직교 궤적

수학에서 직교 궤적은 곡선이며, 직교 곡선의 주어진 연필의 곡선과 직교한다.

예를 들어, 동심원 연필의 직교 궤적은 공통 중심을 통과하는 선이다(도표 참조).

직교 궤도를 결정하기 위한 적절한 방법은 미분방정식을 풀어서 제공한다.표준방법은 제1순서의 통상적인 미분방정식을 확립하여 변수의 분리에 의해 해결한다.두 단계 모두 어렵거나 심지어 불가능할 수도 있다.이런 경우에는 수치적 방법을 적용해야 한다.

직교 궤도는 수학에서 예를 들어 곡선 좌표계(즉 타원 좌표)로 사용되거나 물리학에서 전기장과 등전위 곡선으로 나타난다.

궤적이 임의(그러나 고정된) 각도로 주어진 곡선과 교차하면 등각 궤적을 얻게 된다.

직교 궤적 결정

데카르트 좌표

일반적으로 곡선의 연필은 방정식에 의해 암시적으로 주어진다고 가정한다.

(0) ${\displaystyle :\ F(x,y,c)=0,\qquad }$ 1. example ${\displaystyle :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad }$ 2. example ${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) 연필의 매개 변수다.만약 연필이 $방정식{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle$ y$=f(x,$c$)\}$에 의해 명시적으로 주어진다면, 그 표현을 $y{\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y-f(x,c)=0}$로 바꿀 수 있다$.$ 아래 고려사항에는 필요한 모든 파생상품이 존재한다고 여겨진다.

1단계

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 수익률에$$ 대해 암시적으로 구분

(1)${\displaystyle }$: F ${\displaystyle x{}_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, c${\displaystyle }$) ${\displaystyle y{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 0}$, ${\$$F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad }$의 예$:{\displaystyle }$ ${\displaystyle 2\text{x}\mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= 0${\displaystyle \text{,}}$ ${\$ 2$$. 예$:{\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{y}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 0\text{.}}$ ${\displaystystyle$ : 2x$=0.$

2단계

이제 그러한 방정식(0)은 변수 c ${\displaystyle c}$에 대해 풀 수 있으며$,$ 따라서 방정식 (1)에서 제거할 수 있다고 가정한다.첫 번째 순서의 미분 방정식을 얻는다.

(2) ${\displaystyle :\ y'=f(x,y),\qquad }$ in 1. example ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$ 2. example ${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

주어진 곡선의 연필에 의해 충족된다.

3단계

한 점$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle(x,y)}$에서 직교 궤적의 기울기는 이 점에서 주어진 곡선의 기울기의 음수 승법 역행이기 때문에 직교 궤적은 첫 번째 순서의 미분 방정식을 만족한다.

(3) ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$ in 1. example ${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$ 2. example ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

4단계.

이 미분 방정식은 적절한 방법으로 (희망적으로) 풀 수 있다.
두 가지 예 모두 변수의 분리가 적합하다.해결책은 다음과 같다.
예$$ 1에서 $y{\displaystyle }$= m ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle m\mathbb{}}$∈ R ${\$\m\in \$mathb {R}$및
예를 들어, 타원 x + = > 0 ${\displaystyle$ x$^{2}+2y^{2}=d,\>0\ .}$

극좌표에서

원곡선의 연필이 극좌표로 암시적으로 표시되는 경우

(0p)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{F}}$( ${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

데카르트 사례와 마찬가지로 매개변수 자유 미분방정식을 결정한다.

(1p)${\displaystyle }$: ${\displaystyle F_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$( r ,${\displaystyle \phi }$, c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$( r ,${\displaystyle \phi }$, c${\displaystyle }$)${\displaystyle {}^{}\phi }$= ${\displaystyle 0}$, ${\$$F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2p) :${\displaystyle \text{φ}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle f}$( r ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle :\\varphi '=f(r,\varphi )}$

연필의직교 궤도의 미분방정식은 다음과 같다(Redheffer & Port 65, Heuser, 120 참조).

(3p) :${\displaystyle \text{φ}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{f\mathrm{}}^{}}{}}$( r ,${\displaystyle \frac{\phi }{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$. ${\displaystyle :\varphi '=-{\frac {1}{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}\ .}$

예: 흉부외과:

(0p): ( )= - c( + ⁡)= > ${\$ $displaystyle :\ F(r,\\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\\}($도표: 파란색)

(1p)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{F}{}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$( ${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \phi }$, c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$( ${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \phi }$, c${\displaystyle }$) +${\displaystyle {}^{}sin{}^{}}$ =${\displaystyle }$1${\displaystyle }$+ c ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin 1}$ ${\displaystyle 0}$ , {\$displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)++$$F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \\varphi '=0,\qquad }}$

$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 제거하면 해당 연필의 미분 방정식이 생성된다$$.

(${\displaystyle 2p\frac{\mathrm{}}{}}$) :${\displaystyle \text{φ}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }$- 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ sin φ ${\displaystyle \frac{\phi }{}}$ ${\displaystyle \frac{\{}{}}${ {\$displaystyle :\varphi '=-{\frac$ {$1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}}}}}$

따라서 직교 궤도의 미분 방정식은 다음과 같다.

(3p) :${\displaystyle \text{φ}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{r}}{}}$( 1 +${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\phi }{}}$) ${\$

변수의 분리에 의해 이 미분 방정식을 푼 후 얻는다.

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

이것은 주어진 연필과 대칭인 심근경색체(도표에서 빨간색)의 연필을 묘사한다.

등각 궤적

일정한 각도 $[\displaystyle \alpha }$에 의해 (평면) 곡선의 주어진 연필의 곡선과 교차하는 곡선을 이등 궤도라고 한다$$.

점(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)$${\$displaystyle (x, y)}$에서 이등 궤적의 기울기$$ ${\$과(와) 연필 원곡선의$$ $기울기{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 사이의 관계는$$ 다음과 같다$.{\displaystyle }$

${\displaystyle \eta '=\frac {y'+\tan(\tan)(\tan)(\flair )}{1-y'\tan(\flair )}\}$

이러한 관계는 ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$tan${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$+ $){\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$의 공식에 기인한다${\displaystyle .<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash tan(\backslash alpha\; +\backslash beta\; )\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2d6d0bb50140d08a2645192eba48649781fdbf80"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:10.829ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="102">}$ $\alpha {\displaystyle }$ → ${\displaystyle {90}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$의 경우 직교 궤도에 대한 조건을 얻는다.

등각 궤적을 결정하기 위해 위 지침의 3. 단계를 조정해야 한다.

3. 스텝 (Isog. traj.)

이등 궤적의 미분 방정식은 다음과 같다.

• (3i)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{y}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle f\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$, ${\displaystyle \frac{y}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{태닝}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{(}{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle \frac{1}{}}$- f${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$, ${\displaystyle \frac{y}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{태닝}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$. ${\displaystyle :\\\\frac${f$(x$,y$)+\tan(\{)}{1-f(x,y)\tan(\}}\}}}}.}}$

1. 예(집중원)와 각도 $\alpha {\displaystyle }$= 45 ${\$의 경우, 1은$$ 얻는다.

(3i)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{y}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{x}{}}$/ ${\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{x}{}}$/ ${\displaystyle \frac{y}{}\frac{}{}}$. ${\displaystyle :\$ y$'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}\ .}$

이것은 특수한 종류의 미분방정식으로, 치환 $z{\displaystyle }$= y${\displaystyle }$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z=y/x}$에 의해 미분방정식으로 변형될 수 있으며, 변수의 분리로 해결할 수 있다.치환법을 뒤집은 후 다음과 같은 용액의 방정식을 얻는다.

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}+{1}{1}{1}{1}:{2}}:\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

극좌표를 도입하면 간단한 방정식이 나온다.

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\,}$

로그 나선형(s. diagram)을 기술한다.

수치적 방법

궤도의 미분방정식을 이론적 방법으로 해결할 수 없는 경우에는, 예를 들어 룬게-쿠타 방식으로 수치로 풀어야 한다.

참고 항목

• 카시니 타원형
• 콘포칼로리 원뿔 단면
• 궤적
• 아폴로니아계, 모두 서로 직교하는 원의 한 쌍.

참조

• A. 제프리: 고등 공학 수학, 하트코트/학술 출판사, 2002, ISBN0-12-382592-X, 페이지 233.
• S. B. Rao: 미분방정식, University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6, 페이지 95.
• R. M. 레더퍼, D.포트: 미분 방정식: 이론과 응용, 존스 & 바틀렛, 1991년 ISBN 0-86720-200-9, 페이지 63.
• H. Houser:게웨인리히 차동글리칭겐, 비에베그+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, 페이지 120.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Ordinary Differential Equations, Dover Books on Mathematics, Courier Dover, p. 115, ISBN 9780486134642.

외부 링크

• 직교 궤적 탐색 - 사용자가 곡선 패밀리와 직교 궤적을 그릴 수 있는 애플릿.
• 산술 곡선: 필드 라인, 직교 라인, 이중 직교 시스템