모터 변수

수학에서 모터 변수의 함수는 복잡한 변수의 함수가 일반 복합수를 포함하는 것과 마찬가지로 분할 복합수 평면에 인수와 값을 갖는 함수다.윌리엄 킹돈 클리포드는 그의 "바이쿼터니온스의 예비 스케치" (1873년)에서 운동학적 연산자를 위한 모터라는 용어를 만들었다.그는 스칼라에 분할 복합 숫자를 사용했다.여기서 모터 변수는 유순과 전통을 위한 분할 복합 변수 대신 사용된다.

예를 들어,

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\v(z),\z=x+jy,\x+jy,\x\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

모터 변수의 함수는 실제 분석을 확장하고 평면의 매핑을 압축적으로 표현하기 위한 컨텍스트를 제공한다.그러나 이 이론은 보통의 복잡한 평면에서는 기능 이론에 크게 못 미친다.그럼에도 불구하고 기존의 복잡한 분석의 일부 측면은 운동 변수와 함께 주어진 해석을 가지고 있고, 보다 일반적으로 하이퍼 복합 분석에서 주어진다.

모터 변수의 기본 기능

Let D =${\displaystyle }${ ${\displaystyle z}$= x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$ y${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in$ R$\}},$ 분할 복합 평면$.$다음의 예시함수 f는 영역과 범위를 D로 한다.

쌍곡선 versor $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle j}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle a}$+ j ${\displaystyle \sinh a}$ ${\displaystyle u=\exp(aj)$의 작용$=\cosh a+j\sinh a}$은(는) 번역과 결합되어$$ 부속 변환을 생성한다.

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z}$+ c ${\$ c = 0이면 함수는 스퀴즈 매핑과 같다.

제곱 함수는 보통의 복잡한 산술에서는 유추할 수 없다.내버려두다

${\displaystyle f}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $displaystyle f(z)=z^{2}\}\}$에 유의하고 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle j}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- j${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1${\$j)=$ffj)=1=$1.$\ }$

그 결과 네 개의 사분면이 하나의 아이덴티티 컴포넌트로 매핑된다.

={ D x ${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x$

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\$은(는) 하이퍼볼라 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 -${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$단위를 형성한다는$$ 점에 유의하십시오$.$그러므로 상호 작용은

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\where}\mid z\mid ^{2}=z^{*}}}$

C의 원과 반대로 참조 곡선으로 하이퍼볼라를 포함한다.

확장된 복합 평면에는 뫼비우스 변환이라고 하는 기능 등급이 있다.

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

링 위에 투사선 개념을 사용하여 투사선 P(D)를 형성하고 호모그래피 GL(2,D) 그룹에 의해 작용한다.이 구조는 분할 복합 번호 구성요소가 있는 균일한 좌표를 사용한다.

일반 복합 평면에서는 케이리 변환이 상부 하프 평면을 장치 원반으로 운반하므로 이를 경계로 한다.ID₁ 구성요소 U를 직사각형으로 매핑하면 유사한 경계 동작을 제공한다.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\message f:U_{1}\to T}$

여기서 T = {z = x + jy : 1 ≤ x <2}일 때 y < x < 1 또는 y < 2 – x).

Exp, 로그 및 제곱근

지수함수는 전체 평면 D를 U로₁ 이동시킨다.

$displaysty e^{n=0}=\sum }{x^{n$$}}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {x^{2n}}{{n)!$$}}}+\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {x^{2n+1}{{{n+1){{(2n+1)!$$}}}=\cosh$ x$+\sinh$ x$\}.$

따라서 x = bj일 때, e는^x 쌍곡선 버시어이다.일반 모터 변수 z = a + bj에 대해서는

${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$= e ${\displaystyle a^{}}$( ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ b${\displaystyle }$+ j ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$ b${\displaystyle }$) ${\$ b$)\backslash \}.$

운동 변수의 기능 이론에서 특별한 주의를 제곱근과 로그 함수에 불러야 한다.특히 분할복소수의 평면은 대각선 z = x ± x j, x ∈ R 등 4개의 연결된 구성요소와 역이 없는 단수점 집합으로 구성된다.ID 성분, 즉 {z : x > y }은 제곱함수와 지수함수의 범위다.따라서 제곱근과 로그 함수의 영역이다.제곱근과 로그는 제곱함수와 지수함수의 일대일 인으로 정의되기 때문에 나머지 3개 사분면은 도메인에 속하지 않는다.

D의 로그에 대한 그래픽 설명은 Motter & Rosa가 그들의 기사 "Hyperbolic Miculus" (1998년)에 제시하였다.^[1]

D-형상 함수

복잡한 평면의 한 영역에서 홀로모픽 함수를 특징짓는 Cauchy-Remann 방정식은 운동 변수의 함수에 대한 아날로그를 가지고 있다.Watter & Rossa는 Watteringer 파생상품을 이용한 D-홀로모르픽 기능에 대한 접근방식을 다음과 같이 제시하였다.^[1]f = u + j v라는 함수를 D-홀모픽이라고 한다.

${\displaystyle 0\\ =\(\displaystyle \over \cHB x}-j{\disput \over \cHB)(u+jv)}$

${\displaystyle =\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y})).}$

실제 및 가상 구성요소를 고려함으로써 D-홀모픽 함수는 만족한다.

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\cHB v_{x}=u_{y}.}$

이 방정식들은 게오르크 셰퍼스에 의해 1893년에 출판되었기^[2] 때문에 "스케퍼스의 조건"^[3]이라고 불려왔다.

조화 함수 이론에서 비교할 수 있는 접근법은 피터 듀렌에 의해 텍스트로 볼 수 있다.^[4]D-홀로모르프 함수의 u와 v는 달렘버트와 관련된 파동 방정식을 만족시키는 반면, C-홀로모르프 함수의 구성요소는 라플레이스의 방정식을 만족시키는 것이 명백하다.

라플라타 레슨

1935년 라플라타 국립대학에서 무한 시리즈 융합 전문가인 J.C. 비그노(J.C. Vignau)는 이 대학의 연례 정기 간행물에 모터 변수에 관한 4개의 기사를 기고했다.^[5]입문서의 단독 저자로, A 부서장과 상의했다.두라뇨나 이 비디아에 대한 다른 것."Sobre las series de mumos complejos hiperbolicos"에서 그는 다음과 같이 말한다. (123 페이지)

이 쌍곡체 복합수[동력 변수] 시스템은 실수의 분야와 이형화된 두 개의 분야를 직접 합한 것이다. 이 특성은 실수의 분야 속성 사용을 통해 쌍곡체 복합 변수의 직렬 이론과 함수의 함수를 탐구할 수 있다.

그런 다음, 예를 들어, 그는 코우치, 아벨, 메르텐스, 하디로 인한 이론들을 운동 변수의 영역으로 일반화시키기 위해 진행한다.

그는 아래에 인용된 1차 논문에서 D-홀로모르프 함수와 그 구성요소에 의한 달랑베르트의 방정식의 만족도를 고려한다.그는 대각선과 평행한 면이 있는 직사각형을 대각선 y = x 및 y = - x라고 부른다.그는 다음과 같은 말로 추상적인 결론을 내린다.

등방성 직사각형은 홀로모르픽 기능에 대한 존재 영역, 전력 시리즈의 융합 영역, 기능 시리즈의 융합 영역을 형성하기 때문에 이 이론에서 근본적인 역할을 한다.

Vignaux는 Bernstein 다항식들에 의한 단위 등방성 직사각형의 D-홀로모르픽 함수의 근사치에 관한 6페이지의 노트와 함께 그의 시리즈를 완성했다.이 시리즈에는 몇 가지 오탈자가 있을 뿐 아니라 기술적인 문제들도 있지만, 비그노는 실제와 일반적인 복잡한 분석 사이에 놓여 있는 이론의 주요 선들을 배치하는 데 성공했다.본문은 특히 요소로부터 모범적인 발전으로 학생과 교사를 위한 교훈적인 문서로서 인상적이다.게다가, 전체 소풍은 "에밀 보렐의 기하학과 관련된 것"에 뿌리를 두고 있어서 그 동기를 강조한다.

이레알 변수

1892년 코라도 세그레는 테사린 대수학을 바이콤플렉스 숫자로 회상했다.^[6]자연스레 진짜 테사린의 아발지브라(subalgebra)가 생겨나 이레알 숫자로 불리게 되었다.

1946년 U. Bencivenga는 그가 바이럴 넘버라는 용어를 사용한 이중 숫자와 분할 복합 숫자에 대한 에세이를 출판했다^[7].그는 또한 이레알 변수의 함수 이론 일부를 설명했다.이 에세이는 제프리 폭스가 1949년 자신의 석사학위 논문 '과다복소 변수의 소초함수 이론과 쌍곡면에서의 일치함수 이론'을 집필하면서 브리티시 컬럼비아 대학에서 연구됐다.46페이지에서 Fox는 "벤치벤가는 함수의 파생물이 존재하고 사라지지 않는 지점에서 쌍곡선이 매핑에 보존되는 방식으로 쌍곡면의 함수를 그 자체로 매핑하는 것을 보여주었다"고 보도했다.

G. 폭스는 이레알 변수의 극분해를 계속 제공하며 쌍곡직교성에 대해 논한다.57페이지에서 그가 증명하는 다른 정의에서 출발한다.

정리 3.42 : 두 벡터는 그들의 단위 벡터가 0에서 대각선 중 하나 또는 다른 하나에서 상호 반사되는 경우에만 상호 직교한다.

폭스는 $w{\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$ +${\displaystyle \frac{\beta }{}}$ ${\displaystyle \frac{\beta }{}}$ z +$Δ$에 초점을 맞춘다$.$ $여기$서${\displaystyle \alpha }$ , β ,$displaystyle \alpha$ $z+\delta }}{\gamma z+\$delta $}}}}{\$displaystyle \alpha $,\beta ,\delta }$은 바이럴 상수이다$$.특이점에 대처하기 위해 그는 무한대의 단일 점(73페이지)으로 평면을 확대한다.

기능 이론에 대한 그의 새로운 공헌 중에는 연동된 시스템의 개념도 있다.여우는 그것을 만족스러운 것으로 보여준다.

(a - b)² < k < (a + b)²

하이퍼볼라

z² = a² 및 z - k = b

교차하지 않는다(연동된 시스템을 형성한다).그런 다음 그는 이레알 변수의 이선 변환에 의해 이 특성이 보존된다는 것을 보여준다.

압축

승법 역함수는 미분 기하학의 매핑에 포함시키기 위해 극단적 측정이 취해질 정도로 중요하다.예를 들어, 이 복잡한 평면은 일반적인 복잡한 산수를 위해 리만 구체까지 롤업된다.분할 복합 산술의 경우 구 대신 하이퍼볼로이드를 사용한다.${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$ As with the Riemann sphere, the method is stereographic projection from P = (0, 0, 1) through t = (x, y, 0) to the hyperboloid.L = Pt 라인은 $l{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y}$, 1${\displaystyle }$- s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\s\}$에 의해 파라메트리화 되어 s가 0일 때는 p, s가 1일 때는 t를 통과한다$$.

H ∩ L로부터 그것은 다음과 같다.

${\displaystyle (1-s)^{2}-(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{{o}\cHB s={1+x^{2}-y^{2}}.}$

t가 null 콘에 있는 경우 s = 2 및 (2x, ±2x, – 1) H에 있는 경우, 반대 지점(2x, ±2x, 1)은 null 콘의 반전 이미지인 무한대에서 라이트 콘을 구성한다.

> + 가 있는 t의 경우 ${\displaystyle$ y$^{2}>1+x^{2},}$가 음수라는 점에 유의하십시오.그 의미는 P to t를 통한 백레이가 H에 대한 포인트를 제공한다는 것이다.이러한 점 t는 단위 하이퍼볼라와의 하이퍼볼라 결합점 위와 아래에 있다.

압축은 PR에서³ 균일한 좌표(w, x, y, z)로 완료해야 하며 여기서 w = 1은 지금까지 사용한 아핀 공간(x, y, z)을 명시한다.하이퍼볼로이드 H는 투사 원뿔${\displaystyle }${ ${\displaystyle (w,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \in }$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2$}에 흡수된다.$}}=y^{2}+w^{2}\},$ 콤팩트한 공간이다.

월터 벤츠는 한스 벡 때문에 지도 제작을 통해 콤팩트화를 수행했다.이사크 야글롬은 위와 같이 2단계의 압축을 설명했지만, 하이퍼볼로이드에 접하는 분할 복합 평면을 사용했다.^[8]2015년 엠마누엘로앤놀더는 모터비행기를 토러스(torus)에 먼저 내장한 뒤 대척점을 파악해 투영하는 방식으로 압축 작업을 진행했다.^[9]

참조

• 프란체스코 카토니, 디노 보칼레티, 로베르토 카나타(2008) 수학 민코스키 스페이스-타임, 비르케유저 베를라크, 바젤.7장: 쌍곡선 변수의 함수