라마누잔 소수

수학에서 라마누잔 소수는 스리니바사 라마누잔이 소수계수 함수와 관련하여 증명한 결과를 만족시키는 소수이다.

기원과 정의

1919년, 라마누잔은 베르트랑의 가설에 대한 새로운 증거를 발표했는데, 그가 언급했듯이, ^[1]체비셰프에 의해 처음으로 증명되었다.2페이지 분량의 논문의 마지막에 Ramanujan은 다음과 같은 일반화된 결과를 도출했습니다.

$\displaystyle \pi (x)-\pi \frac {x}\right)\geq 1,2,3,4,5\ldots {text}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {text{각}$ OEIS: A104272

여기서${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ ($x )\$displaystyle $\pi (x)$는 소수점 함수이며 x보다 작거나 같은 소수점과 같습니다.

이 결과의 반대는 라마누잔 소수의 정의이다.

n번째 라마누잔 소수는 모든 x µ_n ^[2]R에 대해${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle x\mathrm{})}$ -${\displaystyle \theta }$ n$,$ \$displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq$ n$,}$인 최소 정수_n R입니다.즉, 라마누잔 소수는 모든 xθR에_n 대해 x에서 x/2 사이의 소수가 n개 이상인 최소 정수_n R이다.

따라서 처음 5개의 라마누잔 소수는 2, 11, 17, 29, 41이다.

정수_n R은 반드시 $소수인{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) - ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$) {$display \pi ($ x / 2$)$}이므로$$ x_n = R에서 다른 소수를 $)$ ( ${\displaystyle x}$) {$displaystyle \pi$ ($$x )}가$$ 증가해야 합니다.${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) - ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$) { $displaystyle \pi ( x$ ) - \$pi ( x$ / 2$)$}는 최대 1까지 증가할 수 있습니다.

$\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \leftfrac {R_{n}}{2}}\right)}$

한계 및 점근 공식

$모든{\displaystyle }$ n$1$의 경우(\$displaystyle$ n$\geq$1$),$

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}$

보류. n> { $displaystyle$ n > $1$인 경우, 또한

${\displaystyle p_{2n} <R_{n} <p_{3n}}$

여기서_n p는 n번째 소수입니다.

n은 무한대 경향이 있으므로, R은_n 2n번째 소수에 대해 점근적이다.

R_n ~ p_2n (n → ） 。

Raishram(2010)^[4]이 추측하고 증명한 상한_n R < p를_3n 제외하고 이 모든 결과는 손도(2009)^[3]에 의해 증명되었다.Sondow, Nicholson 및 Noe(2011)^[5]에 의해 그 범위가 개선되어

${\displaystyle R_{n}\leq {frac {414}{47}\p_{3n}}$

이는 n = 5에 대한 등식이므로 R µ c·p의_3n 최적_n 형태이다.

레퍼런스