행렬의 제곱근

수학에서 행렬의 제곱근은 제곱근의 개념을 숫자에서 행렬로 확장한다.행렬 $B$ 는 행렬 $제품$ BB가 A와 같으면 $A$ 의 제곱근이라고 한다.^[1]

일부 저자들은 $A$ 가 양수인 경우, 양수인 경우, $BB$ = $BB T$ = $A$ (실제 가치 매트릭스의 경우, 여기서 $B$ 는^T $B$ 의 전치)인 고유한 행렬 $B$ 를 나타내기 위해 정사각형 루트 또는 표기 $A$ 만을^1/2 사용한다.

덜 자주, 이름 제곱근은 비록 $BB a$ A일지라도, 줄스키 인자화에서와 같이, $BB T$ = $A$ 로 양의 세미데마인 행렬 $A$ 의 어떠한 인자화에도 사용될 수 있다.이 뚜렷한 의미는 양성확정행렬 § 분해에서 논의된다.

예

일반적으로, 매트릭스는 여러 제곱근을 가질 수 있다.특히 $A=B^{2}$ = $A=B^{2}$ $A=B^{2}$ ${\$ 인 경우 $A=(-B)^{2}$ = $A=(-B)^{2}$ ( $A=(-B)^{2}$ - B $A=(-B)^{2}$ ) $A=(-B)^{2}$ ${\$ 도 역시 마찬가지 $A=B^{2}$ $A=(-B)^{2}$ 입니다.

2× $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ID 매트릭스 $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 1 0 0 $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ) ${\$ 0\\ $0&1\end{pmatrix}}}}$ 은 제곱근을 무한히 많이 $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 가지고 있다.그것들은 에 의해 주어진다.

{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

±

{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

± 1

{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

)

{\

1

\pm{pmatrix}

및

{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}

(

{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}

-

{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}

{\

where $(a,b,c)$ are any numbers (real or complex) such that $a^{2}+bc=1$ . In particular if $(a,b,t)$ is any Pythagorean triple—that is, any set of positive integers such that ${\displaystyle a^{2}+b^{2$ $}}=t^{2$ 이후 ${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$ - ${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$ ) ${\$ { $1}{t}{\\begin{pmatrix}a&b\b&a\end{pmatrix}}}}}$ 은 대칭적이고 $I$ 인 ${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$ $I$ 입력을 가진 I ${\displaystystyle I}$ 의 제곱합이다.^[2]그러므로

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{2}.

마이너스 ID는 제곱근을 가지고 있는데, 예를 들면 다음과 같다.

{\displaystyle -{\pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}={\pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^{2},

2×2 실제 행렬을 사용하여 가상 단위 $i$ 와 따라서 모든 복잡한 숫자를 나타내는 데 사용될 수 있다. 복잡한 숫자의 행렬 표현을 참조한다.

실제 숫자와 마찬가지로, 실제 행렬은 실제 제곱근을 가지지 못할 수 있지만, 복잡한 값을 가진 제곱근을 가질 수 있다.어떤 행렬은 제곱근을 가지고 있지 않다.매트릭스 ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$ 0 ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$ ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$ ) ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$ . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.$ $}$

음이 아닌 정수의 제곱근은 다시 정수 또는 비합리적인 수인 반면, 대조적으로 정수 행렬은 위의 예와 같이 항목이 합리적이지만 통합되지 않은 제곱근을 가질 수 있다.

양수 반마분 행렬

A symmetric real n × n matrix is called positive semidefinite if $x^{\textsf {T}}Ax\geq 0$ for all $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (here $x^{\textsf {T}}$ denotes the transpose, changing a column vector $x$ into a row vector).정사각형 실제 행렬은 $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=B^{\textsf {T}}B$ 에 $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=B^{\textsf {T}}B$ A $A=B^{\textsf {T}}B$ B T $B$ {\ $displaystyle$ A=B^{\textsf ${T}B}$ 인 경우에만 양의 세미데마인이다.그러한 $매트릭스$ B에는 여러 가지 다른 매트릭스가 있을 수 있다.양수 세미더파인 $행렬$ $A=BB$ 는 $A=BB$ = $A=BB$ $A=BB$ 과 같이 많은 $행렬$ B를 가질 수 있다 $A=BB$ 그러나 $A$ 는 항상 양의 세미더파인(따라서 대칭)인 정사각형 뿌리 $B$ 를 가진다.특히 $B$ 는 대칭이어야 하기 $A=BB$ 에 $B=B^{\textsf {T}}$ B = $B=B^{\textsf {T}}$ T ${\$ B $=B^{\textsf{T$ 가 같으므로 A = ${\displaystyle$ A $=B}$ 또는 $A=BB$ $A=B^{\textsf {T}}B$ = $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=B^{\t}B$ 가 동일하다 $A=B^{\textsf {T}}B$ .

복합 값 행렬의 경우, 결합 전치 $∗{\$ B $^{*}$ 를 대신 사용하며 $B^{*}$ 양의 세미데마인 행렬은 Emidantian으로 $B^{*}=B$ $B^{*}=B$ = B $B^{*}=B$ 를 의미한다 $B^{*}=B$

정리^[3] — $A$ 를 양의 세미데마인 행렬(실제 또는 복합체)이 되게 한다. $A=B^{*}B$ A $A=B^{*}B$ = $A=B^{*}B$ $A=B^{*}B$ $A=B^{*}B$ $A=B^{*}B$ 와 같은 양의 세미데마인 행렬 $B$ 가 정확히 하나 있다 $A=B^{*}B$

이 독특한 행렬을 주성, 음성이 아닌 또는 양의 제곱근(양성 확정 행렬의 경우 후성)이라고 한다.

진짜 양의 세미데핀 행렬의 주 제곱근은 진짜다.^[3]양수확정행렬의 주 제곱근은 양수확정형이며, 보다 $일반적$ 으로 A의 주 제곱근은 A의 $등급$ 과 같다.^[3]

주 제곱근을 취하는 작업은 이 행렬의 집합에서 계속된다.^[4]이러한 성질은 행렬에 적용되는 홀로모픽 기능 미적분학의 결과물이다.^[5]^[6]주 제곱근의 존재와 고유성은 요르단 정규 형태(아래 참조)에서 직접 추론할 수 있다.

고유값이 뚜렷한 행렬

고유값이 n개인 $n \times n$ 행렬은 2개의ⁿ 제곱근을 가지고 있다.그러한 행렬인 $A$ 는 Eigendeeposition $VDV$ 를⁻¹ 가지고 있는데 $여기$ 서 V는 $A$ 의 고유 벡터인 $행렬$ 이고 D는 대각선 원소가 $대응$ 하는 고유값 $λ$ 인_i 대각선 행렬이다.따라서 $A$ 의 제곱근은 $VD 1/2$ $V$ 에⁻¹ 의해 주어진다. 여기서 $D$ 는^1/2 $D$ 의 제곱근 행렬로서, 구별되는 고유값에 대해서는 D의 대각선 원소의 제곱근과 동일한 대각선 원소를 가지고 대각선 원소를 가져야 한다. $D$ 의 각 대각선 원소의 제곱근에 대해 가능한 두 가지 선택이 있기 때문에, 행렬 $D$ 에는^1/2 두 가지ⁿ 선택이 있다.

이것은 또한 위의 관측의 증거를 좋은positive-definite 매트릭스:긍정적인 확실한 행렬하고 있으며 이러한 각 eigenvalues의 한가지 긍정적인 제곱 근은 오직 긍정적인 eigenvalues다 정확하게 하나positive-definite 제곱 근을 가지고 있고, D1/2의 월을 제곱 근 매트릭스의 eigenvalues 있는 대각선 원소를 이끈다.esquare 루트 매트릭스 그 자체로 양정확립하려면 원래 고유값의 고유한 양의 제곱근만 사용해야 한다.

폐쇄형 솔루션

행렬이 A $A^{2}=A$ = A $A^{2}=A$ 라는 뜻의 $A^{2}=A$ idempotent인 경우, 정의상 그 제곱근 중 하나가 행렬 그 자체다.

대각 행렬 및 삼각 행렬

If $D$ is a diagonal n × n matrix $D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ , then some of its square roots are diagonal matrices $\operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$ , where ${\di$ $splaystyle \mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i$ $D$ 의 대각선 원소가 실재하고 음이 아닌 경우 양성 세미데핀라이트(semidefinite)이고, 음이 아닌 기호로 제곱근을 취하면 결과 행렬이 $D$ 의 주근이다.대각 행렬은 위의 ID 행렬로 예시된 대로 대각선의 일부 항목이 같으면 대각선 행렬에 추가 비대각 루트가 있을 수 있다.

$U$ 가 상위 삼각 행렬(입력이 $i>j$ $u_{i,j}=0$ $u_{i,j}=0$ = 0 $,$ $u_{i,j}=0$ = $i>j$ > j ${\displaystyle u_$ ${i}=$ $0$ 이고 대각선 항목 중 하나가 0인 경우, $B^{2}=U$ $B^{2}=U$ $B^{2}=U$ $B^{2}=U$ {\ $displaystyle B^{2}=U}$ 의 상위 삼각형 해법은 다음과 같이 찾을 수 있다 $B^{2}=U$ .Since the equation $u_{i,i}=b_{i,i}^{2}$ should be satisfied, let $b_{i,i}$ be the principal square root of the complex number $u_{i,i}$ . By the assumption $u_{i,i}\neq 0$ , this guarantees th $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ + $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ , j $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ {\ $displaystyle$ b_ ${i,}+b_{j,j}\neq$ 0 $}$ 에서 $모든$ i $,j$ 에 대해 $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ (복잡한 숫자의 주 제곱근은 모두 복잡한 평면의 절반에 놓여 있기 때문이다).방정식에서

u_{i,j}=b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i+2}b_{i+2}b_{i+2}b_{b_\i,j_{i,j_}}}}}}

우리는 다음과 같이 1에서 n-1로 $j-i$ 하는 $j-i$ $j-i$ j - $j-i$ ${\displaystyle$ $b_{i,$ $j}$ 에 대해 $b_{i,j}$ 으로 $b_{i,j}$ 될 수 있다고 $b_{i,j}$ 추론한다.

b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\right).

만약 U가 상부 triangular지만 그리고 대각선에 여러개의 0이(0100){\displaystyle \left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\0&, 0\end{smallmatrix}}\right)}로 대표된다면, 제곱 근, 삼각 행렬의 대각선 항목이 바로 그 eigenvalues(삼각 행렬)프로 봅니다 존재하지 않을 수 있습니다.perties).

대각화로

$n$ × n $매트릭스$ $A$ 는 매트릭스 $V$ 와 A = $VDV$ 와⁻¹ 같은 대각 행렬 D가 있는 경우 대각선으로 가능하다.이는 $A$ 가 $C$ 의ⁿ 기초를 이루는 고유 벡터를 가지고 있는 경우에만 발생한다.이 경우 $고유$ 벡터를 열로 하여 V를 행렬로 선택할 수 있으므로 $A$ 의 제곱근은

R=VSV^{-1},

여기서 $S$ 는 $D$ 의 제곱근이다.정말,

\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{1}{1}{1}{{1}{{1}V\right)^(V^{-1}V\right)D^{\frac{1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}={-1}=A~.

예를 들어 매트릭스 $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ = $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ 33 $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ ) ${\$ 오른쪽 $)$ 은 $VDV$ 로⁻¹ 대각선화할 수 있다 $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ .

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

=

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

(

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

- 1

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

)

{\

D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}

D

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}

=

D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}

(

D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}

0

D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}

)

{\

D

={\begin}81&0\9\end{pmatrix

$D$ 는 주 제곱근을 가지고 있다.

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

=

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

(

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

)

{\

{

1}{1}:{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix

제곱근 부여

{\

VD^{\frac{1}{2}}V^{-1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix

$A$ 가 대칭인 경우, 대각 행렬 $V$ 는 고유 벡터를 적절히 선택하여 직교 행렬을 만들 수 있다(스펙트럼 정리 참조).그렇다면 V의 역행은 단순히 전치(轉治)이므로, 다음과 같다.

R=VSV^{\textsf {T}~.

슈르 분해별

모든 복합 값 제곱 행렬 A $A$ 은 $A$ 는) 대각선성에 관계없이 $A=QUQ^{*}$ = $A=QUQ^{*}$ U $A=QUQ^{*}$ $A=QUQ^{*}$ ${\$ 에 의해 주어지는 Schur 분해능을 가진다. $UQ$ $^{*}$ 는 $A=QUQ^{*}$ U $U$ 이(가) 위쪽 삼각형이고 $U$ $Q$ $Q$ 은 $Q$ (는) 단일( $Q^{*}=Q^{-1}$ $Q^{*}=Q^{-1}$ = $Q^{*}=Q^{-1}$ - $Q^{*}=Q^{-1}$ ${\$ Q $^{*}=Q^{-1})$ 이다. $Q^{*}=Q^{-1}$ $A$ $A$ 의 고유값은 $정확히$ U $U$ 의 대각선 항목이며 $A$ $U$ 그 중 하나라도 0이면 다음은 제곱근이다^[7].

A^{\frac {1}{1}{2}}=Q^{\frac{1}{2}}Q^{*}.

여기서 위쪽 삼각 행렬 $U$ ${\$ displaystyle $U^{\frac$ { $1}{2$ }}: $U^{\frac {1}{2}}$ 위쪽 삼각형 행렬 U {\ $displaystyle$ U $}$ 의 제곱근 $U^{\frac {1}{2}}$ U $U^{\frac {1}{2}}$ ${\$ U}를 찾을 수 있다 $U$ .

$A$ $A$ 이 $A$ (가) 양의 한정된 경우 고유값이 모두 양의 리얼이므로 U $U^{\frac {1}{2}}$ $U^{\frac {1}{2}}$ ${\$ }}의 대각선도 역시 $U^{\frac {1}{2}}$ 양의 리얼로 구성된다.따라서 $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ Q $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ ${\$ 의 고유값은 양의 실체로서 $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ , 결과 행렬이 $A$ $A$ 의 주요 루트임을 의미한다 $A$

조던 분해에 의해

슈르 분해와 유사하게 모든 $정사각형$ 매트릭스 A {\ $displaystyle$ A $}$ 은 $A=P^{-1}JP$ 는 $A=P^{-1}JP$ $A=P^{-1}JP$ = P - $A=P^{-1}JP$ 1 J P {\ $displaystyle A=$ P^{-1}JP $}$ 로 분해될 수 $A$ 있다. 여기서 $A=P^{-1}JP$ $P$ 는 변위할 수 없고 $J$ 는 요르단 정규 형태에 있다.

양의 고유값을 갖는 복잡한 행렬이 동일한 형태의 제곱근을 가지고 있는지 확인하려면 요르단 블록에 대해 이 값을 확인하는 것으로 충분하다.그러한 블록은 모두 λ(I + N) 형식이며 λ > 0과 N nilpotent가 있다. $(1$ + $z) 1/2$ = 1 + $z$ + $z 1 2$ + z +⋯ $이 2$ 제곱근의 이항 분포인 경우(z < 1에서 유효함) 공식 파워 시리즈로서 제곱은 1 + z와 같다.N을 z로 대체하면, 미세하게 많은 항만 0이 아닐 것이고 S= $\sqrtλ(I$ + $N 1$ + $N 2 2$ + N + $\dots)$ 는 요르단 블록의 제곱근을 고유값 $\sqrtλ$ 으로 나타낸다.

λ = 1로 조던 블록의 고유성을 확인하는 것으로 충분하다.위에서 생성된 정사각형은 S = I + L 형태를 가지며 여기서 L은 일정한 항이 없는 N의 다항식이다.양의 고유값을 갖는 다른 제곱근 T는 $M$ nilpotent가 있는 T = I + M 형태를 가지며, N과 L로 통근한다.그러나 $0$ = $S 2$ - $T 2$ = $2(L$ - $M)(I$ + $(L$ + M $)/2$ ) $L$ 과 $M$ 이 통근하기 때문에, $행렬$ L + $M$ 은 $영점$ 이고 $,$ I + ( $L$ + $M$ )/2는 Neumann 시리즈가 주는 역방향으로 변환할 수 있다. $따라서$ L = $M$ .

만약 A가 양의 고유값과 최소 $다항식$ p( $t$ )를 갖는 행렬이라면 $,$ $p (t$ )의 부분적인 부분적 팽창으로부터 $A$ 의 일반화된 eigenspaces로 분해된 요르단을 추론할 수 있다 $. -1$ 일반화된 아이겐스페이스에 대한 해당 투영은 A의 실제 다항식들에 의해 주어진다.각 eigenspace에서 $A$ 는 위와 같이 $λ (I$ + N $)$ $형태$ 를 가진다.eigenspace의 제곱근에 대한 파워 시리즈 식을 보면 $A$ 의 주 제곱근은 q(A)형이고, 여기서 q(t)는 실제 계수를 갖는 다항식이다.

파워 시리즈

Recall the formal power series ${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }\left {\binom {1/2}{n}}\right z^{n}}$ , which converges provided $\ z\ \leq 1$ (since the coefficients of the power series are summable). $z=I-A$ 식에 $z=I-A$ z $z=I-A$ = $z=I-A$ - $z=I-A$ $z=I-A$ 을(를) 연결할 경우

A^{\frac {1}{1}:{2}}:=I-\sum _{n=1}^{\inflit }\왼쪽 {{\frac {1}{1}2}} \선택 n}\오른쪽(I-A)^{n}}}}

제공되는 그 lim 저녁밥을 먹다 n‖(A−)n‖ 1n<1{\textstyle \limsup_{n}\(I-A)^{n}\ ^{\frac{1}{n}}<1}. 미덕의 Gelfand 공식, 그 상태는 등가에 요구 사항은 주파수의{A\displaystyle}은 안에 들어 있는 디스크를 D(1,1)⊆ C{\displaystyle D(1,1)\subseteq \mathb.b{C} $D(1,1)\subseteq \mathbb {C}$ $A^{\frac {1}{2}}$ $A^{\frac {1}{2}}$ $A^{\frac {1}{2}}$ ${\$ A $^{\frac {1}{2}}:$ 이 정의 방법은특히 A {\ $displaystyle$ A}이(가 $)$ 양의 반확정성인 경우에 $A$ 유용하다 $A^{\frac {1}{2}}$ .In that case, we have ${\textstyle \left\ I-{\frac {A}{\ A\ }}\right\ \leq 1}$ and therefore ${\textstyle \left\ \left(I-{\frac {A}{\ A\ }}\right)$ $^{n}\right\ \leq \left\ I-{\frac {A}{\ A\ }}\right\ ^{n}\leq 1}$ , so that the expression ${\textstyle \ A\ ^{\frac {1}{2}}\left(I-\sum _{n=1}^{\infty }\left {\binom {1/2}{n}}\right \left(I-{\frac {A}{\ A\ }}\right)$ $^{n}\right)}$ 은(는) $A$ $A$ 의 제곱근을 정의하며 ${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}\left(I-\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\binom {1/2}{n}}\right|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)}$ , 더욱이 $A$ 이 제곱근은 고유한 양의 반확정근으로 판명된다.이 방법은 (C*) 바나흐 알헤브라의 일부 요소 또는 무한 차원 바나흐 또는 힐버트 공간에 있는 운영자의 제곱근을 정의하는 데 유효하다.

반복적 해결책

By Denman-Bevers 반복

n × n 행렬 A의 제곱근을 찾는 또 다른 방법은 Denman-Bevers 제곱근 반복이다.^[8]

Y₀ = A와 Z₀ = I로, 여기서 나는 n × n ID 행렬이다.반복은 다음에 의해 정의된다.

{\reasoned}Y_{k+1}&={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\오른쪽),\\Z_{k+1}&={{1}{1}}}{{1}}}}}}}{{1}}}}}}}+)Y_{k}^{-1}\오른쪽).\end{정렬}}

이것은 후기 요소들이 상대적으로 거의 변하지 않는 매트릭스 인버스의 시퀀스 쌍을 사용하기 때문에, 오직 첫 번째 요소들만이 높은 계산 비용을 가지고 있다. 왜냐하면 나머지는 단지 초기 요소들로부터 계산될 수 있기 때문이다.

X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.

With this, for later values of $k$ one would set $X_{0}=Z_{k-1}^{-1}$ and $B=Z_{k},$ and then use $Z_{k}^{-1}=X_{n}$ for some small n (perhaps just 1), and similarly for ${\displaystyle Y_{k}^{-1}.$ $}$

제곱근을 가진 행렬에도 수렴이 보장되지 않지만, 공정이 수렴되면 $Y_{k}$ Y $Y_{k}$ ${\$ 가 제곱근 $A$ 로^1/2 2차적으로 수렴되고 $Y_{k}$ , $Z_{k}$ $Z_{k}$ ${\$ 는 그 역인 $A$ 로^−1/2 수렴한다 $Z_{k}$ .

바빌로니아식으로

그러나 실제 숫자의 제곱근을 계산하기 위해 잘 알려진 바빌로니아식 방법의 공식을 취하여 행렬에 적용함으로써 또 다른 반복적인 방법을 얻는다.X₀ = I, 여기서 나는 정체성 행렬이다.반복은 다음에 의해 정의된다.

X_{k+1}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(X_{k}+AX_{k}^{-1}\오른쪽)\,

다시 정합성은 보장되지 않지만 공정이 수렴하면 행렬 $X_{k}$ $X_{k}$ ${\$ 은 2차적으로 제곱근 A로^1/2 수렴한다 $X_{k}$ .Denman-Beavers 반복에 비해, 바빌로니아식 방법의 장점은 반복 단계당 하나의 행렬 역행렬만 계산하면 된다는 것이다.한편, Denman-Bevers 반복은 후기 요소들이 비교적 거의 변하지 않는 한 쌍의 매트릭스 invers를 사용하므로, 첫 번째 요소들만이 높은 연산 비용을 가지고 있다. 왜냐하면 나머지는 단지 뉴턴의 invers 계산 방법의 몇 가지 패스만으로 초기 요소들로부터 계산될 수 있기 때문이다(Denman-Beave 참조).위의 반복); 물론 바빌로니아식 방법에 필요한 인버스(invers)의 단일 시퀀스를 얻기 위해 동일한 접근법을 사용할 수 있다.그러나 Denman-Beavers 반복과는 달리 바빌로니아식 방법은 수적으로 불안정하여 수렴하지 못할 가능성이 높다.^[1]

바빌로니아식 $X^{2}-A=0$ 은 X 2 - $X^{2}-A=0$ = 0 ${\displaystyle$ X $^{2}-A=0}$ 방정식에 대한 뉴턴의 방법에서 $X^{2}-A=0$ $,$ 모든 k . {\ $displaystyle$ $AX_{k}=X_{k}A$ .}에 대해 A $AX_{k}=X_{k}A$ k $AX_{k}=X_{k}A$ = $AX_{k}=X_{k}A$ k $AX_{k}=X_{k}A$ A {\ $displaysty$ AX_{ $k}=X_{k}A$ }A $}$ 를 사용한다 $.$

양성 연산자의 제곱근

선형대수학 및 연산자 이론에서 복잡한 힐버트 공간에 한정된 양의 세미데핀 연산자(비 음의 연산자) T를 주어진 B는 T = B* B이면 T의 제곱근이며 여기서 B*는 B의 은둔자 연관을 나타낸다.^{[citation needed]}스펙트럼 정리에 따르면 연속 기능^1/2 미적분학을 적용하여 T자체가^1/2 양이고 (T^1/2)² = T자체가 양인 연산자 T자를 얻을 수 있다. 연산자 T는^1/2 T자의 고유한 비음수 제곱근이다.^{[citation needed]}

복잡한 힐버트 공간의 경계 비음극 연산자는 정의에 의해 스스로 조정된다.따라서 T = (T^1/2)* T^1/2. 반대로 B* B 형식의 모든 연산자가 음성이 아니라는 것은 사소한 사실이다.따라서 연산자 T는 일부 B에 대해 T = B* B(일부 C에 대해 T = CC*)인 경우에만 음수가 아니다.

숄스키 인자화는 또 다른 특별한 제곱근의 예를 제공하는데, 이것은 고유한 비음성의 제곱근과 혼동되어서는 안 된다.

제곱근의 단일 자유

T가 유한 차원 힐버트 공간의 비음극 연산자라면, T의 모든 제곱근은 단일 변형에 의해 관련된다.더 정확히 말하면, T = A*A = B*B이면 A = UB와 같은 단일 U가 존재한다.

실제로,)T.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px B 그렇게.뚜껑}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2 T. 사정이라면 T의 독특한non-negative 제곱 근을 엄격히 말하자면 그 다음에 B가역니다. 따라서 U)AB−1개의 행정 구역은:긍정적이다.

{\reasoned}U^{*}U&=\왼쪽(\왼쪽(B^{*}\오른쪽)^{-1}A^{*}\오른쪽)\왼쪽(AB^{-1}\오른쪽)=\왼쪽(B^{*}\오른쪽)^{-1T\왼쪽(B^{-1}\오른쪽)\\&=\왼쪽(B^{*}\오른쪽)^{-1}B^{*B\왼쪽(B^{-1}\오른쪽)=I.\end{aigned}

T가 엄격히 양성되지 않고 음성이 아닌 경우 B의 역은 정의할 수 없지만 무어-펜로스 사이비인버스 B는⁺ 정의될 수 있다.이 경우, 연산자⁺ BA는 부분 등사계, 즉 T의 범위부터 그 자체까지의 단일 연산자다.이것은 T의 커널에 있는 아이덴티티와 동일하게 설정함으로써 전체 공간의 단일 연산자 U로 확장될 수 있다.보다 일반적으로, T가 폐쇄 범위를 갖는다면, 이는 무한 차원 힐버트 공간에서도 사실이다.일반적으로, A, B가 힐버트 공간 H에서 폐쇄되고 밀도 있게 정의된 연산자라면, A* A = B* B, A = UB는 U가 부분 등위계량이다.

일부 응용 프로그램

제곱근, 그리고 제곱근의 단일자유는 기능분석과 선형대수학 전반에 걸쳐 응용이 가능하다.

극분해

A가 유한차원 힐버트 공간에 대한 변절 불가능한 연산자라면, 다음과 같은 고유한 단일 연산자 U와 양성 연산자 P가 있다.

(\displaystyle A=)UP;}

이것이 A의 극 분해다.양성 연산자 P는 양성 연산자 AA의^∗ 고유한 양성 제곱근이며 U는 U = AP에⁻¹ 의해 정의된다.

A가 변위할 수 없는 경우, P가 동일한 방식으로 정의(그리고 고유한)되는 극 구성을 여전히 가지고 있다.유니터리 연산자 U는 독특하지 않다.오히려 AP는⁺ A의 범위에서부터 그 자체로, A의^∗ 커널에 있는 아이덴티티로 확장될 수 있는, 「자연적인」 단일 사업자를 다음과 같이 결정하는 것이 가능하다.그 결과 발생하는 단일 측정 시스템 U는 A의 극분해를 산출한다.

크라우스 연산자

최 교수 결과, 선형 지도

\Phi :C^{n\time n}\to C^{m\time m}

형태일 경우에만 완전히 긍정적이다.

\Phi (A)=\sum _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}}}

여기서 k ≤nm.{E_pq} ⊂ C를^{n × n} n개의² 기본 매트릭스 단위가 되도록 한다.양행렬

M_{\Phi }=\왼쪽(\Phi \왼쪽(E_{pq}\오른쪽)_{pq}\in{nm\timesnm}}

Ⅱ의 최매트릭스라고 불린다.크라우스 연산자는 반드시 M의_Φ 제곱근에 해당하는 것은 아니다: M의_Φ 제곱근 B에 대해서는 B의 각 열 B에_i 대한 Vec 연산을 취소함으로써 Kraus 연산자 V의_i 계열을 얻을 수 있다.따라서 모든 Kraus 연산자 세트는 부분 등각도에 의해 관련된다.

혼합 앙상블

양자물리학에서 n-레벨 양자계 밀도 행렬은 추적 1을 갖는 양의 세미데마인산인 n × n 복합 행렬 ρ이다.만약 ρ이 로 표현될 수 있다면.

\rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}}}}

여기서 p $p_{i}>0$ > $p_{i}>0$ $p_{i}>0$ 및 $p_{i}>0$ σ_i p = 1, 집합

\왼쪽\{p_{i}v_{i}\오른쪽\}}

혼성국 ρ을 묘사한 앙상블이라고 한다.주의사항 {v_i}은(는) 직교할 필요가 없다.상태 ρ을 기술하는 다른 앙상블들은 of의 제곱근을 통해 단일 군사 운영자들에 의해 관련된다.예를 들어,

\rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.

추적 1 조건 평균

\sum _{j}a_{j}^{*a_{j}=1.

내버려두다

p_{i}=a_{i}^{*}a_{i}}}

그리고 v는_i 정규화된 a가_i 된다.우리는 그것을 안다.

\왼쪽\{p_{i}v_{i}\오른쪽\}}

혼성 상태를 나타내다.

무센트 칼만 필터

UKF(Unsented Kalman Filter)에서 사용된 통계적 선형화 방법인 비중심 변환에 대해 상태 오류 공분산 행렬의 제곱근을 요구한다.^[10]GPS/INS 센서 융합 UKF 응용 프로그램 내에서 다른 매트릭스 제곱근 계산 방법의 비교가 제시되었는데, 이는 Cholesky 분해 방법이 UKF 응용 프로그램에 가장 적합하다는 것을 보여준다.^[11]

참고 항목

메모들

^ ^a ^b Higham, Nicholas J. (April 1986), "Newton's Method for the Matrix Square Root" (PDF), Mathematics of Computation, 46 (174): 537–549, doi:10.2307/2007992, JSTOR 2007992
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참조

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[2] Mitchell, Douglas W. (November 2003). "Using Pythagorean triples to generate square roots of $I_{2}$ ". The Mathematical Gazette. 87 (510): 499–500. doi:10.1017/s0025557200173723.

[HJ-7.2.6-3] Horn & Johnson(2013), 페이지 439, 정리 7.2.6( $k=2$ = $k=2$ $[\displaystyle k=2})$

[4] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 411. ISBN 9780521386326.

[5] 행렬의 분석 기능은 다음을 참조하십시오.
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[6] 하이암 2008

[7] 혼 앤 존슨 1994

[6] 홀로모픽 함수 미적분은 다음을 참조하십시오.
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부르바키 2007

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[9] 루딘 1991

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[11] 콘웨이1990번길

[7] Deadman, Edvin; Higham, Nicholas J.; Ralha, Rui (2013), "Blocked Schur Algorithms for Computing the Matrix Square Root" (PDF), Applied Parallel and Scientific Computing, Springer Berlin Heidelberg, pp. 171–182, doi:10.1007/978-3-642-36803-5_12, ISBN 978-3-642-36802-8

[8] Denman & Beavers 1976; Chen et al. 2001

[9] Higham, Nicholas J. (1997). "Stable iterations for the matrix square root". Numerical Algorithms. 15 (2): 227–242. Bibcode:1997NuAlg..15..227H. doi:10.1023/A:1019150005407.

[10] Julier, S.; J. Uhlmann (1997), "A New Extension of the Kalman Filtering to Non Linear Systems", SPIE Proceedings Series, Signal Processing, Sensor Fusion, and Target Recognition VI, 3068: 182–193, Bibcode:1997SPIE.3068..182J, CiteSeerX 10.1.1.5.2891, doi:10.1117/12.280797

[11] Rhudy, Matthew; Yu Gu, Jason Gross, and Marcello R. Napolitano; Gross, Jason; Napolitano, Marcello R. (December 2011), "Evaluation of Matrix Square Root Operations for UKF within a UAV_Based GPS/INS Sensor Fusion Application", International Journal of Navigation and Observation, 2011: 1–11, doi:10.1155/2011/416828{{citation}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

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