댐핑

감쇠는 진동계통 내부 또는 그 진동을 감소시키거나 방지하는 효과를 갖는 진동계통 내지는 진동계통에 미치는 영향이다. 물리적 시스템에서 댐핑은 진동에 저장된 에너지를 소멸시키는 프로세스에 의해 생성된다.^[1] 예로는 기계식 시스템에서 점성 드래그(액체의 점성이 진동계통을 방해하여 속도가 느려지게 할 수 있음), 전자 오실레이터에서 저항, 광학 오실레이터에서 빛의 흡수 및 산란 등이 있다. 에너지 손실에 기초하지 않는 댐핑은 생물학적 시스템과 자전거^[2](예:)에서 발생하는 것과 같은 다른 진동 시스템에서 중요하다. 서스펜션(기울기) 시스템에 작용하는 소멸력인 마찰과 혼동해서는 안 된다. 마찰은 감쇠의 원인이 되거나 원인이 될 수 있다.

댐핑 비율은 시스템 내 진동이 교란 후 어떻게 붕괴되는지 설명하는 치수 없는 측정값이다. 많은 시스템이 정적 평형 위치에서 방해를 받을 때 진동 동작을 나타낸다. 예를 들어 스프링에 매달린 질량은 당겼다가 풀리면 위아래로 튀어 오를 수 있다. 각 바운스에서 시스템은 평형 위치로 되돌아가는 경향이 있지만 그것을 오버슈팅한다. 때로는 손실(예: 마찰)이 시스템을 감쇠시키고 진동이 0으로 향하거나 감쇠하는 방향으로 점진적으로 감소하게 할 수 있다. 댐핑 비율은 진동이 한 번 튕겨서 다음 번으로 얼마나 빠르게 붕괴하는지를 설명하는 척도다.

댐핑 비율은 ζ(제타)으로 표시되며, amp(제타)로 표시되며, und( ()되지 않은 것(ζ = 0), 언더댐핑된 것(ζ < through)부터 심각하게 감쇠된 것( = = 1)까지 다양할 수 있다.

진동 시스템의 동작은 종종 제어 공학, 화학 공학, 기계 공학, 구조 공학 및 전기 공학을 포함하는 다양한 분야에 관심이 있다. 진동하는 물리적 양은 매우 다양하며, 바람 속에서 높은 건물의 흔들림이나 전기 모터의 속도일 수도 있지만, 정상화된 접근법 또는 비차원적인 접근법은 행동의 공통적인 측면을 설명하는데 편리할 수 있다.

진동 케이스

존재하는 댐핑의 양에 따라 시스템은 다른 진동 동작과 속도를 나타낸다.

스프링-매스 시스템이 완전히 무손실인 경우 질량은 무한정 진동하며, 각 질량은 마지막과 동일한 높이로 튕겨진다. 이 가상의 경우를 '무감각'이라고 한다.
예를 들어 스프링-매스 실험이 점성 유체에서 수행된 경우처럼 시스템에 높은 손실이 있는 경우 질량은 절대 오버슈팅하지 않고 천천히 정지 위치로 되돌아갈 수 있다. 이 경우를 과대포장이라고 한다.
일반적으로 질량은 시작 위치를 오버슈팅한 다음 다시 복귀하여 오버슈팅하는 경향이 있다. 각각의 오버슈트가 있을 때, 시스템의 일부 에너지는 소멸되고, 진동은 0을 향해 소멸한다. 이 사건을 언더드랩이라고 한다.
과대감쇠 및 과소감쇠 사례 사이에는 특정 수준의 감쇠가 존재하여 시스템이 오버슈팅하지 못하고 단 한 번의 진동도 일으키지 않는다. 이 경우를 비판적 감쇠라고 한다. 임계 감쇠와 과다 감쇠의 주요 차이점은 임계 감쇠 시 시스템이 최소 시간 내에 평형 상태로 되돌아간다는 것이다.

감쇠 사인파

y(t)=e^{-t}\cdot \cos(2\pi t)

감쇠 사인파 또는 감쇠 사인파(damped sine wave)는 시간이 지날수록 진폭이 0에 근접하는 사인파 함수로서 감쇠된 2차 계통의 언더드램핑된 경우 또는 언더드램핑된 2차 미분식에 해당한다.^[3] 감쇠 사인파는 일반적으로 과학과 공학에서 흔히 볼 수 있는데, 어디서든 고조파 오실레이터가 공급되는 것보다 더 빨리 에너지를 잃고 있다. 시간 = 0에서 시작하는 참 사인파는 원점에서 시작한다(진폭 = 0). 코사인파는 사인파와의 위상 차이로 인해 최대값에서 시작한다. 주어진 사인 파형은 사인 파형과 코사인 성분을 모두 갖는 중간 위상일 수 있다. "감쇠 사인파"라는 용어는 초기 위상이 무엇이든 그러한 감쇠 파형을 모두 설명한다.

일반적으로 가정되는 댐핑의 가장 일반적인 형태는 선형 시스템에서 발견되는 형태다. 이 형태는 지수 댐핑으로, 연속 피크의 바깥쪽 외피가 지수 붕괴 곡선이다. 즉, 각 연속 곡선의 최대점을 연결하면 결과는 지수 붕괴 함수와 유사하다. 기하급수적으로 감쇠된 정현악에 대한 일반 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[\displaystyle y(t)=]A\cdot e^{-\lambda t}\cdot \cos(\omega t-\phi )}

여기서:

y(t)

y(t)

)

y(t)

은

y(t)

(는) 시간 t에서의 순간 진폭이다.

A

A

은

A

(는) 봉투의 초기 진폭이다.

\lambda

\lambda

은

\lambda

(는) 독립 변수 t의 시간 단위의 역수인 붕괴율이다.

\phi

\phi

은

\phi

(는) t = 0에서 위상각이다.

\omega

\omega

은

\omega

(는) 각도 주파수다.

그 밖의 중요한 매개변수는 다음과 같다.

주파수: $f=\omega /(2\pi )$ = $f=\omega /(2\pi )$ / $f=\omega /(2\pi )$ ( $f=\omega /(2\pi )$ ) ${\displaystyle$ f $=\omega$ / $(2\pi$ $f=\omega /(2\pi )$ 시간 단위당 사이클 수. 역시간 단위 $t^{-1}$ - $t^{-1}$ ${\$ 또는 헤르츠로 표현된다.
시간 상수: $\tau =1/\lambda$ = $\tau =1/\lambda$ / $\tau =1/\lambda$ ${\displaystyle \tau =1/\lambda$ $\tau =1/\lambda$ 진폭이 e 배수로 감소하는 시간.
반감기는 지수 진폭 엔벨롭이 2배 감소하는 데 걸리는 시간이다. $\ln(2)/\lambda$ $\ln(2)/\lambda$ ( $\ln(2)/\lambda$ ) / $\ln(2)/\lambda$ $\ln(2)/\lambda$ 과 같으며, 이 $\ln(2)/\lambda$ 값은 $0.693/\lambda$ 0. $0.693/\lambda$ / $0.693/\lambda$ {\ $displaystyle$ 0. $693/\lambda$ }이다 $0.693/\lambda$
Damping ratio: $\zeta$ is a non-dimensional characterization of the decay rate relative to the frequency, approximately $\zeta =\lambda /\omega$ , or exactly $\zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1$ .
Q 인자: $Q=1/(2\zeta )$ = $Q=1/(2\zeta )$ / $Q=1/(2\zeta )$ ( $Q=1/(2\zeta )$ $Q=1/(2\zeta )$ ) $Q=1/(2\zeta )$ 은 댐핑의 양에 대한 또 다른 비차원적 특성이다 $Q=1/(2\zeta )$ . 높은 Q는 진동에 대한 느린 댐핑을 나타낸다.

댐핑 비율 정의

다양한 댐핑 비율이 2차 시스템에 미치는 영향

감쇠비는 보통 ζ(그리스 문자 제타)로 나타내는 매개변수로,^[4] 2차 일반 미분 방정식의 주파수 응답을 특징으로 한다. 그것은 특히 통제 이론의 연구에 중요하다. 그것은 또한 조화 진동자에서도 중요하다. 일반적으로 댐핑 비율이 높은 시스템(1개 이상)은 댐핑 효과를 더 많이 나타낸다. 저감쇠 시스템은 값이 1보다 작다. 임계 감쇠 시스템은 댐핑 비율이 정확히 1이거나 최소한 댐핑과 매우 유사하다.

댐핑 비율은 임계 댐핑에 상대적인 시스템의 댐핑 수준을 나타내는 수학적 수단을 제공한다. 질량 m, 감쇠 계수 c 및 스프링 상수 k를 가진 감쇠 고조파 오실레이터의 경우, 임계 감쇠 계수에 대한 시스템 미분 방정식의 감쇠 계수의 비율로 정의할 수 있다.

{\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c}}={\frac {\text{c}}={\frac {\text}dam핑}{\text{critical daming}}}}}},

시스템의 운동 방정식이 있는 곳

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}+c{\frac {dx}{dt}+kx=0

해당 임계 감쇠 계수는

c_{c}=2{\sqrt {km}

또는

c_{c}=2m{\sqrt {\frac{k}}}=2m\오메가_{n}}

어디에

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

=

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

m

{\

은

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

시스템의 고유 주파수다.

댐핑 비율은 동일 단위 계수 2개의 비율로 치수가 없다.

파생

고조파 오실레이터 ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ = k ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ / ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ ${\$ 의 고유 주파수와 ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ 위의 댐핑 비율의 정의를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}+2\zeta \omega_{n}{n}{dx}}{dt}+\omega_{n}^{n}x=0.}

이 방정식은 질량-스프링 시스템보다 일반적이며 전기 회로 및 다른 영역에도 적용된다. 그것은 접근으로 해결할 수 있다.

x(t)=Ce^{st}

여기서 C와 s는 모두 복잡한 상수로 만족한다.

s=-\omega _{n}\왼쪽(\zeta \pm i{1-\sqrt{1}-\zeta ^{2}}\오른쪽).

등식을 만족하는 두 가지 값에 대해 다음과 같은 두 가지 해결책을 결합하여 일반적인 실제 솔루션을 만들 수 있으며, 몇 가지 방법에서 진동 및 붕괴 특성이 있다.

언앰프드: $\zeta =0$ = $\zeta =0$ $\zeta =0$ 이(가) 비감쇠 단순 고조파 오실레이터에 해당하고 $\zeta =0$ , 이 경우 솔루션은 예상대로 $\exp(i\omega _{n}t)$ exp $\exp(i\omega _{n}t)$ ( $\exp(i\omega _{n}t)$ $\exp(i\omega _{n}t)$ $\exp(i\omega _{n}t)$ $){\displaysty \exp(i\omega _{n}t)$ 처럼 보인다 $\exp(i\omega _{n}t)$ 이 경우는 자연계에서는 극히 드물게 나타나는데, 가장 가까운 예는 의도적으로 마찰이 최소값으로 축소된 경우들이다.
언더담프: s가 복잡한 값의 쌍인 경우, 각 복합 솔루션 용어는 ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ ( ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ - ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ 2 $){\$ 처럼 보이는 진동 부분과 결합된 붕괴 지수다. 이 경우는 $\ 0\leq \zeta <1$ $\ 0\leq \zeta <1$ < 1 $\0\leq \zeta <1$ 에 대해 발생하며, 언더댐프(예: 번지 케이블)라고 한다.
과다흡입된: s가 한 쌍의 실제 값이라면, 용액은 단순히 진동이 없는 두 개의 붕괴 지수 합이다. 이 경우는 $\zeta >1$ > $\zeta >1$ ${\displaystyle \zeta >$ 1} $\zeta >1$ 에 발생하며, 과대감압이라고 한다. 과대 램프가 실제적인 상황은 오버슈팅이 발생할 경우 비극적인 결과를 초래하는 경향이 있는데, 일반적으로 기계적인 것이 아니라 전기적인 것이다. 예를 들어, 자동 조종 장치에 비행기를 착륙시키는 경우: 시스템이 착륙 기어를 너무 늦게 발사하고 해제하면, 그 결과는 재앙이 될 것이다.
임계 감쇠: $\zeta =1$ = $\zeta =1$ ${\displaystyle \zeta =$ 1}이 $($ 가) 과대 포장된 경우와 과소 포장된 경우 사이의 경계가 되며 $\zeta =1$ , 이를 심각한 습기라고 한다. 이는 감쇠된 오실레이터의 엔지니어링 설계가 필요한 많은 경우(예: 도어 클로징 메커니즘)에서 바람직한 결과가 된다.

Q 인자 및 붕괴율

Q 인자, 댐핑 비율 ζ, 지수 붕괴율 α는 다음과^[5] 같은 관계가 있다.

\zeta ={\frac {1}{2}Q}}}={\#Alpha \over \omega_{n}}.

때 second-order 시스템<1{\displaystyle \zeta<1}(시스템은 underdamped 것)ζ다, 그것은 두개의 복소 켤레 행렬. 각− α{\displaystyle -\alpha}의 진정한 부분이 어느 곳에나 돌 기둥, 즉{\displaystyle \alpha}은 진동의 지수 함수형 붕괴의 비율을 나타내는 붕괴율 변수 α니다.. 댐핑 비율이 낮다는 것은 붕괴율이 낮다는 것을 의미하며 따라서 매우 낮은 댐핑 시스템은 오랫동안 진동한다.^[6] 예를 들어 댐핑 비율이 매우 낮은 고품질 튜닝 포크는 오랜 시간 지속되는 진동을 가지고 있어 해머에 부딪힌 후 매우 천천히 부패한다.

로그감소

감쇠 진동의 경우 감쇠 비율은 로그 감소 $\delta$ $\delta$ 과도 관련이 있다 $\delta$ 감쇠 비율은 두 피크에 대해 인접하지 않더라도 확인할 수 있다.^[7] 인접 피크의 경우:^[8]

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

=

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

+

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

)

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

{\

}}{\

sqrt{{2}+\pi \rift

(

2\

pi

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

)^{

2}}: 여기서

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

=

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

ln

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

{\displaystylex_{0}{x_{1

}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{n {x_

{

여기서 x와₀ x는₁ 두 개의 연속 피크의 진폭이다.

오른쪽 그림과 같이:

\ln =\frac {x_{1}:{3}}=\ln {\frac {x_{2}}:{x_{4}}=\ln {\x_{1}-x_{2}}:{x_{4}}}}}}}}}\frac {x_{3}-x_{4}}}}}:{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $x_{1}$ $x_{1}$ ${\$ $x_{3}$ $x_{3}$ ${\$ 은(는) 두 개의 연속적인 양피크의 진폭이고 $x_{3}$ $x_{2}$ 2 ${\$ 2 $x_{2}$ x $x_{4}$ ${\$ 는 두 개의 연속된 음피크의 진폭이다 $x_{4}$ .

백분율 오버슈트

제어 이론에서 오버슈트는 최종 정상 상태 값을 초과하는 출력을 가리킨다.^[9] 스텝 입력의 경우, 백분율 오버슈트(PO)는 스텝 값을 스텝 값으로 나눈 최대 값에서 뺀 값이다. 단위 스텝의 경우 오버슈트는 스텝 반응의 최대값에서 1을 뺀 값일 뿐이다.

오버슈트 백분율(PO)은 다음과 같이 댐핑 비율(감쇠)과 관련이 있다.

\mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt{1-\zeta ^{2}}}\오른쪽)

반대로 일정 비율 오버슈트를 생성하는 댐핑 비율(강화)은 다음과 같이 지정된다.

\zeta ={\frac {-\lnn \left({\frac {\rm{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\frac {\rm}{100}}}\rig}\rig)}}}

예제 및 응용 프로그램

비스코스 드래그

물체가 공중으로 떨어질 때, 그 물체의 자유낙하를 반대하는 유일한 힘은 공기저항이다. 물이나 기름을 통해 떨어지는 물체는 더 큰 속도로 느려질 것이고, 결국 항력 힘이 중력으로부터의 힘과 평형을 이루게 될 때 안정된 상태 속도에 도달할 것이다. 이것은 예를 들어 자동문이나 미끄럼 방지문에 적용되는 점성 드래그의 개념이다.^[10]

전기 시스템의 댐핑

교류(AC)로 작동하는 전기 시스템은 정기적이기 때문에 저항을 사용하여 전류를 감쇠시킨다. 조광기 스위치 또는 볼륨 노브는 전기 시스템의 댐핑의 예다. ^[10]

자기 댐핑

진동을 일으키는 운동 에너지는 코일이나 알루미늄 판을 통해 자석의 극을 통과하여 유도되는 와전류에 의해 열로 소멸된다. 즉, 자기력에 의한 저항은 시스템 속도를 늦춘다. 이 개념의 한 예는 롤러코스터에 대한 제동이다. ^[11]

참조

^ Steidel (1971). An Introduction to Mechanical Vibrations. John Wiley & Sons. p. 37. damped, which is the term used in the study of vibration to denote a dissipation of energy
^ J. P. Meijaard; J. M. Papadopoulos; A. Ruina & A. L. Schwab (2007). "Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review". Proceedings of the Royal Society A. 463 (2084): 1955–1982. Bibcode:2007RSPSA.463.1955M. doi:10.1098/rspa.2007.1857. S2CID 18309860. lean and steer perturbations die away in a seemingly damped fashion. However, the system has no true damping and conserves energy. The energy in the lean and steer oscillations is transferred to the forward speed rather than being dissipated.
^ 더글러스 C. 지안콜리(2000년) [현대물리학을 가진 과학자와 공학자들을 위한 물리학 (제3판)] 프렌티스 홀. 페이지 387 ISBN 0-13-021517-1
^ Alciatore, David G. (2007). Introduction to Mechatronics and Measurement (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-296305-2.
^ William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press.
^ Ming Rao and Haiming Qiu (1993). Process control engineering: a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers. CRC Press. p. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.
^ "Dynamics and Vibrations: Notes: Free Damped Vibrations".
^ "Damping Evaluation". 19 October 2015.
^ Kuo, Benjamin C & Golnaraghi M F (2003). Automatic control systems (Eighth ed.). NY: Wiley. p. §7.3 p. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.
^ ^a ^b "damping Definition, Types, & Examples". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2021-06-09.
^ "Eddy Currents and Magnetic Damping Physics". courses.lumenlearning.com. Retrieved 2021-06-09.

11. 브리태니카, 백과사전. "댐핑." 브리태니커 백과사전, 브리태니커, 주식회사 www.britannica.com/science/damping

12. OpenStax, College. "물리학." 루멘, courses.lumenlearning.com/physics/chapter/23-4-eddy-currents-and-magnetic-damping/.

[1] Steidel (1971). An Introduction to Mechanical Vibrations. John Wiley & Sons. p. 37. damped, which is the term used in the study of vibration to denote a dissipation of energy

[MPRS-2] J. P. Meijaard; J. M. Papadopoulos; A. Ruina & A. L. Schwab (2007). "Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review". Proceedings of the Royal Society A. 463 (2084): 1955–1982. Bibcode:2007RSPSA.463.1955M. doi:10.1098/rspa.2007.1857. S2CID 18309860. lean and steer perturbations die away in a seemingly damped fashion. However, the system has no true damping and conserves energy. The energy in the lean and steer oscillations is transferred to the forward speed rather than being dissipated.

[3] 더글러스 C. 지안콜리(2000년) [현대물리학을 가진 과학자와 공학자들을 위한 물리학 (제3판)] 프렌티스 홀. 페이지 387 ISBN 0-13-021517-1

[4] Alciatore, David G. (2007). Introduction to Mechatronics and Measurement (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-296305-2.

[Siebert-5] William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press.

[6] Ming Rao and Haiming Qiu (1993). Process control engineering: a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers. CRC Press. p. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.

[7] "Dynamics and Vibrations: Notes: Free Damped Vibrations".

[8] "Damping Evaluation". 19 October 2015.

[Kuo-9] Kuo, Benjamin C & Golnaraghi M F (2003). Automatic control systems (Eighth ed.). NY: Wiley. p. §7.3 p. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.

[:0-10] "damping Definition, Types, & Examples". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2021-06-09.

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