D2h.	[2,2]		*222	, 으음...	D4×D2=D23		8	15	5	두하여 서로 할 수 .
C5v.	[5]		*55	5m	D10.		10	12	6
C3v.	[3]		*33		D6=S3		6	20	10
C2v.	[2]		*22	2mm	D4=D22		4	30	15
Cs.	[ ]		*	2 또는 m	D2.		2	60	15	, " " " " "
Th.	[3+,4]		3*2	m3	A4×Z2		24	5	5	α-α-α-α-α-α-α-α
D5d.	[2+,10]		2*5	10m2	D20=Z2×D10		20	6	6	두 하고, 수도 .
D3d.	[2+,6]		2*3	3m	D12=Z2×D6		12	10	10	꼭지점을 할 수 .
D1d = C2h	[2+,2]		2*	2/m	D4=Z2×D2		4	30	15	및 " " " " " " " " " " "
S10.	[2+,10+]		5×	5	Z10=Z2×Z5		10	12	6
S6.	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	20	10
S2.	[2+,2+]		×	1	Z2		2	60	1	inversion 중 central central
I	[5,3]+		532	532	A5.		60	2	1	회전
T	[3,3]+		332	332	A4.		12	10	5	된 사면체의
D5.	[2,5]+		522	522	D10.		10	12	6	으로 한 ( H.T.S. (H.T.S.)
D3.	[2,3]+		322	322	D6=S3		6	20	10	및 ( H.T.s. (H.T.s.)
D2.	[2,2]+		222	222	D4=Z22		4	30	15	미드포인트 및 ( H.T.s. (H.T.s.)
C5.	[5]+		55	5	Z5		5	24	6	센터
C3.	[3]+		33	3	Z3=A3		3	40	10
C2.	[2]+		22	2	Z2		2	60	15	돌다
C1.	[ ]+		11	1	Z1		1	120	1	그룹 ''''

반대쪽 정점 쌍의 스태빌라이저는 생성되는 축의 스태빌라이저로 해석할 수 있습니다.

• I의 정점 안정제는 순환 그룹 C를₃ 준다.
• I의_h 정점 안정제는 이면체₃ 군 D를 준다
• 이면체군₃ D를 주는 I의 반대쪽 꼭지점 쌍의 안정제
• 반대쪽_h 정점 쌍의 스태빌라이저 ${\displaystyle {D3\mathrm{}}_{}}$× ±$$({$displaystyle D_{3}\times \pm$1)을 부여합니다.

반대쪽 가장자리 쌍의 스태빌라이저는 생성된 직사각형의 스태빌라이저로 해석할 수 있습니다.

• 순환 그룹 Z를₂ 제공하는 I의 모서리 안정기
• 클라인에게_h 4그룹 ${\displaystyle {Z2\mathrm{}}_{}}$× $({$ 스타일 $Z_{2}\times$ Z_${2})$를 제공합니다.
• 클라인에게 4개의 ${\displaystyle {}_{}}$ Z 2 ×$$ 2$displaystyle Z_{2$}\$times Z_{$2$\})$를 부여합니다. 이 중 5개는 3개의 수직 축에서 180° 회전하여 부여됩니다.
• I의_h 한 쌍의 가장자리 안정기는 Z${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ × ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ × ${\displaystyle {}_{}}$ ({$displaystyle Z_{2}\times$ Z_${2}\times$ Z_${2$를 $부여$한다. 이 중 5개는 3개의 수직 축에서의 반사로 주어진다.

얼굴 안정제

반대쪽 면의 스태빌라이저는 이들이 생성하는 반프리즘의 스태빌라이저로 해석할 수 있다.

• I의 얼굴 안정제는 순환 그룹₅ C를 준다.
• 이면체군₅ D를 주는 얼굴_h 안정제
• 이면체군₅ D를 주는 I의 반대쪽 면 쌍의 안정제
• 반대쪽_h 면 쌍의 스태빌라이저${\displaystyle {}_{}{D}_{}}$에${\displaystyle 5}$ ×$$± 1({$displaystyle D_{5}\times$ \$pm$ 1$)$을 부여합니다.

다면체 안정기

각각 5개의 켤레 복사가 있으며, 켤레 작용은 , 즉 동형사상을 . I~ 5< 5 { \ $displaystyle I$ { \ sim } { \ $to$} A$_$ { 5 } < S$_$ { 5}

• I에 새겨진 사면체의 안정제는 T의 복사본이다
• I에 새겨진_h 사면체의 안정제는 T의 복사본이다
• I의 내접 입방체(또는 반대쪽 사면체 쌍 또는 팔면체)의 안정제는 T의 복사본이다.
• I의_h 내접 입방체(또는 반대쪽 사면체 쌍 또는 팔면체)의 안정제는 T의_h 복사본이다.

콕서터 군 생성기

차수 120의 완전한 정십면체 대칭군 [5,3]()은 R₀² = R₁²₂² = R = (R₀₁×R₁)⁵³ = (R×R₂) = (R₀×R₂)² = (R×R) = Identity와 함께 아래의 반사 행렬₀ R, R₁, R로₂ 표현되는 생성기를 가진다.순서 60의 그룹 [5,3]()⁺은 회전 S_0,1, S_1,2, S_0,2 중 하나에 의해 생성되며, 순서 10의 회전 굴절은 3개의 반사의 곱인 V에 의해_0,1,2 생성된다.여기서 $here{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5\frac{\sqrt{\mathrm{}}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2 ${{$= {\$tfrac {5}}+1}{2}}$는 황금비율을 나타낸다.

[5,3]

	리플리케이션			회전수			회전 굴절
이름.	R0	R1	R2	S0,1.	S1,2.	S0,2.	브이0,1,2
그룹.
주문	2	2	2	5	3	2	10
매트릭스	$\displaystyle \left [{\display { small matrix}-1&0\\0&1&0\\end {small matrix}\right]$	$\displaystyle \left[{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}\{\frac {1}{2}}&{\frac {1-}{\fi}}{2}}$	$\displaystyle \left[{\display{small matrix}1&0\\0&1&0\end{small matrix}\right]]$	${\displaystyle \left[{\frac{smallmatrix}{\frac {phi }{2}}&{\frac {-\phi}{2}}\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{\frac {-\phi}{2}}{\frac {\frac {\frac {\frac}}}}}$	${\displaystyle \left[{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{\phi}}}}$	$\displaystyle \left [{\display { small matrix}-1&0\\0&1&0\\end {small matrix}\right]$	$\displaystyle \left[{\frac{smallmatrix}{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{\phi}}}$
	(1,0,0)n	$\displaystyle({\frac{smallmatrix}{2}}, {\frac{1}{2}, {\frac{phi-1}{2}}\end{smallmatrix}})$n	(0,1,0)n	${\displaystyle (0,-1,\phi)}$축.	$(\displaystyle (1-\phi,0,\phi)}$축.	${\displaystyle(0,0,1)}$축.

기본 도메인

20면체 회전군과 전체 20면체 그룹에 대한 기본 도메인은 다음과 같이 주어진다.

정십면체 회전군 I

완전 20면체군 Ih

디디아키스 3면체의 면은 기본 영역이다.

디디아키스 3면체에서 하나의 전면은 기본 영역이며, 예를 들어 면의 선택된 서브셋을 평탄하게 하여 면의 방향을 조정하거나 각 면을 여러 면 또는 곡면으로 치환함으로써 동일한 대칭을 가진 다른 고체를 얻을 수 있다.

정십면체 대칭의 다면체

키랄 다면체

학급	기호	사진.
아르키메데스의	sr {5,3}
카탈로니아어	V3.3.3.5

완전 정십면체 대칭

플라톤 고체	케플러-포인소트 다면체		아르키메데스의 고체
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
플라톤 고체	케플러-포인소트 다면체		카탈로니아 고체
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

정십면체 대칭을 가진 다른 물체

• 바트 표면
• 바이러스 구조 및 Capsid
• 화학에서 도데카베산 이온([BH])₁₂₁₂²⁻과 도데카베드란 분자(CH₂₀₂₀)는

정십면체 대칭의 액정

액정이라 불리는 중간 물질 단계에서 정십면체 대칭의 존재는 H. Kleinert와 K에 의해 제안되었다.Maki와^[2] 그 구조를 그 논문에서 최초로 상세하게 분석하였다.리뷰 기사는 이쪽을 참조해 주세요.알루미늄은 그로부터 3년 뒤 댄 셰흐트먼이 실험적으로 발견해 2011년 노벨상을 받았다.

관련 지오메모리

이십면체 대칭은 투영 특수 선형군 PSL(2,5)이며 모듈러 곡선 X(5)의 대칭군이며, 보다 일반적으로 PSL(2,p)는 모듈러 곡선 X(p)의 대칭군이다.모듈러 곡선 X(5)는 대칭 그룹을 나타내는 각 다각형 면의 중심에 첨부가 있는 기하학적으로 12면체입니다.

이 기하학 및 관련 대칭 그룹은 벨리 표면의 단색군으로서 펠릭스 클라인에 의해 연구되었다. 벨리만 구에 대한 홀모픽 맵이 있는 리만 표면으로, 0, 1 및 무한대(a 벨리 함수)에만 라미네이트되었다. 각 모서리의 정점과 중심은 0과 1 위에 놓여 있는 지점이다.덮개의 정도(시트 수)는 5이다.

이것은 유명한 (Klein 1888) 이론과 함께 왜 이십면체 대칭이 5차 방정식의 해법에서 생겨났는지에 대한 기하학적인 설정을 주려는 그의 노력에서 비롯되었다; 현대적 설명은 (Torth 2002, Section 1.6, 추가 주제: 클라인의 이십면체 이론, 페이지 66).

클라인의 조사 위해 7과 질서(클라인&1878/79b)harv 오류에서 11개의 대칭:노 타깃:CITEREFKlein1878/79b( 도와 주)과(클라인 1879년)(정도의 그리고 관련된 덮개 7-11)과 dessins d'enfants, 클라인, 4차 방정식이 관련된 기하학 a(24heptagons에 의한 tiling가 있는 첫번째 양보 속의 그의 발견을 계속했다cusp)를 표시합니다.

PSL(2,n)에 대해서도 유사한 지오메트리가 발생하고 다른 모듈러 곡선에 대해서도 보다 일반적인 그룹이 발생합니다.

좀 더 외부적으로, 그룹 PSL(2,5) (차수 60), PSL(2,7) (차수 168) 및 PSL(2,11) (차수 660) 사이에 특별한 연결이 있으며, 기하학적 해석도 허용한다. PSL(2,5)은 쿼티크라인의 이십면체 (일반 0), PSL(2,5)의 대칭이다.이러한 그룹은 블라디미르 아놀드의 의미에서 "트리니티"를 형성하며, 이는 다양한 관계에 대한 프레임워크를 제공합니다. 자세한 내용은 삼위일체를 참조하십시오.

다른 플라톤계 고체들과 밀접한 관계가 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 사면체 대칭
• 팔면체 대칭
• 이원 정십면체군
• 이코시안 미적분

레퍼런스

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Icosahedral group". MathWorld.
• W(H3)의 서브그룹(다른 Coxeter 그룹의 서브그룹) Gotz Feiffer