미분방정식의 전동열해석

수학에서, 파워 시리즈 방법은 특정한 미분 방정식에 대한 파워 시리즈 솔루션을 찾는 데 사용된다. 일반적으로 그러한 용액은 계수를 알 수 없는 전력 열을 가정하고 그 용액을 미분 방정식으로 대체하여 계수에 대한 재발 관계를 찾는다.

방법

2차 선형 미분 방정식 고려

a_{2}(z)f"(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.

모든 2

z

에 대해 a가 0이 아니라고 가정하십시오. 그러면 우리는 전체로 나누어 얻을 수 있다.

f'+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)f=0.

또한 1

a

/

a

와₂₀ a

/ a

가₂ 분석 기능이라고 가정하자.

파워 시리즈 방법은 파워 시리즈 솔루션 구축을 필요로 한다.

f=\sum _{k=0}^{\infit }A_{k}z^{k}.

만약 $a$ 가₂ $일부$ z에 대해 0이라면, 이 방법에 대한 변화인 프로베니우스 방법은 소위 "가수적 점"을 다루는데 적합하다. 이 방법은 시스템뿐만 아니라 고차 방정식에도 유사하게 작용한다.

사용 예

헤르미트 미분 방정식을 봅시다.

f'-2zf'+\disda f=0;\;\displayda =1

우리는 시리즈 솔루션을 구축해 볼 수 있다.

{\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\f'&=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}\\f''&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}\end{aligned}}

이러한 값을 미분 방정식에서 대체

{\begin{aligned}&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0\\=&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\end{aligned}}

첫 번째 합으로 전환하기

{\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{{k=1}^{\inful }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{k=1}^{k}+}+A_{0}+\sum _{k=1}^{{k}z^{k}\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infit }\좌측(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\오른쪽)z^{k}\end{aigned}}

이 시리즈가 솔루션인 경우 이 모든 계수는 0이어야 하므로 k=0과 k>0 모두에 대해:

(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0

$A$ 에_k+2 대한 재연계를 위해 이것을 재배열할 수 있다.

(k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}}

A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}}

이제, 우리는

A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \{1 \over 6}A_{1}:{1

초기 조건, 즉 초기 가치 문제가 있는지 여부를 A와₀ A를₁ 결정할 수 있다.

그래서 우리는

{\reasoned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\왼쪽({1 \over 4}\오른쪽)\왼쪽({-1 \over 2}\오른쪽)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\왼쪽({1 \over 4}\오른쪽)\왼쪽({1 \over 6}\오른쪽)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\왼쪽({7 \over 30}\오른쪽)\왼쪽({-1 \over 8}\오른쪽)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\왼쪽({3 \over 14}\오른쪽)\왼쪽({1 \over 24}\오른쪽)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{arged}}

그리고 시리즈 해결책은

{\displaystyle {\regated}f&=A_{0}z^{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}}+A_{5}z^{5}}}+{5}z^{5}}+}+}+}++A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \{ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

두 개의 선형 독립 시리즈 솔루션의 합으로 나눌 수 있다.

(\displaystyle f=A_{0}\왼쪽(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++A_{1}\왼쪽(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)}}

초기하학 영상 시리즈를 사용하면 더욱 단순화할 수 있다.

Taylor 시리즈를 사용하는 더 간단한 방법

확장의 테일러 시리즈 형식을 사용하여 이 방정식(및 일반적으로 파워 시리즈 솔루션)을 해결하는 훨씬 간단한 방법. 여기서 우리는 답은 형식이라고 가정한다.

f=\sum _{k=0}^{\infit }{A_{k}z^{k}{k} \over {k!}}

이렇게 하면 계수에 대한 반복 관계를 얻기 위한 일반적인 규칙은 다음과 같다.

y^{[n]}\to A_{k+n}

그리고

x^{m}y^{[n]}\to (k-1)\cdots (k-m+1)A_{k+n-m}

이 경우 헤르미트 방정식을 더 적은 단계로 해결할 수 있다.

f'-2zf'+\disda f=0;\;\displayda =1

된다

A_{k+2}-2kA_{k}+\lambda A_{k}=0

또는

A_{k+2}=(2k-\lambda )A_{k}}

연속해서

f=\sum _{k=0}^{\infit }{A_{k}z^{k}{k} \over {k!}}

비선형 방정식

파워 시리즈 방법은 유연성은 떨어지지만 특정 비선형 미분방정식에 적용할 수 있다. 매우 큰 종류의 비선형 방정식은 파커-소차키 방법을 사용하여 분석적으로 해결할 수 있다. 파커-소차키 방법은 보조 방정식을 통한 일반 미분 방정식의 원래 계통의 확장을 수반하기 때문에 단순히 동력 직렬 방식이라고만 할 수 없다. 파커-소차키 방법은 파워 시리즈 방법 이전에 수행되어 많은 비선형 문제에서 파워 시리즈 방법을 가능하게 한다. ODE 문제는 등가의 대형 시스템에 대해 파워 시리즈 방법을 사소한 것으로 만드는 보조 변수로 확장될 수 있다. 보조 변수로 ODE 문제를 확장하면 (함수에 대한 출력 시리즈가 고유하기 때문에) 보조 방정식의 계수 계산 비용에서도 동일한 계수가 생성된다. 보조 변수를 사용하지 않으면 시스템에 대한 솔루션을 위한 파워 시리즈를 얻을 수 있는 알려진 방법이 없기 때문에 파워 시리즈 방법만으로는 대부분의 비선형 방정식에 적용하기 어렵다.

파워 시리즈 방법은 초기 값 문제(경계 값 문제에 대한 반대)에만 해결책을 제공할 것이며, 이는 선형 방정식을 다룰 때 문제가 되지 않는다. 이는 솔루션이 경계 값 문제를 해결하기 위해 결합(중첩)할 수 있는 여러 개의 선형 독립 솔루션을 발견할 수 있기 때문이다. 또 다른 제한사항은 직렬 계수가 비선형 반복에 의해 지정된다는 것이다(비선형성은 미분방정식에서 계승된다).

솔루션 방법이 작동하려면 선형 방정식과 마찬가지로 비선형 방정식의 모든 항을 전력계열로 표현하여 모든 항이 하나의 전력계열로 결합될 수 있도록 해야 한다.

예를 들어, 초기 가치 문제를 고려하십시오.

FF'+2F'^{2}+\eta F'=0\quad;\quad F(1)=0\\\\f'(1)=-{\frac {1}{1}2}

모세관 주도형 흐름의 용액을 홈에서 묘사한다. 두 가지 비선형성이 있다: 첫 번째와 두 번째 용어는 제품을 포함한다. 초기 값은

\eta =1

=

\eta =1

\eta =1

에 주어지며

\eta =1

이는 파워 시리즈를 다음과 같이 설정해야 함을 암시한다.

F(\eta )=\sum _{i=0}^{\inful }c_{i}(\eta -1)^{i}}}}:{i}}

이래서

왼쪽.{\frac {d^{n}F}{d\eta ^{n}}\오른쪽 _{\eta =1}=n!\ c_{n}}

초기 값을 평가하기 매우 쉽도록 만든다. 파워 시리즈의 정의에 비추어 방정식을 약간 다시 쓸 필요가 있다.

FF'+2F'^{2}+(\eta -1)F'+F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\F'(1)=-{\frac{1}{2}}:

세 번째 용어가 파워 시리즈에 표시되는

\eta -1

것과 동일한 형식

\eta -1

-

\eta -1

{\displaystyle \eta -1

}을

(

를) 포함하도록 하십시오.

마지막 고려사항은 제품을 어떻게 할 것인가이다. 파워 시리즈를 대체하면 각 용어가 자체 파워 시리즈가 되어야 할 때 파워 시리즈 제품이 된다. 여기가 카우치 제품이 있는 곳이다.

\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\sum _{j=0}^{i}a_{i-j}b_{j}

전력 시리즈를 미분 방정식으로 대체하고 이 아이덴티티를 적용하면 모든 항이 전력 시리즈인 방정식으로 이어진다. 많은 재배치를 한 후, 재발했다.

\sum \sum \{j=0}^{i}\(j+1)\{j-}c_{j+2}+2(i-j+1)+2(j+1)c_{i-j+1}{j+1}\오른쪽)+ic_{i+{i+1}c_{i+1}=0}=0

시계열 계수의 정확한 값을 지정하여 구한다. 초기 값에서

c_{0}=0

c_{0}=0

=

c_{0}=0

c_{0}=0

과

c_{0}=0

(

c_{1}=-1/2

c

c_{1}=-1/2

= -

c_{1}=-1/2

/ 2 {\

displaystyle c_{1

}=-1

/2}

을

c_{1}=-1/2

를) 반복한 후 위의 반복이 사용된다. 예를 들어, 다음 몇 개의 계수는 다음과 같다.

{\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{6}\cHB ;\n3}=-{\frac {1}{1}{1}\cHB}\4}={\frac {7}{3240}}\4}={5}={\frac {19}}}}}}\cH00}}}}}}}}}}}}}}}\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\

파워 시리즈 솔루션의 한계는 이 예에서 그 자체를 보여준다. 문제의 숫자 해법은 기능이 매끄러우며 항상 $\eta =1$ = $\eta =1$ $\eta =1$ , 그리고 우측으로 0이 감소한다는 것을 보여준다. $\eta =1$ = $\eta =1$ 에는 직렬을 렌더링할 수 없는 특징인 기울기 불연속성이 존재하며, 이러한 이유로 직렬 솔루션은 갑자기 0이 되는 대신 $\eta =1$ $\eta =1$ = 1 $\eta =1$ 의 오른쪽으로 계속 감소한다.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Frobenius Method". MathWorld.

참조

Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw–Hill.
Hille, Einar (1976). Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Mineola: Dover Publications.
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
Lozi, R.; Pogonin, V.A.; Pchelintsev, A.N. (2016). "A new accurate numerical method of approximation of chaotic solutions of dynamical model equations with quadratic nonlinearities" (PDF). Chaos, Solitons & Fractals. 91: 108–114. doi:10.1016/j.chaos.2016.05.010.

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