양자 계수 알고리즘

양자 카운트 알고리즘은 특정 검색 문제에 대한 솔루션 수를 효율적으로 카운트하기 위한 양자 알고리즘입니다.이 알고리즘은 양자 위상 추정 알고리즘과 그로버의 검색 알고리즘을 기반으로 합니다.

계수 문제는 통계 추정, 통계 물리학, 네트워킹 등 다양한 분야에서 공통적으로 발생합니다.양자컴퓨팅에서는 Grover의 검색 알고리즘을 사용하기 위해서는 양자계수를 효율적으로 실행할 수 있는 능력이 필요합니다(Grover의 검색 알고리즘을 실행하려면 얼마나 많은 솔루션이 존재하는지 알아야 합니다).게다가 이 알고리즘은, 양자 존재의 문제(즉, 솔루션이 존재하는지 아닌지의 판단)를 특수한 케이스로서 해결한다.

이 알고리즘은 Gilles Brassard, Peter Höyer 및 Alain Tapp에 의해 1998년에 고안되었습니다.

문제

$N=2^{n}$ N $N=2^{n}$ $N=2^{n}$ n $\{0,1\}^{n}$ $displaystyle$ N $=2^{n})$ 의 $N=2^n$ 유한 $\{0,1\}^{n}$ 집합 { $\{0,1\}^{n}$ $\{0,1\}^{n}$ 1 $\{0,1\}^{n}$ $\{0,1\}^{n}$ $\{0,1\}^{n}$ ({displaystyle $\{0,1\}^{$ $n})$ 과 $\{0,1\}^{n}$ "displaystyle B $"$ 의 $B$ 집합 { $\{0,1\}^{n}$ ,1\} n $({$ 을 생각해 보겠습니다.정의:

{cases} f:\left\{0,1\right\}^{n}\to\{0,1\}\f(x)=cases}1&x\in B\end {cases}\end {cases}

즉, f ${displaystyle$ f $}$ 는B $f$ { $displaystyle$ B $B$ 의 인디케이터 함수입니다.

$M=\left\vert f^{-1}(1)\right\vert =\vert B\vert$ M $M=\left\vert f^{-1}(1)\right\vert =\vert B\vert$ - $M=\left\vert f^{-1}(1)\right\vert =\vert B\vert$ ( $M=\left\vert f^{-1}(1)\right\vert =\vert B\vert$ ) $=$ $M=\left\vert f^{-1}(1)\right\vert =\vert B\vert$ ${\$ M=\ $left\vert$ f $^{-1}(1)\right\vert$ =\ $vert$ B $\vert$ ^[1]의 수를 계산합니다.

고전적 솔루션

$솔루션$ B $세트($ $또는$ 함수f의 $구조$ ) $B$ 에 대한 사전 지식이 없으면 기존의 결정론적 솔루션은 $\Omega (N)$ ( $)$ 보다 성능이 우수할 수 없습니다.{ $\{0,1\}^{n}$ , $\{0,1\}^{n}$ $\{0,1\}^{n}$ $n$ 의 $\{0,1\}^{n}$ 모든{\ $display style$ \ Omega ( $N)$ $\Omega (N)$ 요소 $N$ ({ display $style$ $\ 0$ , 1 \ 1 \ 1 $\{0,1\}^{n}$ } $\{0,1\}^{n}$ ）。 $^{n})$ 검사해야 $\{0,1\}^{n}$ 합니다(마지막 검사 원소가 용액인 경우).

알고리즘

양자 계수 회로

세우다

입력은 두 개의 레지스터(즉, 두 부분)로 구성됩니다. $상위$ p $\displaystyle$ pbit는 $p$ 첫 번째 레지스터를 구성하고 $하위$ n $\displaystyle$ nbit는 $n$ 두 번째 레지스터를 구성합니다.

중첩 생성

시스템의 초기 상태는 $|0\rangle ^{\otimes p}|0\rangle ^{\otimes n}$ $|0\rangle ^{\otimes p}|0\rangle ^{\otimes n}$ $|0\rangle ^{\otimes p}|0\rangle ^{\otimes n}$ p 0 $|0\rangle ^{\otimes p}|0\rangle ^{\otimes n}$ n $|0\rangle ^{\otimes p}|0\rangle ^{\otimes n}$ { $displaystyle$ 0 \ $rangle$ ^ { \ $otimes$ p $} 0$ \ $rangle$ ^ { \ $otimes$ n $|0\rangle ^{\otimes p}|0\rangle ^{\otimes n}$ 입니다.각 레지스터에 여러 비트의 Hadamard 게이트 조작을 개별적으로 적용한 후 첫 번째 레지스터의 상태는 다음과 같습니다.

(\displaystyle {1}{2^{p/2}}) (0\rangle + 1\rangle)^{\otimes p}

두 번째 레지스터의 상태는

{1}{2^{n/2}}(0\rangle + 1\rangle)^{\otimes n}=sum _{x=0}^{N-1}x\rangle

계산기반의 동등한 중첩 상태.

그로버 연산자

공간의 크기가 $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ { $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ n $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ {\ $displaystyle \left\vert$ \{ $0,1\}^{n}\right\vert =2^{n$ }= $N}$ 이고 $\left\vert \{0,1\}^{n}\right\vert =2^{n}=N$ 솔루션 $\left\vert B\right\vert =M$ 는 B $\left\vert B\right\vert =M$ { $displaystyle \left\vert$ B $\right\vert =M$ 이므로 정규화된 ^[2]^{: 252}상태를 정의할 수 있습니다.

\displaystyle \alpha \rangle = sum _ {x\notin B} { x\rangle },\qquad {text {and}}\qquad \rangle =sum frac {1}{\langrt {M}}\sum _x\in B\rangle }

주의:

\displaystyle {\frac {N-M} \alpha \rangle +{\frac {M} {N}} \sum _ {x=0} {n-1} {x\rangle }

이것은 Hadamard 변환 후의 두 번째 레지스터 상태입니다.

Grover 알고리즘의 기하학적 시각화는 α ${\$ {\ $displaystyle \alpha$ \rangle $}$ $|\beta \rangle$ β ${\$ {\ $displaystyle \beta \rangle$ 에 의해 확장된 2차원 공간에서 Grover 연산자는 시계 반대방향으로 회전하므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

(\displaystyle G=bgin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \sin \theta &\cos \theta \end {bmatrix})

직교 정규 기준 $\{|\alpha \rangle ,|\beta \rangle \}$ { $\{|\alpha \rangle ,|\beta \rangle \}$ $\{|\alpha \rangle ,|\beta \rangle \}$ 、 β $}$ { $displaystyle \{$ \ $alpha \rangle$ , $\displaystyle$ \ $rangle$ \} $\{|\alpha \rangle ,|\beta \rangle \}$ ^[2]^{: 252}^[3]^{: 149}。

회전행렬의 속성에서 G $(\displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 2개의 $e^{\pm i\theta }$ e ± $e^{\pm i\theta }$ ${\$ {\ $displaystyle$ e $^{\pm$ i $\theta$ ^[2]^{: 253}를 갖는 단일행렬임을 알 수 있습니다.

$§$ 의 값 $추정(\$ displaystyle \ $theta)$

여기서부터는 양자 위상 추정 알고리즘 방식을 따른다: 제어된 그로버 연산을 적용한 후 역양자 푸리에 변환을 적용하며, 분석에 따르면 실수에 대한 $p$ 의 p $\displaystyle$ p $\$ $theta$ } $\theta$ ( $e^{\pm i\theta }$ e에 준함)를 $p$ 찾을 수 있다. $e^{\pm i\theta }$ $($ 연산자의 \displaystyle e $^{\pm$ i $\theta$ })이며 $e^{\pm i\theta }$ , 확률은 4⁄ $(\displaystyle {4}{\pi$ ^{ $2}}})$ 보다 높습니다 ${\frac {4}{\pi ^{2}}}$ ^[4]^{: 348}^[3]^{: 157}

두 번째 레지스터는 실제로 그로버 연산자의 고유 벡터의 중첩에 있습니다(원래 양자 위상 추정 알고리즘에서는 두 번째 레지스터가 필수 고유 벡터입니다).즉, 어느 정도 개연성이 $\theta$ 경우 ${\(\displaystyle$ $\$ $theta$ 에 가깝고, 어느 정도 개연성이 있을 경우 2 - $2\pi -\theta$ - $θ$ (\ $displaystyle$ 2 $\pi$ -\theta $2\pi -\theta$ 에 ^[2]^{: 224–225}가깝다는 것입니다.

분석.

공간의 $크기$ N(\ $displaystyle$ N $)$ 이 $N$ 솔루션 수의 2배 이상이라고 $M\leq {\tfrac {N}{2}}$ 할 때(즉, M $M\leq {\tfrac {N}{2}}$ $M\leq {\tfrac {N}{2}}$ 2(\ $displaystyle$ M $\leq\tfrac {N}{2}})$ Grover 알고리즘 분석 결과는 다음과 같습니다.^[2]^{: 254}

{\displaystyle\sin\frac{theta}{2}={frac{M}}이 아닙니다.}

$\theta$ ${\$ { $displaystyle \theta$ 를 찾으면M{ $displaystyle$ M} $M$ 의 값도 찾을 수 있습니다(N { $displaystyle$ N}을 $N$ 알 수 있기 때문입니다).

에러

(\displaystyle {\frac {\delta M\vert } {N} = \left\vert \sin ^{2} \frac {\theta +\Delta \theta } {2} ) - \sin ^{2} \frac {\frac {\t } \\right ）

는, $\theta$ 「\ $displaystyle \theta$ 의 값의 추정치내의 오차에 의해서 결정됩니다.양자 위상 추정 알고리즘에서는, $「\displaystyle\theta$ 의 $p$ $p$ 인 p $\$ displaystyle p 비트의 근사치를 높은 확률로 검출합니다.즉 $,$ p {\ $displaystyle$ p $p$ }가 충분히 $크면$ , $\Delta \theta \approx 0$ ≈ $\Delta \theta \approx 0$ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ $\Delta \theta \approx 0$ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { ≈ $\displaystyle \Delta \theta \approx$ 0 $\Delta \theta \approx 0$ $\vert \Delta M\vert \approx 0$ $\vert \Delta M\vert \approx 0$ \ $displaystyle \ vert$ \ $Delta$ M \ $vert$ \ $about$ 0 $\vert \Delta M\vert \approx 0$ ^[2]^{: 263}。

사용하다

초기에 알려지지 않은 수의 솔루션에 대한 Grover 검색 알고리즘

Grover 검색 알고리즘에서는 반복 횟수는 ${\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {N}{M}}}$ 4 ${\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {N}{M}}}$ 입니다.{ style \ $frac$ { $pi$ } { 4 } { \ $sqrt$ \ $frac$ { ${\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {N}{M}}}$ N ${\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {N}{M}}}$ } { $M$ } ${\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {N}{M}}}$ ^[2]^{: 254}。

따라서 양자계수 알고리즘에 의해N{ $displaystyle$ N $}$ 을 $N$ 알고 M ${displaystyle$ M $}$ 을 $M$ $N$ 하면 Grover 알고리즘의 반복 횟수를 쉽게 계산할 수 있다.

NP-완전 문제의 고속화

양자계수 알고리즘은 NP-완전한 문제에 대한 해결 속도를 높이기 위해 사용할 수 있습니다.

NP-완전 문제의 예로는 그래프 $G=(V,E)$ $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G = ( $V,$ E)}에 $G=(V,E)$ 해밀턴 사이클이 있는지 여부를 판단하는 문제가 있습니다.

해밀턴 사이클 문제에 대한 간단한 해결책은 $G$ 의 정점 순서 $(\displaystyle$ G $G$ 에 대해 해밀턴 사이클인지 여부를 확인하는 것입니다.그래프 정점의 가능한 모든 순서를 검색하는 것은 양자 카운팅에 이어 그로버 알고리즘으로 이루어지며 그로버 ^[2]^{: 264}알고리즘과 유사하게 제곱근의 속도를 높일 수 있습니다.이 접근방식은 해밀턴 사이클(존재하는 경우)을 찾습니다.해밀턴 사이클이 존재하는지 여부를 판단하기 위해서는 양자 계수 알고리즘 자체로도 충분합니다(그리고 아래에 설명된 양자 존재 알고리즘도 충분합니다).

양자 존재 문제

양자 존재 문제는 양자 계수의 특수한 경우로 $,$ M(\ $displaystyle$ M $M$ 의 $M$ 을 계산하고 싶지 않지만 M ${\$ 0(\ $displaystyle M\neq$ 0 $)$ ^[5]^{: 147}인지 $M\neq 0$ 여부만 알고 싶습니다.

이 문제에 대한 간단한 해결책은 양자계수 알고리즘을 직접 사용하는 것입니다.알고리즘은 M $(\displaystyle$ M $M$ 0)을 산출하기 때문에 M ${\$ 0(\ $displaystyle M\neq$ 0 $)$ $M\neq 0$ 를 $M\neq 0$ 체크함으로써 존재 문제에 대한 답을 얻을 수 있습니다.이 접근법에는 M $(\displaystyle$ M $M$ 의 값에 관심이 없기 때문에 일부 오버헤드 정보가 포함됩니다.양자 위상 추정을 최적화하여 이 오버헤드를 제거할 수 있습니다. 즉, 로그 $\log ^{3}(N)$ ( $\log ^{3}(N)$ ) $\log ^{3}(N)$ \ $display$ style \ $log$ $^{3}$ $( N$ ) }에서 $\log ^{3}(N)$ $\log ^{3}({\sqrt {N}})$ 3 $\log ^{3}({\sqrt {N}})$ ⁡ ( $\log ^{3}({\sqrt {N}})$ )로 계산 $복잡성$ 을 줄일 수 있습니다 $.$ $^{3}({\sqrt {N}}})$ 입니다 $\log ^{3}({\sqrt {N}})$ ^[5]^{: 148}

오류 확률 제어에 관심이 없는 경우 상위 레지스터에서 소수의 큐비트를 사용하여 설정했을 $\theta$ ${\$ {\ $displaystyle \theta$ $\theta$ 의 값을 정확하게 추정할 수 없지만M {\ $displaystyle$ M $}$ 이 $M$ 0인지 ^[2]^{: 263} $M$ 를 판단하기에 충분합니다.

양자 관계 테스트 문제

양자 관계 $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ R $QRT(value,relation)$ ( $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ e , $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ $QRT(value,relation)$ n $){$ $displaystyle$ QRT $( value$ , $relation$ ) } $QRT(value,relation)$ 。는 양자 존재 테스트의 확장입니다.데이터베이스에서 특정 기준값과의 관계를 충족하는 엔트리를 적어도1개 찾을 수 있는지 여부를 판단합니다.^[6] $QRT(5,>)$ : Q $QRT(5,>)$ T $QRT(5,>)$ ( 5 $QRT(5,>)$ , $QRT(5,>)$ ) ( \ $displaystyle$ QRT ( $5$ , $QRT(5,>)$ > ) ) 。데이터베이스에 $QRT(5,>)$ 5보다 큰 값이 포함되어 있으면 NO가 반환됩니다.클래식 로그 검색과 조합된 양자 관계 테스트는 효율적인 양자 최소/최대 검색 알고리즘을 형성합니다.^[5]^{: 152} ^[7]

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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