스테인 코드

Steane 코드는 Andrew Steane이 1996년에 도입한 양자 오류 수정 도구입니다.이는 CSS 코드(Calderbank-Shor-Steane)로, 큐비트 플립 오류(X 오류)에 대해서는 해밍 코드를 수정하고 위상 플립 오류(Z 오류)에 대해서는 해밍 코드의 듀얼인 [7,3,4] 코드를 사용하여 수정합니다.Steane 코드는 7개의 물리 큐비트에 1개의 논리 큐비트를 인코딩하여 임의의 단일 큐비트 오류를 수정할 수 있습니다.

표준 형식의 체크 매트릭스는 다음과 같습니다.

(\displaystyle \ bmatrix \H&0&H\end{bmatrix}}

여기서 H는 Hamming 코드의 패리티 체크 매트릭스이며 다음과 같이 표시됩니다.

({displaystyle H=begin{bmatrix}1&0&1&1&1&1\0&1&1&1\0&1&1\end{bmatrix})}

$[[7,1,3]]$ [ $[[7,1,3]]$ , $[[7,1,3]]$ , $3$ $displaystyle$ ]][ $7$ , 1 , 3 $[[7,1,3]]$ ]스틴 $[[7,1,3]]$ 코드는 양자 해밍 코드 패밀리에서 최초이며 $r\geq 3$ $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ r - $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ - $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ , $]{$ $displaystyle [[ 2$ ^ { $r }-1$ , 2 $r\geq 3$ { $r$ }-1 $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ - $r$ , 3 $r\geq 3$ }\ display $style$ r $displaydisplaydisplaydisplay$

스태빌라이저 형식주의의 표현

양자오류수정부호에서 코드스페이스는 모든 논리상태가 존재하는 전체 힐버트 공간의 부분공간이다. $n$ $\$ $displaystyle$ n-qubit $n$ stabilizer 코드에서는 모든 논리 상태를 안정화하는 n\ $displaystyle$ n-qubit $n$ $Pauli$ 연산자의 집합인 Pauli 안정화 그룹으로 이 서브스페이스를 설명할 수 있습니다.스태빌라이저 형식주의는 스태빌라이저 코드의 코드스페이스를 정의하기 위해 Pauli 안정화 그룹을 지정합니다.생성자를 나열함으로써 기하급수적으로 큰 그룹을 효율적으로 설명할 수 있습니다.

Steane 코드는 7개의 물리 큐비트에 1개의 논리 큐비트를 인코딩하므로 Steane $코드$ 의 코드 공간은 $2^{7}$ 의 $2^{7}$ 의 $2^7$ $2차원$ 공간입니다 $.$

스태빌라이저 형식에서 Steane 코드에는 6개의 제너레이터가 있습니다.

디스플레이 스타일IIIXXXX\&IXXIIX\&IXIXIX\&IIZZZ\\&IZIZ\&ZIZIZ.\end {aligned}}

위의 각 발전기는 7개의 단일 큐비트 Pauli 연산의 텐서 곱이라는 점에 유의하십시오. $예$ 를 $IIIXXXX$ 들어 $I$ $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ $I$ $X$ $X$ $X$ X X X X X XX X X X X X X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X X X X X X X X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X X X X X X X X X X X X X X X $X$ X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X X X X $X$ X X X X X X X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X X X X X X X X X X X X X X X X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ X X X X X X X X X텐서 곱은 간결성을 위해 표기법에서 종종 생략된다.

$논리$ X $Z$ 와 $X$ Z $게이트$ 는 $Z$ 다음과 같습니다 $.$

{\displaystyle\begin{aligned}X_{L}&=XXXXXX\Z_{L}&=ZZZZZ\end { aligned}}

Steane 코드의 $|0\rangle$ 0 $|0\rangle$ {\({ $displaystyle$ 0 $\rangle})$ 및 $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|1\rangle$ {\({ $displaystyle$ 1 $\rangle})$ 상태는 다음과 같습니다.

{argel} 0\rangle _{L}=& 0000000\rangle + 10101\rangle + 11001\rangle + 101101010\rangle + 01100\rangle + 1\rangle _{L}_X}\end { aligned}

임의의 코드스테이트는 $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ ⟩ $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ + β 1 $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ L { $displaystyle \psi$ \rangle = \ $alpha$ 0 \ $rangle$ _ { L } + \ $beta$ 1 \ $rangle$ _ { L $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ } 。