홀보 정리

홀보 정리는 물리학과 컴퓨터 과학의 학제적 분야인 양자 컴퓨팅에서 중요한 한계 정리입니다. 양자 상태에 대해 알 수 있는 정보의 양(접근 가능한 정보)에 대한 상한을 설정하기 때문에 Holevo's bound라고 불리기도 합니다. 그것은 1973년 알렉산더 홀보에 의해 출판되었습니다.

얻기 쉬운 정보

양자 정보 이론의 몇 가지 개념에 대해서는 접근 가능한 정보는 2자 통신의 관점에서 가장 잘 이해됩니다. 그래서 우리는 두 가지 파티를 소개합니다. 앨리스와 밥. Alice는 고전적인 랜덤 변수 X를 가지며, 이 변수는 {1, 2, ..., n} 값을 해당 확률 {p₁, p₂, ..., p}로_n 취할 수 있습니다. 그런 다음 앨리스는 집합 {ρ, ρ, ..., ρ}에서 선택된 밀도 행렬 ρ로 표시되는 양자 상태를 준비하고 이 상태를 밥에게 제공합니다. 밥의 목표는 X의 값을 찾는 것이고, 이를 위해 그는 상태 ρ을 측정하여 고전적인 결과를 얻으며, 우리는 이것을 Y로 표시합니다. 이러한 맥락에서 접근 가능한 정보의 양, 즉 Bob이 변수 X에 대해 얻을 수 있는 정보의 양은 Bob이 할 수 있는 모든 가능한 측정에 대해 확률 변수 X와 Y 사이의 상호 정보 I(X: Y)의 최대값입니다.^[1]

현재 접근 가능한 정보를 계산할 수 있는 알려진 공식이 없습니다. 그러나 몇 가지 상한이 있는데, 그 중 가장 잘 알려진 것이 다음 정리에 명시된 홀보 바운드입니다.^[1]

정리문

{ρ, ρ, ..., ρ}를 혼합 상태의 집합이라 하고, ρ를 확률 분포 P = {p, p, ..., p}에 따라 그려진 이러한 상태 중 하나라고 합니다.

그런 다음 POVM 요소 {E}에 의해 설명되고 ρ = ∑ ${\displaystyle X_{}}$ p X ρ X {\displaystyle \rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}}에서 수행되는 모든 측정에 대해 측정 결과 Y를 알고 있는 변수 X에 대한 액세스 가능한 정보의 양은 다음과 같이 위에서 제한됩니다.

${\displaystyle I(X:Y)\leq S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}),}$

여기서 ρ = ∑ $ip$ ρi {\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}}이고 S {\displaystyle S}는 폰 노이만 엔트로피입니다.

이 부등식의 오른쪽에 있는 양을 Holevo 정보 또는 Holevo χ 양이라고 합니다.

${\displaystyle \chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

증명

앨리스의 고전적 $입력{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X$\},$ $양자계{\displaystyle }$ Q$${\$displaystyle$ Q$\},$ 밥의 $고전적{\displaystyle }$ 출력$$Y {\$displaystyle Y}$를 포함하는 전체 통신 과정을 설명하는 복합 시스템을 생각해 보십시오$.$ 클래식 입력 $X$ ${\displaystyle X}$은(는) 클래식 레지스터 ρ X:= ∑ ${\displaystyle x}$ =$$1 n x x ⟩ ⟨ x {\displaystyle \$rho$ ^{X}:=\sum \n일부 정규 직교${\displaystyle 기저}${${\displaystyle x_{}^{}}$$⟩$} $x$$=$ 1 n {\displaystyle \{x\rangle \}_{x$=1}^{n} x\rangle$\$lang$lex$}$을(를) $제한$합니다. By writing ${\displaystyle X}$ in this manner, the von Neumann entropy ${\displaystyle S(X)}$ of the state ${\displaystyle \rho ^{X}}$ corresponds to the Shannon entropy ${\displaystyle H(X)}$ of the probability distribution ${\displaystyle \{p_{x}\}_{x=1}^{n}}$:

${\displaystyle S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x} x\rangle \langle x \right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).}$

Alice가 상태$$ρ x {\$displaystyle$ $\$rho_{x}를 ${\displaystyle {확률}_{}}$ p x {\$displaystyle$ p_$\{$x$}$로 준비하는 시스템의 초기 상태는 다음과 같이 설명됩니다.

${\displaystyle \rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x} x\rangle \langle x \otimes \rho _{x}.}$

그 후 앨리스는 양자 상태를 밥에게 보냅니다. Bob은 ${\displaystyle {양자}_{}}$ 시스템 $Q$ ${\displaystyle$ $Q$$}$에만 액세스할 수 있고 $입력$ X ${\displaystyle$ $X$$}$에는 액세스할 수 없으므로 = tr${\displaystyle X^{}}$⁡$($ρ${\displaystyle {}_{}^{}}$X Q) =$$∑$$x = 1 n p x ρ x${\displaystyle$\rho :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right) =\sum \n 형태의 혼합 상태를 수신합니다.$olimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}}$. Bob은 POVM 요소$${${\displaystyle {Ey}_{}}$ y = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle$\{E_${y}\}_{y$=$1}^{m$}에 대해 이 상태를 측정하고${\displaystyle ,}$ 결과 y = 1m {\displaystyle \{q_{y}\}_{y=1}^{m}}의 확률을 측정합니다$.$$m}$은(는$)$ 고전적인 $출력{\displaystyle }$ Y {\$displaystyle Y}$를$$형성합니다. 이 측정 과정은 양자 계기로 설명될 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}(\rho_{x})=\sum_{y=1}^{m}q_{yx}\rho_{yx}\time y\rangle \ lang리,}$

여기서 $q$ ${\displaystyle x_{}}$ = ${\displaystyle tr}$⁡ (${\displaystyle Y_{}}$ρ x ) ${\$displaystyle q_{y x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho_{x}\right)}는 상태 ρ x {\displaystyle \rho_{x}\right}가 주어졌을 때 결과 y {\displaystyle y}의 확률입니다. $일부$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ W {\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ W${\displaystyle$ W † /$qy$ x {\$displaystyle \rho_{y x}$=$W{\sqrt${E_{$y}}\rho_{x$}{\sqrt {$E_{$y}}}W^{\dagger }/q_{$y$x$}}$가 일부 유니터리 W {\displaystyle W}에 대해 정규화된 사후 측정 상태입니다. 그러면, 측정 과정 이후의 전체 시스템의 상태는

${\displaystyle \rho^{XQ'Y:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\time {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y x} x\rangle \langle x \otimes \rho _{y x}\otimes y\rangle \langle y .}$

$여기$서 ${\displaystyle {IX}^{}}$ ${\$는 $시스템{\displaystyle }$ X${\displaystyle$ X$}$의 아이덴티티 채널입니다$.$ ${\displaystyle {EQ}^{}}$ ${\$는 양자 채널이고, 양자 상호 정보는 완전히 양의 추적 보존 맵 하에서 단조적입니다.^[2] ${\displaystyle S}$(${\displaystyle X:}$ Q${\displaystyle {}^{}}$′ Y${\displaystyle }$) ≤ S${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$: ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle$ $S$$(X$: $Q'Y)\leq$ S $(X$: Q$)\}.$ 또한 $Q{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\display$ Q$'}$ 위의 부분 트레이스도 완전히 양의 값이며 트레이스 보존되므로 S${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$: ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle \le }$ S${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle :}$ Q${\displaystyle {}^{}}$′ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle S (X$: Y$)\leq$ S $(X$: Q$'Y$)}. 이 두 부등식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q).}$

왼쪽 측면에서 관심의 양은에만 의존합니다.

${\displaystyle \rho^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y x} x\rangle \langle x \otimes y\rangle \langle y =\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y} x,y\rangle \langle x,y ,}$

합동 $확률$로 ${\displaystyle p_{}}$ x${\displaystyle {,}_{}}$ y = ${\displaystyle p}$x q x $displaystyle$ p_{x,y} = p_{x}q_{y x}}. 분명히 ρ X Y {\displaystyle \rho ^{X$Y}$ 및 $ρ$ Y:$=$${\displaystyle {tr}^{}}$ X$$$⁡$$($$ρ$ X Y) {\displaystyle \rho ^{$Y}:$$=$$\$operatorname {tr}_{X}(\rho ^{X)${\displaystyle Y^{}}$$})}$은$($는$)$$$$ρ$$$X ${\displaystyle$\rho ^{X}}과(와) 동일한 형태로 고전 레지스터를 설명합니다. 이런 이유로,

${\displaystyle S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).}$

$한편{\displaystyle }$, S${\displaystyle (X}$: Q${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ S$(X$: Q$)}$은 용어에 따라$$ 다릅니다.

${\displaystyle \log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x} x\rangle \lang x \otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n} x\rangle \times \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\rangle \lang x \otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n} x\rangle \lang x \otimes \log \rho _{x}}$

여기서 ${\displaystyle {IQ}^{}}$ ${\$는 $양자계{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle Q}$의 항등원 연산자입니다$.$ 그러면 우변은

${\displaystyle {\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x} x\rangle \langle x \otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x} x\rangle \langle x \otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x} x\rangle \langle x \right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}}$

증명이 완료되었습니다.

코멘트 및 코멘트

본질적으로 홀보 바운드는 주어진 n개의 큐비트가 더 많은 양의 (양자 중첩 덕분에) 정보를 "운반"할 수 있지만 검색할 수 있는 고전 정보, 즉 액세스할 수 있는 고전 정보의 양은 최대 n개의 고전(양자 인코딩되지 않은) 비트에 불과하다는 것을 증명합니다. 양자 비트가 고전적으로 가능한 것보다 계산 과정을 통해 더 많은 정보를 전달하는 계산이 있다는 것도 이론적으로나 실험적으로 확립되었습니다.^[3]

참고 항목

• 고밀도 부호화

참고문헌

더보기

• Holevo, Alexander S. (1973). "Bounds for the quantity of information transmitted by a quantum communication channel". Problems of Information Transmission. 9: 177–183.
• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333. (531페이지, 제12.1.1항 - 식 (12.6) 참조)
• Wilde, Mark M. (2011). "From Classical to Quantum Shannon Theory". arXiv:1106.1445v2 [quant-ph].특히 섹션 11.6 및 다음을 Wilde, Mark M. (2011). "From Classical to Quantum Shannon Theory". arXiv:1106.1445v2 [quant-ph].참조하십시오. Holevo의 정리는 연습문제 11.9.1로 288페이지에 제시되어 있습니다.