타비트 수

타비트 프라임
이름을 따서 명명됨	타빗 이븐 쿠라
용어의 추측	무한
부분적합성	타비트 수
제1항	2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431
OEIS 지수	A007505

수 이론에서 타비트 수, Thbit ibn 쿠라 수 또는 321 수는 비 음의 정수 n에 대한 $3\cdot 2^{n}-1$ $3\cdot 2^{n}-1$ ⋅ $3\cdot 2^{n}-1$ $3\cdot 2^{n}-1$ - 1 ${\displaystyle 3\cdot$ 2 $^{n}-1}$ 형식의 정수다.

처음 몇 개의 타비트 숫자는 다음과 같다.

2, 5, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196303, 393215, 786431, 1572863, … (OEIS의 경우 후속 A055010)

9세기 수학자, 의사, 천문학자, 번역가 타빗 ibn 쿠라는 이 숫자와 우호적인 숫자의 관계를 연구한 최초의 인물로 인정받고 있다.^[1]

특성.

타비트 번호 3/2-1의ⁿ 이진 표현은 n+2자리 숫자로, "10"과 n 1s로 구성된다.

프라임인 처음 몇 개의 타비트 숫자(타비트 프라임 또는 321 프라임):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ...(OEIS에서 순서 A007505)

2021년^[update] 9월 현재 알려진 프라임 타비트 수는 64개다. 이들의 n 값은 다음과 같다.^[2]^[3]^[4]^[5]

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, ...(OEIS의 후속 A002235)

234760 ≤ n ≤ 3136255의 소수점은 분산 컴퓨팅 프로젝트 321 검색에 의해 발견되었다.^[6]

2008년에 프라임그리드사는 타비트 프라임 검색을 인수했다.^[7] 그것은 여전히 검색 중이며, 이미 n ≥ 4235414로 현재 알려진 모든 타비트 프라임을 찾아냈다.^[8] 또한 3·2ⁿ+1 형태의 프라임을 찾고 있는데, 이러한 프라임은 2류의 타비트 프라임 또는 2류의 321 프라임이라고 불린다.

두 번째 종류의 첫 번째 몇 개의 타비트 번호는 다음과 같다.

4, 7, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, (OEIS의 경우 연속 A181565)

두 번째 종류의 타비트 프라임은 다음과 같다.

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 2213609288845619393, …(OEIS의 후속 A039687)

이들의 n 값은 다음과 같다.

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, ... (sequence A002253 in the OEIS)

우호적인 숫자와 연결

n과 n-1이 모두 타비트 프라임(첫 번째 종류의)을 산출하고, 9 $9\cdot 2^{2n-1}-1$ 2 $9\cdot 2^{2n-1}-1$ n $9\cdot 2^{2n-1}-1$ - $9\cdot 2^{2n-1}-1$ - $9\cdot 2^{2n-1}-1$ $(\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1$ }-1 $}도$ 프라임일 때, 다음과 $9\cdot 2^{2n-1}-1$ 같이 한 쌍의 우호적인 숫자를 계산할 수 있다.

2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)

and

{\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).

}

예를 들어, n = 2는 타비트 프라임 11을 주고, n-1 = 1은 타비트 프라임 5를 주며, 우리의 세 번째 임기는 71이다. 그 다음, 220에² 2=4, 5와 11을 곱한 결과로서, 2할은 284, 4 곱하기 71은 284로, 2할은 220이다.

이러한 조건을 만족하는 것으로 알려진 유일한 n은 2, 4, 7이며, 이는 n이 주는 타비트 primes 11, 47, 383에 해당하며, n-1이 주는 타비트 primes 5, 23, 191에 해당하며, 우리의 세 번째 조건은 71, 1151, 73727이다. (해당 우호적인 쌍은 (220, 284), (176, 18416), (9358, 94, 947056)

일반화

정수 b ≥ 2의 경우, 타비트 수 b는 음이 아닌 정수 n의 형태(b+1)와 b - 1의ⁿ 숫자다. 또한 정수 b ≥ 2의 경우, 2종 b의 Thabit 번호는 (b+1)/bⁿ + 1이 아닌 정수 n의 형식 번호다.

윌리엄스 수 또한 타비트 수들의 일반화다. 정수 b ≥ 2의 경우 Williams 숫자 b는 음이 아닌 정수 n에 대한 형식(b-1) 및 bⁿ - 1의 숫자다.^[9] 또한 정수 b ≥ 2의 경우, 제2종 b의 윌리엄스 번호는 (b-1)·bⁿ + 1이 아닌 정수 n의 형식 번호다.

정수 b ≥ 2의 경우, 타비트 프라임 베이스 b는 또한 프라임인 타비트 숫자 베이스 b이다. 마찬가지로 정수 b ≥ 2의 경우 윌리엄스 프라임 베이스 b는 역시 프라임인 윌리엄스 숫자 베이스 b이다.

prime p는 제1종 base p의 Thabit prime, 제1종 base p+2의 Williams prime, 제2종 base p의 Williams prime이다; 만약 p ≥ 5라면 p도 제2종 base p-2의 Thabit prime이다.

모든 정수 b ≥ 2에는 1종 b의 타비트 프라임이 무한히 많고, 1종 b의 윌리엄 프라임이 무한히 많으며, 2종 b의 윌리엄 프라임이 무한히 많다는 추측이다. 또한, 1모듈로 3에 합치되지 않은 모든 정수 b ≥ 2에는 무한히 많은 티비트 프라임이 있다. b. (base b가 1 modulo 3에 합치되면, 2종 b의 모든 Thabit 번호는 3(b ≥ 2 이후 3 이상)으로 분할되므로 2종 b의 Thabit primes는 없다.)

2종류의 타비트 프리임의 지수는 1모드 3(1자체 제외), 1종류의 윌리엄 프리임의 지수는 4모드 6과 일치할 수 없으며, 2종류의 윌리엄스 프리임의 지수는 1모드 6(1자체 제외)과 일치할 수 없다. 왜냐하면 해당 다항식은 축소 가능한 다항식이기 때문이다. 만약 n4모드 6≡(만약, 그때(b+1 1모드 3≡)·bn+1b2로+b+1;가분이 있다면, − 1b2−에 의해 b+1 나누어 진다;그리고 n≡ 1모드 6, 그때(b−1)·bn+1b2−으로 나누어 떨어진다(b−1)·bn b+1) 그렇지 않으면, 해당 다항식에 b는 기약 다항식, 만약 부냐 콥스키 추측은 사실 다음은 무한히 많은 기지 b 그런 번째.흙에서e 해당 숫자(조건을 만족하는 고정 지수 n의 경우)는 prime이다. (b+1)/bⁿ - 1은 모든 비 음의 정수 n에 대해 rereducable이므로, 만약 Bunyakovsky 추측이 사실이라면, 해당 숫자(고정 지수 n의 경우)가 prime일 정도로 b가 무한히 많다.

b	n (b+1)/bⁿ - 1과 같은 숫자 (제1종 베이스 b의 타비트 프라임)	n (b+1)/bⁿ + 1과 같은 숫자 (제2종 베이스 b의 타비트 프라임)	n (b-1)/bⁿ - 1과 같은 숫자 (윌리엄스는 1종 베이스 b)	n (b-1)/bⁿ + 1과 같은 숫자 (윌리엄스는 2종 베이스 b)
2	OEIS: A002235	OEIS: A002253	OEIS: A000043	0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (페르마트 프라임 참조)
3	OEIS: A005540	OEIS: A005537	OEIS: A003307	OEIS: A003306
4	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ...	(iii)	OEIS: A272057	1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ...
5	OEIS: A257790	OEIS: A143279	OEIS: A046865	OEIS: A204322
6	1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ...	1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ...	OEIS: A079906	OEIS: A247260
7	0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ...	(iii)	OEIS: A046866	OEIS: A245241
8	1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ...	1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ...	OEIS: A268061	OEIS: A269544
9	1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ...	0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ...	OEIS: A268356	OEIS: A056799
10	OEIS: A111391	(iii)	OEIS: A056725	OEIS: A056797
11	0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ...	0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ...	OEIS: A046867	OEIS: A057462
12	2, 6, 11, 66, 196, ...	1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ...	OEIS: A079907	OEIS: A251259

(n+1)/n^k - 1이 prime인 최소 k ≥ 1: (n = 2)로 시작)

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

(n+1)/n^k + 1이 prime인 최소 k ≥ 1: (n = 2, 해당 k가 존재하지 않는 경우 0으로 시작)

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

(n-1)/n^k - 1이 prime인 최소 k ≥ 1: (n = 2)로 시작)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

(n-1)/n^k + 1이 prime인 최소 k ≥ 1: (n = 2)로 시작)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

$3^{m}\cdot 2^{n}+1$ $3^{m}\cdot 2^{n}+1$ 3m $3^{m}\cdot 2^{n}+1$ + $3^{m}\cdot 2^{n}+1$ {\ $displaystyle 3^{m$ }\ $cdot 2^{n}+$ 1}는 제2종 $3\cdot 2^{n}+1$ $3\cdot 2^{n}+1$ $3\cdot 2^{n}+1$ + $3\cdot 2^{n}+1$ $3^{n}+1$ 의 Thabit 번호의 일반화다 $3^{m}\cdot 2^{n}+1$ $3\cdot 2^{n}+1$

참조

^ Rashed, Roshdi (1994). The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. 156. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6.
^ [1]
^ [2]
^ [3]
^ 프라임그리드 프라임은 3*2^n - 1을 검색한다.
^ [4]
^ [5]
^ [6]
^ 윌리엄스 프라임즈 목록(최초 종류) 베이스 3 ~ 2049(지수 expon 1)

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Number". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Prime". MathWorld.
Chris Caldwell, The Prime Page에서 가장 큰 것으로 알려진 프라임 데이터베이스
제1종 베이스 2의 타비트 프라임: (2+1)/2^11895718 - 1
제2종 베이스의 타비트 프라임: (2+1)·2^10829346 + 1
윌리엄스 프라임 2: (2-1)/2^74207281 - 1
윌리엄스 1호 베이스 3: (3-1)/3^1360104 - 1
윌리엄스 프라임 2종 베이스 3: (3-1)/3^1175232 + 1
윌리엄스 프라임 1호 베이스 10: (10-1)/10³⁸³⁶⁴³ - 1
윌리엄스 프라임 113: (113-1)/113²⁸⁶⁶⁴³ - 1
윌리엄스 프라임즈
프라임 그리드의 321 프라임 검색, 제1차 종류 베이스의 타비트 프라임 발견: (2+1)/2^6090515 - 1

[Rashed-1] Rashed, Roshdi (1994). The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. 156. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6.

[2] [1]

[3] [2]

[4] [3]

[5] 프라임그리드 프라임은 3*2^n - 1을 검색한다.

[6] [4]

[7] [5]

[8] [6]

[9] 윌리엄스 프라임즈 목록(최초 종류) 베이스 3 ~ 2049(지수 expon 1)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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