유도표현

집단 이론에서 유도 표현은 G 집단을 나타내는 것으로, 부분군 H의 알려진 표현을 사용하여 구성된다. H의 표현을 볼 때 유도 표현은 어떤 의미에서 주어진 것을 확장하는 G의 "가장 일반적인" 표현이다.G보다 더 작은 그룹 H의 표현을 찾는 것이 더 쉬운 경우가 많기 때문에, 형상유도표현 운영은 새로운 표상을 구성하기 위한 중요한 도구다.

유도 표현은 유한 집단의 선형 표현에 대해 프로베니우스에 의해 초기에 정의되었다.그 생각은 결코 유한집단의 경우에 한정된 것이 아니라, 그 경우의 이론은 특히 품행이 단정하다.

시공

대수학

G는 유한집단이 되고 H는 G의 어떤 부분군이라도 되게 하라.또한 (1998, V)은 H를 나타내도록 한다. n = [G : H]는 G에서 H의 지수로, g_1n, ...는 G/H에서 왼쪽 코세트의 G에서 전체 대표자 집합으로 한다.유도 표현 Ind^G
_H π은 다음과 같은 공간에 작용하는 것으로 생각할 수 있다.

${\displaystyle W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.}$

여기서 각각의 g_i V는 v∈V로 g_i v로 쓰여진 요소들을 가진 벡터 공간 V의 이형화된 복사본이다.G의 각 g와 각 g의_i 경우, {1, ..., n}에 h와_i j(i)에 g_i = g_i h_j(i) .(이는₁ g, ..., g는_n 대표자 전체 집합이라고 말하는 또 다른 방법일 뿐이다.)유도 표현 G는 다음과 같이 W에 작용한다.

${\displaystyle g\cdot \sum_{i=1}g_{n}v_{i}=\sum_{i=1}^{n1}g_{j(i)}\pi(h_{i}v_{i}}}}}}}}}}}}$

여기서 v ${\displaystyle i_{}}$는 각 i에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$${\displaystyle {}_{}}$V ${\displaystyle v_{i}\in$ V$}.$

또는 텐서 제품을 사용하여 유도 표현을 구성할 수 있다. 그룹 H의 K-선형 표현 $representation{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 그룹 링 K[H]를 통해 모듈 V로 볼 수 있다.그러면 우리는 정의 할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.}$

이 후자의 공식은 어떤 그룹 G와 부분군 H에 대해서도 어떠한 정밀도 요구하지 않고 Ind^G
_H ind을 정의하는 데 사용될 수 있다.^[1]

예

어떤 집단에 대해서도, 사소한 부분군의 사소한 표현에 대한 유도적 표현은 올바른 정규 표현이다.보다 일반적으로 하위 그룹의 사소한 표현에 대한 유도 표현은 해당 하위 그룹의 코세트에 대한 순열 표현이다.

1차원 표현에 대한 유도 표현은 단량 표현으로 표현될 수 있기 때문에 단량 표현이라고 불린다.어떤 집단은 그들의 모든 돌이킬 수 없는 표현들이 소위 단일한 집단이라는 속성을 가지고 있다.

특성.

H가 그룹 G의 하위 그룹인 경우 G의 모든 K-선형 표현 ρ은 H의 K-선형 표현으로 볼 수 있다. 이를 ρ to H의 제한으로 알려져 있고 Res(()가 나타낸다.유한집단 및 유한차원표현의 경우 프로베니우스 상호주의 정리는 H의 σ과 G의 ρ의 표현으로 볼 때 σ에서 Res(ρ)^[2]까지의 H등분 선형지도의 공간은 K에 걸쳐 인드(σ)에서 to까지의 G등분 선형지도의 공간과 동일한 차원을 갖는다고 기술하고 있다.

무한집단에 대해서도 유효한 유도표현의 보편적 특성은 상호주의 정리에서 주장하는 결합과 동일하다.If ${\displaystyle (\sigma ,V)}$ is a representation of H and ${\displaystyle (\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})}$ is the representation of G induced by ${\displaystyle \sigma }$, then there exists a H-equivariant linear map ${\displaystyle j:$다음 속성의 $V$$\to {\$hat{V}}: G 및 H 등가 선형 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:$$V\to W$ 고유한 G 등가 선형 맵 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$→ W ${\displaystyle {\hat$ {$f}:$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ j =${\displaystyle f}$ ${\$$displaystyle {\f}j=f}$이(가) 있는 {\$hat$${$V}\$to$ W$}.$$$$즉{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle {\f}$이(가) 다음과 같은 다이어그램을 통근하는 고유한 맵이다.^[3]

프로베니우스 공식은 χ(h) = Tr σ(h)에 의해 주어지는 표현 σ의 문자라면 유도 표현 ψ은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \psi(g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\왼쪽(x^{-1}gx\오른쪽),}$

여기서 합계는 G에서 H의 왼쪽 코세츠 대표 시스템을 인수한다.

${\displaystyle {\widehat{\chi}}(k)={\begin{case}\chi(k)&{\text{{notherwise}}}}}}}$

분석적

G가 국소적으로 콤팩트한 위상학군(아마도 무한대)이고 H가 폐쇄적인 부분군이라면 유도표현에 대한 공통적인 분석적 구조가 있다.H를 힐베르트 공간 V로 연속적으로 표현하도록 하자(Let (1987, V)다음으로 넘어가자.

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ for all }}h\in H,\;g\in G{\text{ and }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}$

여기서 φL²(G/H)은 공간 G/H가 적절한 불변측정치를 가지고 있으며, φ(g)의 규범이 H의 각 왼쪽 코제트에 일정하므로, 우리는 G/H에 걸쳐 이러한 규범의 제곱을 통합하여 유한한 결과를 얻을 수 있다.그룹 G는 g,x∈G, φ∈Ind^G
_H π에 대해 (g.()(x)=g⁻¹(gx)에 의한 유도 표현 공간에 작용한다.

이 구조는 종종 필요한 용도에 맞게 다양한 방법으로 수정된다.일반적인 버전은 정규화된 유도라고 불리며 일반적으로 동일한 표기법을 사용한다.표현 공간의 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}$

여기서 Δ_G, Δ는_H 각각 G와 H의 모듈형 기능이다.이 유도 펑터는 정상화 요인의 추가와 함께 단일 표현에 대한 단일 표현을 취한다.

유도에 대한 또 다른 변화는 콤팩트 유도로 불린다.이것은 단지 콤팩트한 지지를 가진 기능에 제한된 표준 유도일 뿐이다.공식적으로 그것은 ind로 표시되며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\왼쪽\\pi\\\\pi\to V\\\\\\\\pi (g){\text}{\compact support mod드가 있음.}$

G/H가 작으면 Ind와 Ind가 동일한 functor라는 점에 유의하십시오.

기하학

G가 위상학 그룹이고 H가 G의 닫힌 부분군이라고 가정하자.또한 π이 벡터 공간 V 위에 H를 나타낸다고 가정한다.그 후 G는 다음과 같이 제품 G × V에 작용한다.

${\displaystyle g.(g',x)=(g',x)}$

여기서 g와 g′은 G의 원소이고 x는 V의 원소다.

G × V에서 동등성 관계 정의

${\displaystyle(g,x)\sim(gh,\pi(h^{-1})(x)){\text{전체 }h\in H.}$

Denote the equivalence class of ${\displaystyle (g,x)}$ by ${\displaystyle [g,x]}$. Note that this equivalence relation is invariant under the action of G; consequently, G acts on (G × V)/~ . The latter is a vector bundle over the quotient space G/H with H as the structure group and V as the fiber.W를 섹션 ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle G}$/ H${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \times }$ V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times$ V$)/\$의 공간이 되게 하라!이 벡터 번들의$$ $\sim }.$이것은 유도 표현 Ind^G
_H π의 기초가 되는 벡터 공간이다.그룹 G는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle }$${\displaystyle \mapsto }$[ g ,${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$$gH$\$mapsto[g,\phi$${\displaystyle }$$_{g}]$가 부여한$$ 섹션 ${\displaystyle \varphi }$:$G/H\to${\$mathcal{L}_{W}}$에 다음과 같이$$ 작용한다.

${\displaystyle (g\cdot \pi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\\{\text{{{}}}}}}}}.$

부정의 시스템

지역적으로 콤팩트한 집단의 단일표현의 경우, 유도구축은 부정성의 시스템 측면에서 공식화될 수 있다.

거짓말 이론

Lie 이론에서, 극히 중요한 예는 포물선 유도다. 포물선 부분군의 표현으로부터 환원군의 표현을 유도하는 것이다.이것은 서류의 철학을 통해 랭글랜드 프로그램으로 이어진다.

참고 항목

• 표현 제한
• 비선형실현
• 프로베니우스 캐릭터 공식

메모들

참조

• Alperin, J. L.; Rowen B. Bell (1995). Groups and Representations. Springer-Verlag. pp. 164–177. ISBN 0-387-94526-1.
• Folland, G. B. (1995). A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press. pp. 151–200. ISBN 0-8493-8490-7.
• Kaniuth, E.; Taylor, K. (2013). Induced Representations of Locally Compact Groups. Cambridge University Press. ISBN 9780521762267.
• Mackey, G. W. (1951), "On induced representations of groups", American Journal of Mathematics, 73 (3): 576–592, doi:10.2307/2372309, JSTOR 2372309
• Mackey, G. W. (1952), "Induced representations of locally compact groups I", Annals of Mathematics, 55 (1): 101–139, doi:10.2307/1969423, JSTOR 1969423
• Mackey, G. W. (1953), "Induced representations of locally compact groups II : the Frobenius reciprocity theorem", Annals of Mathematics, 58 (2): 193–220, doi:10.2307/1969786, JSTOR 1969786
• Sengupta, Ambar N. (2012). "Chapter 8: Induced Representations". Representing Finite Groups, A Semimsimple Introduction. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967.
• Varadarajan, V. S. (2007). "Chapter VI: Systems of Impritivity". Geometry of Quantum Theory. Springer. ISBN 978-0-387-49385-5.