양자 용량

양자통신 이론에서 양자용량은 송신자에서 수신자로 노이즈가 많은 양자채널을 독립적으로 사용하여 양자정보를 전달할 수 있는 가장 높은 속도이다.또한 채널을 통해 얽힘이 생성될 수 있는 최고 속도와 같으며, 포워드 클래식 통신으로는 이를 개선할 수 없습니다.양자 용량 정리는 양자 오차 보정 이론, 그리고 더 넓게는 양자 계산 이론에서 중요하다.채널의 양자 용량에 하한을 주는 정리는 LSD 정리라고 불리는데, 이는 점점 더 엄격해지는 표준으로 그것을 증명한 작가 ^[1]로이드, 쇼어,^[2] 그리고^[3] 데베탁의 이름을 따온 것이다.

Pauli 채널로 향하는 해싱

LSD 정리는 양자 채널의 일관성 있는 정보가 신뢰할 수 있는 양자 통신을 위한 달성 가능한 속도라고 말합니다.Pauli 채널의 경우, 일관성 있는 정보는 단순한 형태를^{[citation needed]} 가지며, 그것이 달성 가능하다는 증거 또한 특히 단순합니다.랜덤^[who?] 스태빌라이저 코드를 이용하여 채널에서 발생할 수 있는 오류만 수정함으로써 이 특수한 경우에 대한 정리를 증명합니다.

정리(해시 경계).다음과 같은 형태의 Pauli 채널에 대해 $R=1-H\left(\mathbf {p} \right)$ 한계 $R=1-H\left(\mathbf {p} \right)$ $R=1-H\left(\mathbf {p} \right)$ 1 - $R=1-H\left(\mathbf {p} \right)$ ( $R=1-H\left(\mathbf {p} \right)$ p ) { $displaystyle$ R = $1-H\$ left(\ $mathbf {p}$ \ $right)}$ 를 $R=1-H\left({\mathbf {p}}\right)$ 달성하는 스태빌라이저 양자 오류 수정 코드가 있습니다.

\displaystyle \rho \mapsto p_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}

$\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ 서 p $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ ( $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ I $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ , $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ X , $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ , $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ ) { $displaystyle \mathbf {p}$ = \ $left(p_{I}$ , $p_{X}}$ 및 $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ $)$ { $displaystyle$ H $\left(\mathbf {p}\right})$ 는 $H\left({\mathbf {p}}\right)$ 이 엔트로피 벡터 확률입니다.

증명. 일반적인 오류만 수정하는 것을 고려하세요.즉, 다음과 같이 일반적인 에러 세트를 정의하는 것을 검토해 주십시오.

T_{\delta}^{n}\mathbf {p}^{n}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert - {\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{})E_{a^{n}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p}\right)\right\vert \leq \delta \right\

$a^{n}$ 서 n $(\$ a $^{n$ 은 $\left\{I,X,Y,Z\right\}$ 문자 $\left\{I,X,Y,Z\right\}$ { $I$ X $\left\{I,X,Y,Z\right\}$ $\left\{I,X,Y,Z\right\}$ $}(\$ \{ $I, X, Y, Z\$ right\}) $\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}$ 및 $\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}$ { $\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}$ $\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}$ n $\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}$ }(\displaystyle $\Pr$ \ $left\})$ 로 구성된 시퀀스입니다. $E_{a^{n}}\right\}$ 는 $\Pr \left\{E_{{a^{{n}}}}\right\}$ IID Pauli 채널이 어떤 텐서 프로덕트 $E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}$ a $E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}$ a 1 $E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}$ $E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}$ n $E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}$ { $displaystyle E_{a^{n}\equiv E_{a_{$ 1}\ $otimes \cdots$ \{ $a$ { $n}}}$ 을 발행할 확률입니다.이 전형적인 세트는 다음과 같은 점에서 생각할 수 있는 오류로 구성됩니다.

\displaystyle \sum _{\delta }^{\mathbf {p}^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon,}

$\epsilon >0$ > $\epsilon >0$ \ $displaystyle$ \ $silon$ > $0$ su $\epsilon >0$ su su n \ $displaystyle$ n $.$ $for$ 。이 경우 스태빌라이저 ${\mathcal {S}}$ S $(\$ {\ $mathcal {S})$ 의 ${\mathcal {S}}$ 오류 정정 조건은^[4] { $E$ $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ n : a $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ t $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ p $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ { $displaystyle$ \ { $E$ _ { $a$ ^ { $n$ } : $a$ ^ { $n$ } \ $in$ T _ { \ $deltelta$ }^{\ $mathb {$ $p$ } } } $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ } } { n } { n } { n } { n } { n } } { n } { n } } } } } } $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ of $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ set

\displaystyle E_{a^{n}^{\dagger}E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}},

$a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ 오류 $E_{a^{n}}$ $E_{a^{n}}$ $(\$ E_ ${a^{n})$ $E_{b^{n}}$ $E_{b^{n}}$ n(\ $display E_{b^{n})$ 에 $E_{{b^{{n}}}}$ 대해 n $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ n $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ T $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ p $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ { $displaystyle$ a $^{n}, b^{n}\in$ T_ ${\deltelta$ }^{p $}{\mathbf {p}{$ n $})$ 를 $a^{{n}},b^{{n}}\in T_{{\delta }}^{{{\mathbf {p}}^{{n}}}}$ $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ 합니다. $여기$ 서 S $N({\mathcal {S}})$ $mathcal {S$ 또, 스태빌라이저 코드의 랜덤 선택에서의 에러 확률의 예측도 고려되고 있습니다.

다음과 같이 진행합니다.

{\mathcal {S}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E}_{\mathcal {S}\left\{a^{n}}\Pr \left\{}E_{a^{n}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}}{\text{\mathcal {S}\right\}\leq \mathbbb {E}_{\mathcal {S}\}\left_{n}}}에서 수정할 수 없습니다.E_{a^{n}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{}}}{\mathcal {S}\right\}+\epsilon \&=_{a^{n}\in T_{\delta}\mathb}^f}{p}{f}{f}}{\mathcal {\f}}}}{\mathcal {\mathcal}}}{\mathcal {\f}}}}}}}}E_{a^{n}\right\}\mathbb {E}_{\mathcal {S}}\left(E_{a^{n}}){\text{\mathcal {S}}\right}\epsilon \&={n}_n}_mathcal {E}_{\mathcal {S}에서 수정 불가}_{\mathcal {\cal {S}_{\cal {S}\}_n}_n}_n}_n}_n}_mathcal {\}_E_{a^{n}\right\}\Pr_{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{는 }}{\mathcal {S}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}}에서 수정할 수 없습니다.\text{

첫 번째 등식은 정의에 따라 다음과 같습니다. $(\$ 는 ${\mathcal {I}}$ $(\$ 가 $E_{{a^{{n}}}}$ S $(\$ 에서 ${\mathcal {S}}$ 보정할 수 없는 $E_{a^{n}}$ 1과 같고, 그렇지 않은 경우 0과 같습니다.첫 번째 부등식이 뒤따릅니다.왜냐하면 비정형 오차 집합에는 무시할 수 있는 확률 질량이 있기 때문입니다.두 번째 평등은 기대와 합계를 교환함으로써 뒤따른다.지시 함수의 기대치는 선택한 사건이 발생할 확률이기 때문에 세 번째 등식이 뒤따릅니다.계속해서, 우리는

{\displaystyle =\sum _{\delta }^{\mathbf {p}^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}\right\}\Pr _{\mathcal {S}\left\{\exists E_{b^{n}:b^{n}\in T_{\delta}^{p}^{n}},\mathbf {p},\neq a^{n},\d}^{n}^agger}^{n}}}^{n}}}}}}}}}}}}}\agger.

\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}\right\}\Pr _{\mathcal {S}\left\{\exists E_{b^{n}:b^{n}\in T_{\delta}^{p}^{n}},\mathbf {p},\neq a^{n},\d}^{n}^agger}^{n}}}^{n}}}}}}}}}}}}}\agger.

=\sum _{\delta }^{\mathbf {p}^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}\right\}\Pr _{\mathcal {S}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta}^{\mathbf {p}^{n}},\neq a^{n}E_{a{n}}\dagger {n}\dagger}

\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta}^{\mathbf {p}^{n}},\b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{}E_{a^{n}\right\}\Pr_{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}^{\dagger}E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right\})

\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta}^{\mathbf {p}^{n}},\b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{}E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}}

\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]2^{-\left(n-k\right)}}

(\displaystyle = 2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)]-k/n-3\display \right]).}

첫 번째 부등식은 양자 안정기 코드의 오류 수정 조건으로부터 $N\left({\mathcal {S}}\right)$ 여기서 N( $S)$ { $style$ N $\left({\mathcal$ ${$ $S}}\right)}$ 은 $N\left({\mathcal {S}}\right)$ S $(\$ 의 정규화입니다.첫 번째 부등식은 코드 내의 잠재적 축퇴를 무시함으로써 수정 불가능한 오류를 간주합니다. $N\left({\mathcal {S}}\right)$ N $)$ { $displaystyle$ N $\left({\mathcal {S}\right)}$ 에 $N\left({\mathcal {S}}\right)$ 있으며 N $N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)$ S $N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)$ N( $)$ { $displaystyle$ N $\left({\mathcal {S}}\right)\backslash$ {mathcal { $S}\mathcal$ {S}\mathcal {\}\}\}\}\ $light($ 왼쪽)\cal N(왼쪽)\cal(왼쪽 $)\$ cal(왼쪽)\cal {\ $N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)$ }\두 번째 평등은 존재 기준과 사건의 결합에 대한 확률이 동등하다는 것을 깨닫는 것으로 뒤따른다.두 번째 불평등은 조합의 경계를 적용함으로써 뒤따른다.세 번째 부등식은 고정 $E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}$ $E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}$ $E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}$ n $E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}$ E $E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}$ n {\ $display$ E_ ${a^{n}}^{\dagger}E_{b^{n}}}$ 가 $E_{{a^{{n}}}}^{{\dagger }}E_{{b^{{n}}}}$ 랜덤 스태빌라이저 연산자와 동일하지 않을 확률을 다음과 같이 상한으로 할 수 있다는 사실에서 비롯된다.

\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}^{\dagger}}E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right\}=sq {2^{n+k}-1}\leq 2^{-left(n-k\right)}.}

여기서의 이유는 스태빌라이저 코드의 랜덤 선택은 $Z_{1}$ $(\$ ..., $Z_{n-k}$ n - $Z_{n-k}$ (\ $displaystyle Z_{n-k})$ 를 $Z_{{n-k}}$ 고정하고 균일하게 랜덤한 Clifford 유니타리를 수행하는 것과 동등하다는 것이다.고정 연산자가 Z ${\overline {Z}}_{1}$ 1(\ $displaystyle {Z}_{1$ ..., ${\overline {Z}}_{n-k}$ n - $(\$ 와 $\overline {Z}_{{n-k}}$ 통신할 확률은 노멀라이저의 동일성 연산자 수(2 $2^{n+k}-1$ + $2^{n+k}-1$ - $2^{n+k}-1$ { $n$ + k + k - $1$ 를 합계하지 않음)에 불과합니다.비틀림( $2^{2n}-1$ $2^{2n}-1$ { $2^{2n}-1$ $스타일$ 2 $^{2n}-1})$ 위의 경계를 적용한 후 다음 표준성 경계를 활용합니다.

\displaystyle \forall a^{\delta }^{\mathbf {p}^{n}:\Pr \left \{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}

\displaystyle \left \vert T_{\delta }^{\mathbf {p}^{n}\right\vert \left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}

$k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ / $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ - $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ ( $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ p $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ ) - 4 $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ { $display k$ / n $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ = $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$ 1 - H $\ left$ ( \ $mathbf$ { $p$ } \ $right$ )- $4$ \ $display$ }인 한 오류 확률에 동일한 바운드를 가진 안정기 코드 선택이 임의로 작아진다는 결론을 내린다.

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양자 컴퓨팅

레퍼런스

^ Seth Lloyd (1997). "Capacity of the noisy quantum channel". Physical Review A. 55 (3): 1613–1622. arXiv:quant-ph/9604015. Bibcode:1997PhRvA..55.1613L. doi:10.1103/PhysRevA.55.1613. S2CID 5555850.
^ Peter Shor (2002). "The quantum channel capacity and coherent information" (PDF). Lecture Notes, MSRI Workshop on Quantum Computation.
^ Igor Devetak (2005). "The private classical capacity and quantum capacity of a quantum channel". IEEE Transactions on Information Theory. 51: 44–55. arXiv:quant-ph/0304127. doi:10.1109/TIT.2004.839515. S2CID 12246393.
^ 를 클릭합니다Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, ISBN 9780521635035.

Wilde, Mark M., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press, eprint arXiv:1106.1145에서도 구할 수 있습니다.

[Lloyd1997-1] Seth Lloyd (1997). "Capacity of the noisy quantum channel". Physical Review A. 55 (3): 1613–1622. arXiv:quant-ph/9604015. Bibcode:1997PhRvA..55.1613L. doi:10.1103/PhysRevA.55.1613. S2CID 5555850.

[Shor2002-2] Peter Shor (2002). "The quantum channel capacity and coherent information" (PDF). Lecture Notes, MSRI Workshop on Quantum Computation.

[Devetak2005-3] Igor Devetak (2005). "The private classical capacity and quantum capacity of a quantum channel". IEEE Transactions on Information Theory. 51: 44–55. arXiv:quant-ph/0304127. doi:10.1109/TIT.2004.839515. S2CID 12246393.

[NC-4] 를 클릭합니다Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, ISBN 9780521635035.

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