BQP 후

계산 복잡도 이론에서, PostBQP는 양자 튜링 기계에서 다항식 시간에 풀 수 있는 모든 계산 문제들로 구성된 복잡도 클래스이다(알고리즘이 모든 입력에 대해 최소 시간의 2/3가 정확하다는 점에서).

사후 선택은 실제 컴퓨터(양자 컴퓨터도 마찬가지)가 가질 수 있는 기능으로 간주되지 않지만, 그럼에도 불구하고 사후 선택 기계는 이론적인 관점에서 흥미롭다.

PostBQP에서 두 가지 주요 특징 중 하나(수량성, 선택 후)를 제거하면 다음 두 가지 복잡도 클래스가 제공되며, 두 가지 모두 PostB의 하위 집합이다.QP:

BQP는 포스트 선택이 없는 경우를 제외하고 PostBQP와 동일합니다.
BPP는_path 양자 대신 알고리즘이 고전적인 랜덤화 알고리즘(후선택 ^[1]포함)이라는 점을 제외하고 PostBQP와 동일합니다.

postselection의 부가는 양자 튜링 기계들이 더 활발하게 하기 위해:반면에 BQP은 겉보기에 작은 클래스 NP을 포함하도록 알려지지 않았다 스콧 Aaronson proved[2][3]PostBQP PP, 상대적으로 강력할 것으로 보이는 클래스와 같습니다. 비슷한 기법을 사용하는 것 같아요, Aaronson 또한 증명이 qua의 법칙에 작은 변화.ntum c강압은 상당한 영향을 미칠 것입니다.구체적인 예로서 다음 두 가지 변경 중 하나에서 BQP의 "새로운" 버전은 PP와 동일합니다.

단일 연산뿐만 아니라 선형 연산을 포함하도록 '유니컬 게이트'의 정의를 확장한 경우, 또는
$기본$ $|x\rangle$ x $|x\rangle$ δ {\ $displaystyle$ x $\rangle}$ 측정 $|x\rangle$ 확률이 짝수 p > 2에 대해 $|\alpha _{x}|^{2}$ $|\alpha _{x}|^{2}$ 2 \ $displaystyle \alpha$ _ ${x}$ ^{ $p$ $}$ $|\alpha _{x}|^{2}$ $|\alpha _{x}|^{p}$ x $|\alpha _{x}|^{p}$ 에 $|\alpha _{x}|^{p}$ 하는 경우.

기본 속성

PostBQP의 특성 중 일부를 설명하기 위해 양자 사후 선택을 설명하는 공식 방법을 고정합니다.양자회로의 패밀리(특히 균일한 회로 패밀리)가 되도록 양자알고리즘을 정의합니다.1개의 큐비트를 선택 후 큐비트 P로, 다른 큐비트를 출력 큐비트Q로 지정합니다.그런 다음 PostBQP는 선택 후 큐비트가 1µ $(\displaystyle$ 1 $\rangle$ 인 이벤트에서 선택 후 정의됩니다.입력 x에서 A를 실행하고 2개의 큐비트 P와 Q를 측정하도록 양자 알고리즘A가 존재하는 경우 언어 L이 PostBQP에 있습니다.

P = 0이 아닌 확률의 1
입력 x가 L이면 $Pr[Q$ =1 $P$ = $1] 2 2/$ 3
입력 x가 L에 있지 않으면 $Pr[Q$ = $0$ P = $1] 2$ 2 $/3이다.$

알고리즘의 마지막에 1개의 포스트 선택 스텝을 허가하는 것(상기와 같이)과 알고리즘중에 중간 포스트 선택 스텝을 허가하는 것이 ^[2]^[4]동등하다는 것을 나타낼 수 있습니다.

PostBQP의 3가지 기본 속성을 다음에 나타냅니다(동일한 증명에 의한 BQP에도 대응합니다).

PostBQP가 보완 하에 닫힙니다.PostBQP의 언어 L과 대응하는 결정 회로 패밀리를 지정하면 측정 후 출력 큐비트를 플립하여 새로운 회로 패밀리를 작성합니다.그러면 새로운 회로 패밀리는 L의 보완이 PostBQP에 있음을 증명합니다.
PostBQP에서 확률 증폭을 실행할 수 있습니다.PostBQP의 정의는 정의의 2/3 값을 1/2 ~1 사이의 다른 상수로 대체해도 변경되지 않습니다.예를 들어, 성공 확률 2/3의 PostBQP 알고리즘 A가 주어지면, 우리는 A의 3개의 독립된 복사본을 실행하고, 3개의 "내부"의 조합과 동일한 사후 선택 비트를 출력하며, 3개의 "내부" 알고리즘의 과반수와 동일한 출력 비트를 출력하는 다른 알고리즘을 구축할 수 있다.새로운 알고리즘은 condi로 수정될 것이다.( $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ + $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ ( $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ 3 $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ ( $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ ) 2 $=$ $(2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^{2}=20/27$ {{ $displaystyle (2/3)^{3}+3(1/3)(2/3)^2$ }= $20/27$ 으로, 원래의 2/3보다 크다.
PostBQP가 교차로 아래에서 닫힙니다.2개의 $L_{1}$ $(\$ $L_{2}$ $(\$ 에 대한 PostBQP 회선 패밀리가 있다고 가정합니다.각각 선택 후 큐비트 $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}$ 출력 큐비트 $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}$ $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}$ $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}$ $(\$ }, $Q_{1$ }, $Q_2$ 성공 확률은 최소 5/6입니다.다음으로 $(\$ 과 $L_{1}$ $(\$ 의 $L_{2}$ 회선이 독립적으로 동작하는 복합 알고리즘을 작성하고 $(\$ P_ ${1$ $})$ 과 $P_{1}$ $(\$ 의 조합으로 P를 $Q_{1}$ 하고 Q(\ $display$ 1과 $Q_1)$ 의 $Q_{1}$ $Q_{1}$ 으로 설정합니다. $({$ 이 복합 알고리즘이 $L_{1}\cap L_{2}$ prob L2 $L_{1}\cap L_{2}$ $L_{1}\cap$ L_ ${2})$ 의 $L_{1}\cap L_{2}$ 멤버십을 (조건부) $L_{1}\cap L_{2}$ 2/3 이상의 확률로 올바르게 결정한다는 것은 조합에 의해 쉽게 알 수 $Q_{2}$ .

보다 일반적으로 이러한 아이디어의 조합은 PostBQP가 결합 및 BQP 진실표 감소에 따라 폐쇄되었음을 보여준다.

PostBQP = PP

Scott Aaronson은^[5] 복잡도 ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ B ${\mathsf {PostBQP}}$ P (\ $displaystyle\mathsf$ { $PostBQ$ })를 보여주었습니다. $P}}}($ 선택 후 유계 오차 양자 다항식 시간)과 PP(확률론적 다항식 시간)는 같다. $이$ 결과는 P ${\mathsf {PP}}$ P $P$ 의 양자계산 재구성을 통해 P $P$ 의 ${\mathsf {PP}}$ 에 대한 새로운 통찰력과 간단한 증거를 얻을 수 있었기 때문에 의미가 있었다 ${\mathsf {PP}}$

${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ s t B Q ${\mathsf {PostBQP}}$ 의 일반적인 정의(\ $displaystyle\mathsf {PostBQ$ }) $P}}$ 회로군은 ${\mathsf {PostBQP}}$ P = 1 $측정$ 확률이 0이 아닌 $확률$ , 입력 x가 PRQ $언어$ 일 경우 조건부 확률 Pr $[Q$ = $1$ P = $1 ]$ $=$ 2 $/3$ 을 가질 수 있도록 끝에 P와 Q의 단일 측정값이 있는 2개의 아웃비트 큐비트 P(후선택) 및 Q(출력)를 가진 회로입니다 $.$ e. 기술적인 이유로 ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ s ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ Q ${\mathsf {PostBQP}}$ P의 ${\mathsf {PostBQP}}$ 를 조정합니다.\ $displaystyle$ \ $mathsf$ { $Post$ BQ } $P$ 회로군에 따라 일정 c에 대해 Pr $[P$ = 1] $2 - n c 2$ 가 필요합니다 $.$ 이 선택은 ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ t ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ P의 ${\mathsf {PostBQP}}$ 속성에는 영향을 주지 않습니다.\ $displaystyle$ { $PostBQ$ ${\mathsf {PostBQP}}$ } $P$ 그리고 또한 Pr $[P$ = $1]$ > $0일 때$ 마다 일반적인 게이트(예: Hadamard, Toffoli)로 구성된 모든 계산이 이러한 특성을 갖는다는 것을 보여줄 수 있다.

PostBQP의 실증 »

${\mathsf {PostBQP}}$ $os$ t ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ P ${\mathsf {PostBQP}}$ { $displaystyle$ } { $PostBQ$ }가 주어졌다고 가정합니다.언어 L을 결정하기 위한 P $}}$ 개의 ${\mathsf {PostBQP}}$ 회로 패밀리.일반성의 손실 없이(예: 양자 컴퓨터의 본질적인 특성 참조) 모든 게이트가 하나 더 큐비트를 추가하는 비용으로 실수로 표현되는 전이 행렬을 가지고 있다고 가정한다.

$δ$ 는 선택 후 측정이 이루어지기 전 회로의 최종 양자 상태를 나타냅니다.이 증명의 전체적인 목표는 ${\mathsf {PP}}$ P $(\$ ${\mathsf {PP}}$ 을 ${\mathsf {PP}}$ 구축하여 L을 결정하는 것이다. 보다 구체적으로 $L$ 이 Q = 1, $P =$ $0인$ $상태$ 의 $δ$ 의 제곱 진폭과 Q = $0인$ $상태$ 의 $δ$ 의 제곱 진폭 중 $어느$ 쪽이 더 큰지를 L이 정확하게 비교하도록 하는 것으로 충분하다.이러한 진폭의 비교는 $(\$ ${\mathsf {PP}}$ 의 ${\mathsf {PP}}$ 허용 확률을 1/2와 비교하는 것으로 변환할 수 있습니다.

PostBQP 알고리즘 매트릭스 뷰

n은 입력 크기를 나타내고, $B$ = $B (n)$ 는 회로의 총 큐비트 수(표준, 보조, 출력 및 사후 선택 큐비트), $G$ = $G (n)$ 는 총 게이트 수를 나타냅니다.ih 게이트를 변환행렬ⁱ A(실제 $2^{B}\times 2^{B}$ $2^{B}\times 2^{B}$ $2^{B}\times 2^{B}$ $(\$ 2 $^{B}\times$ 2 $^{B$ 매트릭스)로 표현하고 초기 상태를 x $|x\rangle$ †(\ $displaystyle$ x $\rangle)$ 로 $|x\rangle$ (제로 채워짐).다음으로 $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ - $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ A $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ x $\Psi =A^{G}A^{G-1}\dotsb A^{2}A^{1}|x\rangle$ { $displaystyle \Psi$ = $A^{G}A^{G-1}\dotsb$ A $^{1$ } $x\rangle$ 를 정의한다₁(응답).S₀) P $= 1$ , Q = $1$ ( $응답$ )에 해당하는 기본 상태의 집합이어야 한다. $P$ $= 1$ , $Q$ = $0$ ) 및 확률 정의

\pi _{1}:=pr}[P=1,Q=1]=\sum _{\sum \{\omega \in S_{1}}\psi _{\Omega }^2}

\pi _{0}:=partext {Pr}[P=1,Q=0]=\sum _{\omega \in S_{0}}\psi _{\omega }^2}.

${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ Q ${\mathsf {PostBQP}}$ 의 ${\mathsf {PostBQP}}$ (\ $displaystyle\mathsf {PostBQ$ })P $}}}$ 을 ${\mathsf {PostBQP}}$ (를) $사용$ 하면 x가 L에 있는지 여부에 따라 $\pi _{1}\geq 2\pi _{0}$ ${\$ 2 $\pi _{1}\geq 2\pi _{0}$ $0$ \ $displaystyle \pi$ _ { 1 \ $displaystyle \pi$ _ { 0 $\pi _{0}\geq 2\pi _{1}$ } \ $q$ 2 \ $pi$ _ { $\pi _{0}\geq 2\pi _{1}$ { $0$ } $\pi _{0}\geq 2\pi _{1}$ 1이 $\pi _{1}\geq 2\pi _{0}$ .

${\mathsf {PP}}$ P ${\$ 머신은 ${\mathsf {PP}}$ $\pi _{1}$ { $displaystyle \pi$ _ { $1$ } $\pi _{1}$ $\pi _{0}$ ${$ $displaystyle \pi$ _ { $0$ } 0 our our our our our our our our our our our our our0}을 비교합니다.이를 위해 행렬 곱셈의 정의를 확장합니다.

\Displaystyle \Psi _{\Omega}=\sum _{\alpha _{1},\ldots,\alpha _{G}}A_{\omega},\alpha_{G}^{\alpha_{G},\alpha_{G-1},\dotsb A_{\alpha_{3},\alpha_{2}}A_{\alpha_{2},\alpha_{1}^{\alpha_{1}}

여기서 합계는 G 베이스 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ i \ $displaystyle$ $\pi _{1}$ \ $alpha$ _ { $i$ } 의 모든 리스트에 표시됩니다.이제 $\pi _{1}$ 1 ( \ $displaystyle$ \ $pi _ {$ 0 } )및 $\pi _{0}$ 0 ( \ $displaystyle$ \ $pi$ _ { $0$ } )는 $\pi _{1}$ $\pi _{0}$ 이들 용어의 쌍별 곱의 합으로 나타낼 수 있습니다.다음부터 ∈ 나는{Lx\in\displaystyle}이 허용 확률은 12(1+π 1− 0π)를 함축한 직관적으로, 우리가 12(1+π 1− 0π){\displaystyle{\tfrac{1}{2}}(1+\pi_{1}-\pi_{0})}처럼 그의 허용 확률은 기계를 설계할 수 있습니다;12{\displaysty고 싶다.르 ${tfrac {$ 1} { $2}}}(1+\pi$ _ ${1$ }-\ $pi$ _{0})> ${\tfrac {1}{$ 2 ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})>{\tfrac {1}{2}}$ $x\not \in L$ , x $x\not \in L$ L {\ $displaystyle$ x $\not \$ in $x\not \in L$ ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ }은 ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ 확률이 ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ ( ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ + ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ 1 - π 0 ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ < ${\tfrac {1}{2}}(1+\pi _{1}-\pi _{0})<{\tfrac {1}{2}}$ {1} {\ $tfrac$ {2}} $임$ 을 $.$

기술성: 우리는 전이 $행렬 i$ A의 엔트리가 일부 다항식 f(n)에 대해 $분모 f (n)$ 2를 갖는 유리라고 가정할 수 있다.

${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ Q ${\mathsf {PostBQP}}$ 의 ${\mathsf {PostBQP}}$ (\ $displaystyle\mathsf {PostBQ$ })P $}}}$ 는 ${\mathsf {PostBQP}}$ $\pi _{1}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ 가 L이면 $\pi _{1}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ $\pi _{1}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ 3 ( $\pi _{1}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ 0 + $1$ 1 $){$ $displaystyle \pi$ _ { { { $tfrac$ ${2}$ {3} ( \ $pi _$ { 0 } + \ $pi _$ {1} )이고 $\pi _{1}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ , 그렇지 $\pi _{0}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ $\pi _{0}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ $\pi _{0}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ ( $\pi _{0}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ + 0 + $\pi _{0}\geq {\tfrac {2}{3}}(\pi _{0}+\pi _{1})$ 1 ) \ $display style$ \ $frq _$ 0 } { 0 . $2^{f(n)}$ $2^{f(n)}$ f ( $2^{f(n)}$ $){$ 2 $^{f(n)}:$ 현재 $2^{f(n)}$ 설명한 큰 $f(n)$ f ( $){displaystyle$ f( $n)}$ 의 $f(n)$ 경우.사용될 방법이 무엇인지 나중에 if)L에 있으면 xL.를 이전의 기술을 이용하지 않다는 새로운 π 가치 12(π 0+π 1){\displaystyle \pi_{1}>,{\tfrac{1}{2}}(\pi_{0}일 경우 +\pi_{1})}고, 0을 π 12(π 0+π 1){\displaystyle \pi_{0}>,{\tfrac{1}{2}}(\pi_{0}일 경우 +\pi_{1})}π 1을 만족하고 있다.알 assumpti연산 상태의 1-norm이 어떻게 변화하는지 분석함으로써, 이는 ( $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ + $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ - $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ f ( $n$ ) $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ B ) $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ - $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ < $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ 2 - $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ c $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ , \ $display ( 1$ + $2^$ { - f ( n ) } $2$ ^ { $B$ }^{ G $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ } - $1$ < { \ $tfrac$ { $6 }$ ^ $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ 2 - { c $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ } $^$ { c }명확하게 $(1+2^{-f(n)}2^{B})^{G}-1<{\tfrac {1}{6}}2^{-n^{c}},$ 충족되는 것으로 보인다.

PP 기계 구축

${\mathsf {PP}}$ $\$ 머신의 ${\mathsf {PP}}$ 상세 구현에 대해 설명하겠습니다.α는 { $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{G}$ i $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{G}$ $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{G}$ $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{G}$ G {\ $displaystyle \{\alpha$ _ ${i}\}_{i=1}^{G}}$ 의 $\{\alpha _{i}\}_{{i=1}}^{G}$ 순서를 $나타내며$ , 약어 표기법을 정의한다.

\Pi (A,\omega ,\alpha ,x):=A_{\omega ,\alpha _{G}}^{G}A_{\alpha _{G},\alpha _{G-1}}^{G-1}\dotsb A_{\alpha _{3},\alpha _{2}}^{2}A_{\alpha _{2},\alpha _{1}}^{1}x_{\alpha _{1}}

=A_{\opega},\alpha_{G}^{\alpha_{G},\alpha_{G-1}\dotsb A_{\alpha_{3},\alpha_{2}}^{

A_{\alpha_{2},\alpha_{1}^{\alpha_{1

그리고나서

\displaystyle \pi _{1}-\pi _{0}=\sum _{\opha \in S_{1}\sum _{\alpha '}\Pi (A,\opha,\alpha,x)-\sum _{\opha \in S_0}\alpha,\sum}

$(\$ style $\display\mathsf {PP})$ 머신을 ${\mathsf {PP}}$ 정의하여

$무작위$ 로 균일하게 기초 상태를 고르다
$\omega \not \in S_{0}\cup S_{1}$ S $\omega \not \in S_{0}\cup S_{1}$ $\omega \not \in S_{0}\cup S_{1}$ 1 \ $displaystyle \ obega$ \ $not$ \ $in$ S_ ${0}$ \ $cup S_{$ 1}인 $\omega \not \in S_{0}\cup S_{1}$ 경우 $\omega \not \in S_{0}\cup S_{1}$ STOP하여 확률 1/2로 승인하고 확률 1/2로 거부합니다.
G 기준 상태의 두 $\alpha ,\alpha '$ , α ${\$ \ $displaystyle \alpha,$ \ $alpha$ '를 $\alpha ,\alpha '$ 무작위로 균일하게 선택한다.
$2^{2f(n)G(n)}$ $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ ( $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ , $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ , $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ α , $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ ) $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ ( $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ , $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ , α $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ δ , $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ ) { $displaystyle$ X = \ $Pi$ ( $A$ , \ $X=\Pi (A,\omega ,\alpha ,x)\Pi (A,\omega ,\alpha ',x)$ $2^{2f(n)G(n)}$ , \ $alpha , x$ ) $2^{2f(n)G(n)}$ （ A , \ alpha , x $）$ （ 2 $2^{2f(n)G(n)}$ ） { display $style$
$\omega \in S_{1}$ ( \ $displaystyle$ \ $in S _$ { 1} )의 ${\tfrac {1+X}{2}}$ 경우 확률 $\omega \in S_{1}$ ${\tfrac {1+X}{2}}$ 1 + ${\tfrac {1+X}{2}}$ 2 ( \ $display$ style \ $tfrac { 1$ + $X$ } { ${\tfrac {1+X}{2}}$ } )로 수락하고 확률 ${\tfrac {1-X}{2}}$ - X ${\tfrac {1-X}{2}}$ ( \ $display$ style \ $tfrac$ { 1 $-$ ${\tfrac {1-X}{2}}$ }{ $2}$ } ${\tfrac {1-X}{2}}$ ( $2f(n)G(n)+1$ $2f(n)G(n)+1$ f $2f(n)G(n)+1$ ) $2f(n)G(n)+1$ G $)$ 로 거부합니다 $.$
그렇지 않으면 ( $\omega \in S_{0}$ $\omega \in S_{0}$ \ $\omega \in S_{0}$ $0$ $\omega \in S_{0}$ ) ${\tfrac {1-X}{2}}$ 1 - ${\tfrac {1-X}{2}}$ ${\tfrac {1-X}{2}}$ $(\$ $displaystyle$ ${\tfrac {1-X}{2}}$ \ $tfrac$ { 1 - $X$ } { ${\tfrac {1-X}{2}}$ } )를 ${\tfrac {1-X}{2}}$ 받아들여 확률 1 ${\tfrac {1+X}{2}}$ + $2f(n)G(n)+1$ ${\tfrac {1+X}{2}}$ 2 (\ $displaystyle$ \ $tfrac { 1$ $2f(n)G(n)+1$ + $X$ } { $2})$ 를 사용하여 거부합니다 ( $2f(n)G(n)+1$ $2f(n)G(n)+1$ + $2f(n)G(n)+1$ 2 ) $2f(n)G(n)+1$ GF $스타일$ ).

다음으로 확률 ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ 2 + ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ 1 - ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ 0 ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ + ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ ( ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ ) + ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ ( ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ ) ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ ( ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ ) ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ 、 { $displaystyle$ { { $frac { 1}$ {2} + { 0 ${\frac {1}{2}}+{\frac {\pi _{1}-\pi _{0}}{2^{1+B(n)+2B(n)G(n)}}},$ } { $2 ^$ { $1$ + B ( n ) + $2 ( N$ ) （ n ）。

PP의 실증 » PostBQP.

입력 x 길이 $n:=|x|$ : $=$ $display$ n:= x $n:=|x|$ 에 $T:=T(n)$ $T:=T(n)$ T:= T $)$ { $display tyle$ ${\mathsf {PP}}$ T:= $T(n)}$ 의 $T:=T(n)$ ${\mathsf {PP}}$ P P { $display$ { $mathsf$ { $PP}}$ 기계가 ${\mathsf {PP}}$ ${\mathsf {PP}}$ 가정합니다. 따라서 기계는 계산 중에 가장 많은 시간 동안 동전을 던집니다.따라서 우리는 기계를 두 개의 입력(x, r)을 받는 결정론적 함수 f(예: 고전 회로에 의해 구현됨)로 볼 수 있다. 여기서 길이 T의 이진 문자열 r은 계산에 의해 수행된 랜덤 동전 플립의 결과를 나타내며 f의 출력은 1(승인) 또는 0(거부)이다. $P$ 의 ${\mathsf {PP}}$ 는 다음과 같습니다 $.$

x\in L\왼쪽 화살표 \#\{0,1\}^{T}\mid f(x,r)=1\}\geq 2^{T-1

${\mathsf {PostBQP}}$ P ${\mathsf {PostBQP}}$ s ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ P (\ $displaystyle\mathsf {PostBQ$ })가 필요합니다. $위의$ 문장이 참인지 여부를 판별할 수 있는 P}} 알고리즘입니다 ${\mathsf {PostBQP}}$ .

s는 수용을 유도하는 랜덤 문자열의 수로 정의한다.

({displaystyle s:=\#\{r\in\{0,1\}^{T}\mid f(x,r)=1\})

$2^{T}-s$ 2 T - $2^{T}-s$ \ $displaystyle$ 2 $^{T}-s$ 는 거부된 $2^{T}-s$ 문자열의 수입니다.일반성을 잃지 않고 $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ { $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ , $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ / $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ , 2 T $s\not \in \{0,2^{T}/2,2^{T}\}$ { $displaystyle s$ \ $in$ \ { $0$ , $2$ ^ { $T}/2,2^{T$ 자세한 내용은 P $(\$ 가 ${\mathsf {PP}}$ 보완 하에 닫혔다는 ${\mathsf {PP}}$ 에서 일반성 가정을 잃지 않고 유사한 내용을 참조하십시오.

아론손 알고리즘

이 문제를 해결하기 위한 아론슨의 알고리즘은 다음과 같습니다.간단하게 하기 위해 모든 양자 상태를 정규화되지 않은 것으로 씁니다.먼저 $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ x $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ r $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ r $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ { $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ , $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ } $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ f $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ ( $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ , $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ ) ${\$ { $display style$ x \ $rangle \$ times \ $sum _ {$ r \ $in$ \ $0$ , 1 \ }^{ $T}r$ \ r \ r \ r \ r \ $rangle$ f ( $x$ , r ) $|x\rangle \otimes \sum _{r\in \{0,1\}^{T}}|r\rangle |f(x,r)\rangle$ } r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ sum } r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ $rangle$ f ( r \ sum $}$ r \ sum } r이것에 의해, 마지막 레지스터(마지막 큐비트)가 잔존 상태인 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.

(\displaystyle \psi \rangle :=(2^{T}-s) 0\rangle +s 1\rangle .}

여기서 H는 Hadamard 게이트를 나타내며, 우리는 상태를 계산한다.

H|\psi \rangle =(2^{T}|0\rangle +(2^{T}-2s)|1\rangle )/{\sqrt {2}}

T}-2s) 1\rangle )/{\sqrt {2

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$ $\alpha ,\beta$ , $\alpha ,\beta$ β \ $displaystyle \alpha$ , \ $displaystyle$ $=$ {\ $displaystyle$ \ $alpha ^{2$ } + $\displaystyle$ ^{2 $} = 1$ $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$ $displaystyle$ \ $langle$ }은 $\alpha ,\beta$ 나중에 선택되는 양의 실수입니다. $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ 서 $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ α $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$ 0 $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ β $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ δ β β β δ β $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ β $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ δ β β β β β β $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ β β $\alpha |0\rangle |\psi \rangle +\beta |1\rangle |H\psi \rangle$ δ δ β β β $⟩$ \ $rangle$ 1과 같은 값을 사후 선택하면 첫 번째 큐비트가 $\beta /\alpha$ $\beta /\alpha$ α ${\style$ \ $display$ /\ $alpha}$ 에 $\beta /\alpha$ 따라 잔류 상태로 남습니다.

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

/

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

: =

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

s

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

+

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

(

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

T

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

-

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

s )

1 δ

\ display

style

_ { \

phi

/ \ alpha } \ rangle : = \

alpha

s 0 \ rgle + { \

frac

} { \

frac

{ } { \ frac

rt

{2} } ( 2

）

1 \ rangle

|\phi _{\beta /\alpha }\rangle :=\alpha s|0\rangle +{\frac {\beta }{\sqrt {2}}}(2^{T}-2s)|1\rangle

는 이진법의 원으로 상태를 예상하면 말입니다.;2T− 1{\displaystyle s>, 2^{T-1}},(즉 만약 x∈ L{\displaystyle x\in L}) 다음 ϕ β/α{\displaystyle \phi_{\beta /\alpha}를 참조하십시오.}개방된 쿼드런트에 있Qcc:\(− 1⟩, 0⟩){\displaystyle Q_{acc}:=(-1\rangle. 0\rang르)}는 동안 그것 <2T− 1{\displaystyle s<, 2^{T-1}},(즉 만약 x∉ L{\displaystyle x\not \in L}) 다음 ϕ β/α{\displaystyle \phi_{\beta /\alpha}}개방된 쿼드런트 Qrej에:)(0⟩, 1⟩){\displaystyle Q_{rej}:=(0\rangle, 1\rangle)}. 고정된 x(과 그 corr 사실에 놓여 있다.esponding s)의 $(0,\infty )$ $\beta /\alpha$ / $\beta /\alpha$ α $(0,\infty )$ $displaystyle$ $(0,\infty )$ \ $displaystyle ($ $0,\infty$ 를 변화시키므로 $|\phi _{\beta /\alpha }\rangle$ / $|\phi _{\beta /\alpha }\rangle$ $⟩$ (\ $displaystyle \phi$ _ $/\alpha }\rangle$ 의 $\beta /\alpha$ $|\phi _{{\beta /\alpha }}\rangle$ 이미지가 정확하게 대응하는 오픈 쿼드런트임을 유의하십시오.나머지 증거에서는 이 두 사분면을 구별할 수 있다는 생각을 정확하게 하고 있습니다.

분석.

$|+\rangle =(|1\rangle +|0\rangle )/{\sqrt {2}}$ $=$ ( $display$ + $|+\rangle =(|1\rangle +|0\rangle )/{\sqrt {2}}$ display $|+\rangle =(|1\rangle +|0\rangle )/{\sqrt {2}}$ ) / $|+\rangle =(|1\rangle +|0\rangle )/{\sqrt {2}}$ ( 1 \ $rangle + 0$ \ $rangle$ ) / { \ $rt {$ } $|+\rangle =(|1\rangle +|0\rangle )/{\sqrt {2}}$ ( Q $Q_{rej}$ $Q_{rej}$ \ $Q_{rej}$ $display$ $style$ Q _ $|-\rangle$ ${$ rej $Q_{rej}$ } ) display $|-\rangle$ 、 $display$ + rangle $|+\rangle$ } displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $Q_{acc}$ 은 { + $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ - $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ -\ $rangle$ \}) $기준$ 으로 측정했을 때 $|+\rangle$ + $|+\rangle$ {\({displaystyle +\ $rangle$ })의 $|+\rangle$ 값이 1/2보다 작아집니다 $.$ 한편 x $x\not \in L$ L $x\not \in L$ { $displaystyle$ x $\in$ L $}$ 에서 $x\not \in L$ $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ / $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ r $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ / ( $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ T - $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ ) ( \ $display$ \ s / \ $alpha$ = $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ r ^ { * : = $r }$ $s$ / ( $2$ ^ { $T$ } - 2 $s$ )를 $\beta /\alpha =r^{*}:={\sqrt {2}}s/(2^{T}-2s)$ $x\not \in L$ 했다면 $|\phi _{\beta /\alpha }\rangle$ / $ph$ styleaspa $styledisplay$ α $style$ $\{ +\rangle ,$ - $\rangle$ \}}: 항상 $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ + $|+\rangle$ {\(\ $displaystyle$ +\ $rangle )$ 값을 $|+\rangle$ 지정합니다.s는 알 수 없기 때문에 r*의 정확한 값도 알 수 없지만 $\beta /\alpha$ $β$ / $α$ 에 $\beta /\alpha$ 대해 $\beta /\alpha$ 개의 다른 값(다수)을 시험해 볼 수 있으며, "근접 $"$ r*에 해당하는 값을 얻을 수 있습니다.

특히 주 2− T<>r∗<>2T{\displaystyle 2^{-T}<, r*<, 2^{.T}}와 우리에게 연속적으로 나는{\displaystyle 2^{나는}형태 2의− T모든 값}에 β/α{\beta /\alpha\displaystyle}세트 ≤ 나는 T{\displaystyle -T\leq i\leq T}≤. 그리고 초등 계산이 보여 주시기 바랍니다 i,의 이러한 값의. $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ + $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ - $⟩$ { $displaystyle$ $\rangle$ }({ $+\rangle$ $},$ - }({ displaystyle \{ +\ $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ $|+\rangle$ })의 $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ $|+\rangle$ $|\phi _{2^{i}}\rangle$ 이 $|+\rangle$ + $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ ${\$ $(3$ + $|+\rangle$ $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ ) $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ / $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ 0971 $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ 이 $(3+2{\sqrt {2}})/6\approx 0.971.$ 될 확률. $({displaystyle(3+2grt {2}})/6\약 0.971).$ $}$

${\mathsf {PostBQP}}$ 으로 P ${\mathsf {PostBQP}}$ t ${\mathsf {PostBQP}}$ ${\mathsf {PostBQP}}$ P \ $displaystyle$ \ $mathsf$ { $PostBQ$ } $P$ 알고리즘은 다음과 같습니다.k는 1/2 $(3+2{\sqrt {2}})/6$ ~ ( $(3+2{\sqrt {2}})/6$ + $(3+2{\sqrt {2}})/6$ ) / $(3+2{\sqrt {2}})/6$ ( $3+2$ {\ $sqrt {2}}$ / $6$ )의 임의의 상수입니다. $-T\leq i\leq T$ T $-T\leq i\leq T$ i $-T\leq i\leq T$ T \ $display style$ - T \ $leq i$ \ $-T\leq i\leq T$ leq $-T\leq i\leq T$ T } : $|\phi _{2^{i}}\rangle$ $|\phi _{2^{i}}\rangle$ ⟩ 2 ⟩ \ $display$ \ $phi$ { $2 }$ } { { { { 。 $\{ +\rangle$ , - $\rangle$ \}: 총 $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ C $C\log T$ $C\log T$ T $C\log T$ { \ $displaystyle$ C \ $log$ T $C\log T$ 회 $C\log T$ .여기서 C는 상수입니다. ${\(\style +\rangle }$ 측정의 $|+\rangle$ 비율이 k보다 크면 reject합니다.i에 대해 거절하지 않으면 받아들이세요그런 다음 체르노프 경계는 충분히 큰 보편 상수 C에 대해 최소 2/3 확률로 x를 정확하게 분류한다는 것을 보여준다.

$|\phi _{2^{i}}\rangle$ 알고리즘은 전체 선택 후 확률이 너무 작지 않다는 기술적 가정을 충족합니다. § 2 $|\phi _{2^{i}}\rangle$ $†$ { $display \phi$ _ { $2$ $1/2^{O(T)}$ ^ { $i$ $|\phi _{2^{i}}\rangle$ } \ $rangle$ }의 $|\phi _{{2^{i}}}\rangle$ $1/2^{{O(T)}}$ 개별 측정값은 각각 선택 $1/2^{O(T)}$ $1/2^{O(T)}$ 이 1/ $O$ $($ )이므로 전체 확률은 $1/2^{O(T^{2}\log T)}$ 1/ $1/2^{O(T^{2}\log T)}$ 입니다. $1/2^{O(T^{2}\log T)}$ ( $1/2^{O(T^{2}\log T)}$ log $1/2^{O(T^{2}\log T)}$ T $1/2^{O(T^{2}\log T)}$ ) { $displaystyle$ 1/ $2^{O(T^{2}\log$ T}} $1/2^{O(T^{2}\log T)}$

시사점

PP의 양자 계산 재구성을 참조하십시오.

레퍼런스

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