통합 폐쇄 도메인

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

정류 대수에서, 통합적으로 닫힌 영역 A는 분수 영역의 일체형 폐쇄가 A 그 자체인 통합 영역이다.스펠링으로 표현하면, 이는 x가 A에 계수가 있는 단항 다항식의 뿌리인 A의 분수 영역의 요소라면, x는 그 자체가 A의 요소라는 것을 의미한다.잘 연구된 많은 도메인은 통합적으로 폐쇄된다. 필드, 정수 Z의 링, 고유한 인수 도메인 및 일반 로컬 링은 모두 통합적으로 폐쇄된다.null

통합적으로 닫힌 도메인은 다음 클래스 포함 체인에 표시된다는 점에 유의하십시오.

rngs ⊃ rings ⊃ commutative ring ⊃ 적분 도메인 ⊃ 통합적으로 폐쇄된 도메인 ⊃ GCD 도메인 ⊃ 고유 인자화 도메인 ⊃ 주요 이상 도메인 ⊃ 유클리드 도메인 ⊃ 필드 ⊃ 대수적으로 폐쇄된 필드 fields.

기본 속성

A를 분수 K의 영역과 통합적으로 폐쇄된 영역으로 하고 L을 K의 영역 확장으로 한다.만약 그것이 K에 대해 대수학이고 그것의 최소 다항식이 A에 계수를 갖는 경우에만 x onlyL은 A에 대해 통합된다.^[1]특히 이것은 A에 대한 L의 어떤 요소도 K[X]에서 해독할 수 없는 A[X]의 단항 다항식의 뿌리라는 것을 의미한다.null

A가 필드 K에 포함된 도메인이라면, 우리는 A in K의 일체형 폐쇄(즉, A에 대해 일체형인 K의 모든 요소의 집합)를 고려할 수 있다.이 일체형 폐쇄는 통합적으로 폐쇄된 영역이다.null

통합적으로 폐쇄된 영역도 Go-down 정리 가설에서 역할을 한다.정리는 A⊆B가 도메인의 통합 확장이고 A가 통합적으로 폐쇄된 도메인인 경우, go-down 속성은 확장 A⊆B를 보유한다고 명시한다.null

예

다음은 통합적으로 닫힌 도메인이다.null

• 주 이상적인 도메인(특히, 정수 및 모든 필드).
• 고유한 인수 도메인(특히 필드 위에 있는 다항식 링, 정수 위에 있는 링 또는 고유한 인수 도메인 위에 있는 링)
• GCD 도메인(특히 모든 Bézout 도메인 또는 평가 도메인).
• 디데킨드 도메인.
• 한 필드에 대한 대칭 대수(모든 대칭 대수학은 한 필드에 걸쳐 여러 변수에서 다항식 링에 대해 이형성이기 때문에).
• $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$을(를) ${\displaystyle 2}$가 아닌 특성 필드로 하고$$ $S{\displaystyle }$= k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S=k[x_{1},\dots ,x_{n}}}}$ 위에 있는$$ 다항식 링이 되도록 한다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가$)$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 정사각형이 없는 ${\displaystyle \mathrm{비정규}}$ 다항식인 경우, $S{\displaystyle }$[ y ${\displaystyle ]}$ /${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- f )${\displaystyle$ S$[y]/(y^{2}-f)}$은 통합적으로 닫힌 도메인이다$$.^[2]특히 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$$,$ ${\displaystyle \dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ + ⋯${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle k[x_{0},\dots,x_{r}]/(x_{0}^{$0}^{0}^{0$}+}+\$$x_$${r}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}$는 r$}$2}이(으)이면 통합적으로 닫힌 도메인이다$.$^[3]

예를 들어, $k$를 필드로 ${\displaystyle {하고\mathrm{}}^{}}$ A = k [ t 2,${\displaystyle }$t ${\displaystyle 3{}^{}{}^{}}$] ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ [ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}}}($A는² t와³ t에 의해 생성된 하위 게이지브라임)로 한다.^[4]A는 통합적으로 닫히지 않음: 분수 $k{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle k(t)}$의 필드를 가지며$,$ 변수 X의 단일 다항식 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}:$$A에는 없지만 분수 영역에 있는 루트 t를 가진다.이는 평면 곡선 $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= X ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ Y$^{2}=X^{3}}$의 원점에 특이점이 있다는$$ 사실과 관련이 있다.null

Another domain which is not integrally closed is ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$; it does not contain the element ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ of its field of fractions, which satisfies the monic polynomial ${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$.

노메테리아 통합 폐쇄 도메인

차원 1의 노메테리아 로컬 도메인 A의 경우, 다음과 같다.null

• A은(는) 일체적으로 폐쇄되어 있다.
• A의 최대 이상은 원리다.
• A는 별개의 가치평가 고리(동일하게 A는 데데킨드)이다.
• A는 보통의 지역 반지 입니다.

A를 노에테리아의 필수 영역이 되게 하라.Then A is integrally closed if and only if (i) A is the intersection of all localizations ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ over prime ideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ of height 1 and (ii) the localization ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ at a prime ideal ${\displaystyle {\mathfra$$키$ 1의$$k{$p}}$는 별개의 가치평가 링이다.null

노에테리아 링은 통합적으로 폐쇄된 도메인인 경우에만 크롤 도메인이다.null

비노메테리아 설정에서, 통합 영역은 그것을 포함하는 모든 가치 평가 링의 교차점일 경우에만 통합적으로 닫힌다.null

노멀 링

세레, 그로텐디크, 마츠무라 등의 저자들은 정상적 고리를 최고의 이상에서 지역화가 통합적으로 폐쇄된 영역인 링이라고 정의한다.이러한 반지는 반드시 축소된 반지로,^[5] 이것은 정의에 포함되는 경우도 있다.일반적으로 A가 최대 이상에서의 지역화가 모두 도메인인 노메테리아 링이라면, A는 도메인의 유한 생산물이다.^[6]특히 A가 노메테리아인 일반 링이라면 제품 내 도메인은 통합적으로 폐쇄된 도메인이다.^[7]반대로, 통합적으로 폐쇄된 도메인의 유한한 생산물은 정상이다.특히 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$이(가) noetherian, 정상이고 연결된 경우 A는 통합적으로 닫힌 도메인이다.(cf. smooth variable)

A를 노메트리안 반지가 되게 하라.그렇다면 (세르의 기준) A는 다음과 같은 경우에 한하여 정상이다: 모든 주요 $이상적{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\${\$mathfrak{p$

1. $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 높이가 $\le {\displaystyle }$1 {\$displaystyle \leq$ 1$\}$인 경우, A$$p {\$displaystyle$$A_${\$mathfak{p}}}$은(즉, A ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ 개별 평가 링이다.
2. $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 높이가 $\ge {\displaystyle }$2 {\$displaystyle \geq 2$인 경우, A$$p {\$displaystyle A_${\$mathfrak$ {p$}}$의 ${\displaystyle \mathrm{깊이}}$는 $\ge {\displaystyle }$ 2 ${\displaystystyle \geq$ 2$}$이다$.$^[8]

항목 (i)은 종종 "코디멘션 1의 정규"로 표현된다.주($i$)는 연관된 prime $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle Asss$$(A$$)}$의 집합에 포함된 prime이 없음을$$ 의미하며, (${\displaystyle i}$)가 있는 경우, (${\displaystyle \mathrm{ii})}$는 비-zerodivisor f에 대한$prime$이 $없음$을 의미한다$.$특히 코헨-매컬레이 링은 (ii)를 만족시킨다.기하학적으로, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다: X가 비정규적인 종류의 국소적인 완전한 교차로인 경우,^[9] 예를 들어 X 자체가 비정규적인 경우, X는 Cohen-Macolay이다. 즉, 구조의 줄기$$ O ${\displaystyle p_{}}$ ${\$p}{\$displaystystyle {\mathcal{O}_{p}}}}}}$는 모든 주요 이상 p에 대한 Cohen-Macolay이다.그러면 우리는 다음과 같이 말할 수 있다: X는 만약 그것이 코디멘션 1에서 규칙적이면 (즉, 그것의 구조 피복의 줄기는 모두 정상이다.

완전히 통합적으로 닫힌 도메인

A는 도메인이 되고 K는 그 분수 분야로 하자.An element x in K is said to be almost integral over A if the subring A[x] of K generated by A and x is a fractional ideal of A; that is, if there is a ${\displaystyle d\neq 0}$ such that ${\displaystyle dx^{n}\in A}$ for all ${\displaystyle n\geq 0}$.그 후 K의 거의 일체적 요소들이 모두 A에 포함되어 있으면 A는 완전히 일체적으로 폐쇄된다고 한다.완전히 통합적으로 닫힌 도메인은 통합적으로 닫힌다.반대로, 통합적으로 폐쇄된 노메테리아 도메인은 완전히 통합적으로 폐쇄된다.null

A가 완전히 통합적으로 폐쇄되었다고 가정합시다.그러면 정식 파워 시리즈 링 $A{\displaystyle }$[${\displaystyle }$[ X $]$ {\$디스플레이$ ${\displaystyle \mathrm{스타일}}$ A$[[X]]}$이(가$$) 완전히 통합적으로 닫힌다.^[10]이는 아날로그가 통합적으로 닫힌 도메인에 대해 거짓이기 때문에 중요하다. 즉, R은 최소 2(통합적으로 닫힌) 높이의 평가 영역이 되도록 한다.그러면 $R{\displaystyle }$[${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[X]]}$이(가) 통합적으로 닫히지 않는다$$.^[11]L을 K의 필드 익스텐션으로 하자.그러면 L에서 A의 일체형 폐쇄는 완전히 통합적으로 폐쇄된다.^[12]null

통합 도메인은 A의 분할자 모노이드인 경우에만 완전히 통합적으로 폐쇄된다.^[13]null

Krull 도메인을 참조하십시오.null

시공 시 "통합 닫힘"

다음 조건은 통합 도메인 A에 대해 동일하다.

1. A은(는) 통합적으로 폐쇄된다.
2. A_p(p에 대한 A의 국산화)는 모든 주요 이상 p에 대해 통합적으로 폐쇄된다.
3. A는_m 모든 최대 이상 m에 대해 통합적으로 폐쇄된다.

1 → 국산화 시 적분 폐쇄의 보존 즉시 결과 2개, 2 → 3은 사소한 것, 3 → 1은 국산화 시 적분 폐쇄의 보존에 따른 결과, 국산화 정확성 및 A-모듈 M이 모든 최대 이상에 대한 국산화일 경우에만 0이 되는 속성이다.null

대조적으로, Z[t]/(t²+4)는 통합적으로 닫히지 않기 때문에 "통합 폐쇄"는 인수를 통과하지 않는다.null

완전히 통합적으로 폐쇄된 영역의 지역화는 완전히 통합적으로 폐쇄될 필요는 없다.^[14]null

통합적으로 폐쇄된 도메인의 직접적인 한계는 통합적으로 폐쇄된 도메인이다.null

통합적으로 닫힌 도메인의 모듈

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2013년 2월)

A를 통합적으로 폐쇄된 노메테리아 도메인이 되게 하라.null

A의 이상적인 I은 A/I의 모든 관련 프라임이 키가 1인 경우에만 분기가 된다.^[15]null

P는 키가 1인 A의 모든 주요 이상을 나타내도록 하자.T가 미세하게 생성된 비틀림 모듈인 경우 다음 사항을 넣는다.

${\displaystyle \chi }$( T${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sum _{}}$ p ${\displaystyle {\mathrm{길이}}_{}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle T}$) p ${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in$ P$}\operatorname {length} _{p}(T)p}$,

형식적인 금액으로 이치에 맞는 것, 즉 디비저.d의 divisor 클래스에$$ $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle$c($d)}$을(를) 쓴다.If ${\displaystyle F,F'}$ are maximal submodules of M, then ${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$^[16] and ${\displaystyle c(\chi (M/F))}$ is denoted (in Bourbaki) by ${\displaystyle c(M)}$.

참고 항목

• 유니브란치 로컬 링

인용구

참조