닐포텐트

선형대수학에서 nilpotent 행렬은 다음과 같은 제곱 행렬 N이다.

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

일부 양의 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해$.$ 그러한 가장 $작은{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle k}$은(는) $N{\displaystyle }${\$displaystyle$N}의 지수라고 불리며$,$^[1] 때로는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 정도라고도 한다$.$

보다 일반적으로 nilpotent 변환은 일부 양의 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle L^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$= 0 {\$displaystyle$ $L^{k}=$$0}$인 벡터 ${\displaystyle {공간}^{}}$의 $선형{\displaystyle }$ 변환 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L}$이다($$따라서 모든 j$$ ${\displaystyle \ge }$ k ${\style j\geq}).$^[2][3][4] 이 두 개념 모두 고리 원소에 적용되는 좀 더 일반적인 영감 개념의 특별한 경우다.

예

예 1

행렬

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}}$

$A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A^{2}=0$이므로 인덱스 2가 있는 nilpotent임.

예 2

보다 일반적으로 주 대각선을 따라 0이 있는 $모든{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n$} -차원 삼각 행렬은 0일전트(nilpotent)이며, 인덱스 $\le {\displaystyle n}$ ${\displaystyle \leq n$ 예를 들어 행렬이 있다.

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\0&0&3\0&0&0\end{bmatrix}}}}$

와 함께 nilpotent이다.

${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&, 0&, 2&, 7\\0&, 0&, 0&, 3\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\end{bmatrix}},)B^{3}={\begin{bmatrix}0&, 0&, 0&, 6\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\end{bmatrix}},)B^{4}={\begin{bmatrix}0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&앰프, 0&, 0\end{bmatrix}}.}$

$따라서{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 지수는 4이다$$.

예 3

위의 예들은 0 항목 수가 많지만, 일반적인 영점 행렬은 그렇지 않다. 예를 들어,

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\\15&-9&6\\\\10&-6&4\\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\0&0\#0&0\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}nd}}}}}}}}}}}}}}}}}}{bmatrix}}}}}}}}}}}}$

행렬에 0개의 항목이 없음에도 불구하고

예 4

또한, 양식의 모든 행렬

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

예를 들어

${\displaystyle {\bmatrix}5&5&5\6&6&6\\-11&-11&-end{bmatrix}}}$

또는

${\displaystyle {\bmatrix}1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4\\-7&-7&-7\end{bmatrix}}}}$

정사각형에서 정사각형 모양의

예 5

영점 행렬의 가장 두드러진 예로는 다음과 같은 $형태$의 n${\displaystyle }$× ${\displaystyle n}${\$displaystyle n\times$ n$}$제곱$$ 행렬일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

그 중 처음 몇 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}2&, -1\\4&, -2\end{bmatrix}}\qquad{\begin{bmatrix}2&, 2&, -2\\5&, 1&, -3\\1&, 5&, -3\end{bmatrix}}\qquad{\begin{bmatrix}2&, 2&, 2&, -3\\6&, 1&, 1&, -4\\1&, 6&, 1&, -4\\1&, 1&, 6&, -4\end{bmatrix}}\qquad{\begin{bmatrix}2&, 2&, 2&, 2&, -4\\7&, 1&, 1&, 1&, -5\\1&.앰프, 7&, 1&, 1&, -5\\1&, 1&, 7&, 1&, -5\\1&, 1&, 1&, 7&, -5\end{bmatrix}}\qquad \ldots}$

이러한 행렬은 영점이지만 지수보다 작은 어떤 힘에도 0의 항목이 없다.^[5]

특성화

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2018년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

실제(또는 복잡한) 항목이 있는$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$제곱$$ 행렬 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 경우, 다음과 같다.

• ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은(는) 영점이다.
• $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 특성 다항식은 ${\displaystyle det(x}$ I${\displaystyle }$- ${\displaystyle N}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이다$.$
• $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 최소 다항식은 일부 양의 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle k\leq n}$에 $대한{\displaystyle {}^{}}$ x k ${\$ x$^{k}}}$이다$.$
• $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 유일한 복합 고유값은 0이다$$.

마지막 정리는 특성 0 또는 충분히 큰 특성의 어떤 분야에 걸친 행렬에 대해 참이다. (cf) 뉴턴의 정체성)

이 정리에는 다음과 같은 몇 가지 결과가 있다.

• $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$ nilpotent$$ 행렬의 지수는 $항상{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$보다 작거나 같다$.$ 예를 들어 매 $2{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ 2$\times$ 2$}$nilpotent$$ $행렬$의 제곱은 0이다.
• 영점 매트릭스의 결정요인과 추적은 항상 0이다. 따라서, 영점 행렬은 되돌릴 수 없다.
• 0일전트 대각선 가능 행렬은 0 행렬뿐이다.

분류

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$교대$$ 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&#0&#0&#ldots &0&#0&#0&#0&#0&#0&#ldots &\vdots &#0&#0&#0&ldots &0&#0&ldots{bmats}.}$

이 행렬은 초대각선을 따라 1과 0을 가지고 있다. 선형 변환으로, 시프트 매트릭스는 벡터 원 위치의 성분을 왼쪽으로 "전환"하며, 마지막 위치에는 0이 나타난다.

${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}=(x_{2},\ldots,x_{n},0).}$^[6]

이 행렬은 nilpotent이고 도 $n{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ n$}$이$($가$)$ 표준 nilpotent 행렬이다.

$특히{\displaystyle }$, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$N}이$$(가) 영점 행렬이면 N ${\displaystyle N}$은(는) 형식의 블록 대각 행렬과 유사하다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&#0&\ldots &0\0>S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\\vdots &\\vdots \\\0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}}}}$

여기서 블록 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{S\mathrm{}}_{}}$ 2 …${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$ 각각은 시프트 매트릭스(아마도$$ 크기가 서로 다를 것이다)이다. 이 형식은 요르단 표준형식의 특수한 사례다.^[7]

예를 들어, 0이 아닌 2 × 2 일전위 행렬은 행렬과 유사하다.

${\displaystyle {\bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}.}$

즉, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 0이 아닌 2 × 2 nilpotent 행렬인 경우, Nb₁ = 0, Nb₂ = b와₁ 같은 기준 b가₁₂ 존재한다.

이 분류 정리는 어떤 분야에 대한 행렬을 포함한다. (그 필드를 대수적으로 닫을 필요는 없다.)

하위 스페이스의 플래그

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 nilpotent $변환{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$이(가) 하위 스페이스$$ 플래그를 자연스레 결정함

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \cker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathb {R} ^{n}}}}}}}}$

그리고 서명

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}><n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

서명은 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) 반전 가능한 선형 변환까지 특징짓는다. 게다가, 그것은 불평등을 만족시킨다.

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1}\qquad {\mbox{{}}모든 }j=1,\ldots,q-1.}$

반대로, 이러한 불평등을 만족시키는 자연수의 순서는 영점 변환의 상징이다.

추가 속성

일반화

$모든{\displaystyle }$ 벡터 v ${\displaystyle v$에 $대해{\displaystyle }$ 다음과 같은 k ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$이$($가) 있는 경우 선형 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$은(는) 로컬 영점이다.

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$

유한 차원 벡터 공간에 있는 연산자의 경우 국부 영지는 영 광전도와 동일하다.

메모들

참조

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646

외부 링크

• PlanetMath에서 Nilpotent 행렬과 Nilpotent 변환.