멀티봇 세트

수학에서, 멀티봇 집합(Multibrot set)은 복소 평면에 있는 값의 집합으로, 일반 일변량 다항식 ^[1][2][3]재귀 계열의 구성원에 의한 반복 동안 절대값이 유한 값보다 낮게 유지된다.이름은 여러 세트와 만델브로트 세트를 조합한 것입니다.줄리아 세트에도 동일하게 적용할 수 있습니다.이것은 Multijulia 세트라고 불립니다.

${\displaystyle z\mapto z^{d}+c.,}$

여기서 d 2 2 입니다.지수 d는 음수 ^[4]및 분수 값으로 더욱 일반화 될 수 있다.

예^[5][6]

의 경우

${\displaystyle d=2,}$

는 이름 유래의 고전적인 만델브로트 세트입니다.

d의 다른 값에 대한 세트도 복잡한 평면에 프랙탈 영상을^[7] 플롯할 때 표시됩니다.

아래에 표시된 다양한 검정력 d의 각 예는 동일한 척도로 표시됩니다.세트에 속하는 c 값은 검은색입니다.재귀에서 무제한 값을 가지므로 세트에 속하지 않는 c 값은 이스케이프 시간 알고리즘에서 값이 고정된 크기를 초과하게 한 재귀의 수에 따라 등고선으로 표시되는 다른 색으로 표시됩니다.

플러스 파워

예제 d = 2는 원래 Mandelbrot 집합입니다.d > 2 의 예는, 멀티 로봇세트라고 불리는 경우가 많습니다.이러한 세트에는 원점이 포함되며 프랙탈 둘레가 있으며 (d - 1)배 회전 대칭이 있습니다.

z µ2 z + c

z µ3 z + c

z µ4 z + c

z µ5 z + c

z µ6 z + c

z µ96 z + c

z † z96 + c 상세 x 40

네거티브 파워

d가 음수인 경우, 세트는 서라운드 하는 것처럼 보이지만 원점을 포함하지 않습니다.다만, 이것은 이스케이프 타임 알고리즘에 의해서 허가된 고정 최대 반지름의 아티팩트일 뿐이며, 실제로는 구멍이 없는 쉐이프가 중앙에 있는 세트의 제한이 아닙니다(원점 다이버그가 있기 때문에 Lypunov 지수를 사용하면 알 수 있습니다).음의 거듭제곱이 된 원점 {0 또는 0+0i}이(가) 정의되지 않았으므로 정의되지 않은 무한이 아닌 것으로 간주됩니다.)(1 - d)배 회전 대칭을 가진 별 모양의 영역에서 집합과 원점 사이의 등고선에는 흥미로운 복잡한 거동이 있다.세트는 원형 둘레를 가진 것처럼 보이지만 이는 이스케이프 시간 알고리즘에 의해 허용되는 고정 최대 반지름의 아티팩트일 뿐이며 실제로는 무한대까지 모든 방향으로 확장되는 세트의 제한이 아닙니다.

z µ−2 z + c

z µ−3 z + c

z µ−4 z + c

z µ−5 z + c

z µ−6 z + c

분수법

지수를 따라 렌더링

다른 방법은 수직 축을 따라 지수를 렌더링하는 것입니다.이렇게 하려면 실제 값 또는 가상 값을 고정하고 수평 축을 따라 나머지 값을 렌더링해야 합니다.결과 집합은 좁은 열의 원점에서 무한대로 수직 상승합니다.확대하면 복잡성이 증가합니다.첫 번째 눈에 띄는 범프 또는 스파이크는 단면에 전통적인 만델브로트 집합의 위치인 2의 지수에서 볼 수 있다.세 번째 이미지는 실제 축과 가상 축 사이에 45도 각도로 고정된 평면에 렌더링합니다.^[8]

수평 축을 따라 실제 값을, 수직 축을 따라 지수를 사용하여 렌더링되는 멀티브로, 가상 값은 0으로 고정됩니다.

수평 축에 가상 값을, 수직 축에 지수를 사용하여 렌더링되는 멀티봇, 실제 값은 0으로 고정됩니다.

실제 축과 가상 축 사이의 45도 각도의 평면을 따라 수직 축에 지수를 사용하여 렌더링되는 멀티봇입니다.

이미지 렌더링

위의 모든 영상은 세트 외부의 점을 간단한 방법으로 식별하는 이스케이프 시간 알고리즘을 사용하여 렌더링됩니다.아래 예에서 보듯이 랴푸노프 ^[9]지수를 표시하면 훨씬 더 큰 프랙탈 디테일이 드러납니다.랴푸노프 지수는 주어진 시퀀스의 오차 증가율입니다.먼저 N번의 반복으로 반복 시퀀스를 계산한 다음, 다음과 같이 지수를 계산합니다.

$\displaystyle \mathbda =\lim _{N\to\infty}{\frac {1}{N}}\ln \mathbf {z}$

그리고 지수가 음수이면 수열은 안정적입니다.그림의 흰색 픽셀은 지수가 양의 불안정한 파라미터 c입니다.색상은 궤도가 끌어당기는 주기의 주기를 나타낸다.진한 파란색(바깥쪽)으로 표시된 모든 점은 고정점에 의해 유인되고, 가운데 파란색(더 밝은 파란색)으로 표시된 모든 점은 주기 2 사이클 등에 의해 유인됩니다.

유사 코드

화면에 각 픽셀에 대하나 화소는 y의x0=-1co-ordinate =)주안 알고리즘 ===================== ESCAPE y0 = yco-ordinate의 픽셀 반복:=0max_iteration:=1000는 동안(x*x+y*y ≤(2*2)와 반복<>max_iteration니/* INSERTCODE(S)FOR Z^d 도난 TABLE BELOW*/반복:)반복+.1반복 = max_color이면 색상 : = 검정색, 그렇지 않으면 색상 : = 반복 플롯(x0, y0, color)

복소수 값 z는 복소 평면에 좌표(x,y)를 가지며 이 표에 표시된 코드에 의해 반복 루프 내부의 다양한 거듭제곱으로 상승합니다.표에 나와 있지 않은 전력은 표시된 코드를 연결하여 얻을 수 있습니다.

z−2	z−1	z2 (Mandelbrot 세트의 경우	z3	z5	zn
d=x^4+2*x^2*y^2+y^4 assert d != 0 xtmp = (x^2-y^2)/d+a y = -2*x*y/d+b x = xtmp	d=x^2+y^2 assert d != 0 x = x/d + a y = -y/d + b	xtmp=x^2-y^2 + a y=2*x*y + b x=xtmp	xtmp=x^3-3*x*y^2 + a y=3*x^2*y-y^3+b x=xtmp	xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4+a y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5+b x=xtmp	xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x))+a y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x))+b x=xtmp

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