만델구

만델불브는 3차원 프랙탈로 1997년 쥘 루이스에 의해 처음으로 제작되었으며 2009년 다니엘 화이트와 폴 나이랜더가 구면 좌표를 사용하여 추가로 개발했다.

복소수 2차원 공간의 3차원 아날로그가 없기 때문에 표준 3차원 만델브로트 집합은 존재하지 않는다.4차원 만델브로트 세트는 사분위수 및 복소수를 사용하여 구성할 수 있습니다.

흰색과³ ${\displaystyle \mathrm{나이랜더}}$의 벡터 v ${\displaystyle =⟨x}$ , ${\displaystyle y}$ , z$$ { displaystyle \$mathbf {$v } = \ $displayle$x ,$y$ ,$z$ \ $rangle }$의 "n제곱" 공식은 다음과 같다.

$\displaystyle \mathbf {v}^{n}\cos(n\theta)\cos(n\phi),\sin(n\theta)\sin(n\phi),\cos(n\theta)\rangle,$

어디에

${\displaystyle r=syslogrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle \phi =\arctan {frac {y} {x} =\display(x+yi),}$

$\displaystyle \theta =\arctan {frac {x^{2}+y^{2}}}}{z}=\arccos{frac{z}{r}}.}$

그 후 만델벌브는$$δ의³ $c\$displaystyle \$mathbf${$c$$}$의 세트로 정의되며, 이 $경우{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$({$displaystyle \langle$ 0$, 0$, 0$\rangle$}의$$ 궤도는 v${\displaystyle {}^{}†}$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ +$$c \$displaystyle \mathbf {v} \map$ {$n}$의 \stylangle {n}에서 0${\displaystyle ,}$ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\rangle}의 세트로 정의됩니다.n > 3의 경우, 결과는 프랙탈 표면 디테일과 n에 따른 다수의 "lobe"를 가진 3차원 전구 구조입니다.그래픽 렌더링의 대부분은 n = 8을 사용합니다.그러나 n이 홀수일 경우 방정식을 유리 다항식으로 단순화할 수 있습니다.예를 들어, n = 3인 경우, 세 번째 거듭제곱을 보다 우아한 형태로 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle x,y,z\rangle ^{3}=\left\laple {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}}},{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2}y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2}}\right\rangle.$

위의 공식에 의해 주어진 만델벌브는 실제로 다음과 같이 주어진 매개변수 (p, q)에 의해 주어진 프랙탈 계열의 하나이다.

$\displaystyle \mathbf {v}^{n}\cos(p\theta)\cos(q\phi),\sin(p\theta)\sin(q\phi),\cos(p\theta)\rangle.}$

항등식ⁿ v = v를 유지하기 위해 p와 q가 반드시 n과 같을 필요는 없으므로, 보다 일반적인 프랙탈을 설정함으로써 찾을 수 있다.

$(\displaystyle \mathbf {v}^{n}{\big\sin (\theta,\phi){\big}\cos (\theta,\phi}{\big}),\sin (\sin)$

f 및 g의 경우.

입방정식

다른 공식은 다음과 같은 제곱합에 대한 거듭제곱을 제공하기 위해 제곱합을 모수로 하는 항등식에서 나옵니다.

$({displaystyle (x^{3}-3xy^{2}-3xy^{2})^{2}+(y^{2}+yz^{2})^2}+(z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}^2}^2}^2}=(x^{2}-3xy^{2})^2}+{2}^2}^2}+{2}^2}^2}^2}^{2}^{{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}$

세 개의 숫자를 큐브해서 계수를 세제곱하는 방법이라고 생각할 수 있습니다.예를 들어, 이것은

$(\displaystyle x\to x^{3}-3x(y^{2}+z^{2})+x_{0})$

${\displaystyle y\to -y^{3}+3yx^{2}-yz^{2}+y_{0}}}$

${\displaystyle z\to z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}+z_{0}}}$

또는 다른 순열.

이는 z ${\displaystyle =}$ $0일{\displaystyle }$ 때 ${\displaystyle {w\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$3 + w 0 {\$displaystyle$w\to w$^{3$$}+$$w_{0}}$이고 y = ${\displaystyle {0일}^{\mathrm{}}}$ 때 w ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}^{}}$ w w 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle$ w$\to$ {$w}+w_{0}}$의 복잡한 $프랙탈$로 ${\displaystyle {}^{}}$합니다.

이러한 2개의 "입방체" 변환을 조합하여 약간 더 구조적인 power-9 변환을 얻을 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다.

5차 공식

입방체 대칭을 가진 만델벌을 만드는 또 다른 방법은 일부 정수 m에 대해 복잡한 반복 $공식{\displaystyle }$ z ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{4m}}^{}}$+${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$z\$to$ z$^{4m+1}+z_{0}$을 취하고 3차원에서 대칭이 되도록 항을 추가하여 단면을 동일한 2차원 프랙탈로 유지하는 것이다.(4는 ${\displaystyle {i4\mathrm{}}^{}}$ $=$ $({displaystyle$ i$^{4$}=$1}).$ $예$를 들어 z ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}{5\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$0({$displaystyle$ z$\to$ z$^{5}+z_{0$의 경우입니다.${\displaystyle \mathrm{2차원}}$에서는 z$=$ x + ${\displaystyle i}$y {$displaystyle$ z=x$+iy$입니다.

${\displaystyle x\to x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+x_{0}}$

${\displaystyle y\to y^{5}-10y^{3}x^{2}+5yx^{4}+y_{0}.}$

그 다음 3차원으로 확장하여 다음과 같은 효과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle x\to x^{5}-10x^{3}(y^{2}+Ayz+z^{2}+By^{3}z^{4}+5x(y^{4}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2}yz(y+z)+x_{0}$

$(\displaystyle y\to y^{5}-10y^{3}(z^{2}+Axz+x^{2}+Bz^{3}x{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2}zx(z+x)+y_{0}$

${\displaystyle z\to z^{5}-10z^{3}(x^{2}+)Axy+y^{2}+5z(x^{4}+Bx^{3}y+Cx^{2}y^{2}+Bxy^{3}+y^{4}+Dz^{2}xy(x+y)+z_{0})$

다른 Mandelbulbs(일반적으로 0으로 설정됨)를 제공하는 임의 상수 A, B, C 및 D에 대한 값입니다.$케이스{\displaystyle }$ z ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ $({$})는 첫 번째 예시와 가장 유사한 Mandelbulb를 제공합니다. 여기서 n = 9. $공식{\displaystyle }$ z ${\displaystyle \to }$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$0({$style$ z$\to$ - z$^5}+z_{0$에 기초하여 5제곱의 결과를 얻을 수 있습니다.

9승 공식

이 프랙탈은 멱-9 만델브로트 프랙탈의 단면을 가지고 있다.주구로부터 32개의 작은 구근이 돋아나고 있다.예를 들어 다음과 같이 정의됩니다.

$({displaystyle x\to x^{9}-36x^{7}(y^{2}+z^{2})+sqx^{5}(y^{2}+z^{2})^2}^{3}(y^{2}+z^{2})^3}(y^{2}+9x(y^{2}+z^{2})^0})^4}^4})^0}^2}^2}_{5})$

$({displaystyle y\to y^{9}-36y^{7}(z^{2}+x^{2})+sy^{5}(z^{2}+x^{2})^2}^{2}-84y^{3}(z^{2}+x^{2})^3}+9y(z^{2}+x^{2})^0}^4})^0}^0}}_y}^5}}}}_y{5}$

$({displaystyle z\to z^{9}-36z^{7}(x^{2}+y^{2})+sqz^{5}(x^{2}+y^{2})^2}^{3}(x^{2}+y^{2})^3}{3}+9z(x^{2}+y^{2})^0}^4})^0}z}^0}}}}_z}}}_0}_0}.}$

이러한 공식은 보다 짧은 방법으로 기술할 수 있습니다.

${\displaystyle x\to {1}{2}\left(x+i440rt {y^{2}+z^{2}\right)^{9}+{\frac {1}{2}\left(x-i440rt {y^{2}+z^{2}}\right)^9}+{0}\left(x0})}}$

다른 좌표에 대해서도 마찬가지입니다.

구면 공식

완벽한 구면 공식은 공식으로 정의될 수 있다.

${{displaystyle(x,y,z)\to{big(}f(x,y,z)+x_{0},g(x,y,z)+z_{0}{\big}}},$

어디에

${{displaystyle(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}=f(x,y,z)^{2}+g(x,y,z)^{2}+h(x,y,z)^{2}$

여기서 f, g 및 h는 n제곱 유리 삼위일체이고 n은 정수입니다.위의 입방정 프랙탈이 그 예입니다.

미디어에서의 사용

• 2014년 컴퓨터 애니메이션 영화 '빅 히어로 6'에서 클라이맥스는 만델불의 ^[2][3]스타일화된 내부로 표현되는 웜홀의 중간에서 일어난다.
• 2018년 공상과학 공포영화 '절멸'에서 외계 생명체가 부분 만델불 ^[4]형태로 등장한다.
• 웹툰에서 연석의 영혼 영역은 양식화된 황금 만델불로 표현됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 만델박스
• 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록

레퍼런스

6. http://www.fractal.org Jules Ruis의 프랙탈 내비게이터

외부 링크

Wikimedia Commons에는 Mandelbulb와 관련된 미디어가 있습니다.

• www.fractal.org 웹사이트에서 Mandelbulb 공식의 최초 사용을 위해 Jules Ruis
• 만델 벌브:Daniel White의 웹사이트에 있는 The Unlavelling of the Real 3D Mandelbrot Frackal
• Paul Nylander의 웹사이트에 있는 Mandelbulb의 여러 변형입니다.
• Mandelbulb의 이미지를 만드는 데 사용할 수 있는 오픈 소스 프랙탈 렌더러
• Jules Ruis의 Mandelbulb/Juliusbulb 공식
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb(실제 3D 객체의 예)
• 비디오 : Mandelbulb의 외관
• 비디오: Mandelbulb. 3D 프랙탈 애니메이션 탐색
• Mandelbulb로 이어진 Fractalforums.com의 토론 스레드
• 애니메이션 만델불 세계의 비디오 비행