커닝햄 체인

수학에서 커닝햄 체인은 소수들의 특정한 순서다.커닝햄 체인점은 수학자 A. J. C. 커닝햄의 이름을 따서 지어졌다.그들은 또한 거의 두 배나 되는 프라임의 사슬이라고도 불린다.

정의

첫 번째 길이 n의 커닝햄 체인(Cunningham chain)은 p = 1_i = i < n. (마지막을 제외한 그러한 체인의 각 용어는 소피 저메인 프라임이고, 첫 번째를 제외한 각 용어는 안전한 프라임이다.)과 같은 소수_i+1(p₁, ..., p_n)의 순서다.

그 뒤를 잇는다.

{\begin{aligned}p_{2}&=2p_{1}+1,\\p_{3}&=4p_{1}+3,\\p_{4}&=8p_{1}+7,\\&{}\ \vdots \\p_{i}&=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1),\end{aligned}}

또는 $a={\frac {p_{1}+1}{2}}$ = $a={\frac {p_{1}+1}{2}}$ $a={\frac {p_{1}+1}{2}}$ + 1 $a={\frac {p_{1}+1}{2}}$ ${\$ a $={\frac {p_{1}+1}{2$ $}}({\$ 는 시퀀스의 일부가 $a$ 아니며 prime 번호가 될 필요는 없음)을 설정함으로써 $p_{i}=2^{i}a-1.$ i $p_{i}=2^{i}a-1.$ = $p_{i}=2^{i}a-1.$ $p_{i}=2^{i}a-1.$ a $p_{i}=2^{i}a-1.$ - 1 ${\displaystyp_{i}=2^{i}a-1$ 을 가지게 된다 $.$ $}$

마찬가지로, 두 번째 종류의 길이 n의 커닝햄 체인은 1 ≤ i < n 모두에 대해 p_i+1 = 2p_i - 1을 나타내는 소수(p₁, ..., p_n)의 순서다.

일반 용어는 다음과 같다.

p_{i}=2^{i-1}p_{1}-(2^{i-1}-1).

이제 $a={\frac {p_{1}-1}{2}}$ = $a={\frac {p_{1}-1}{2}}$ 1 $a={\frac {p_{1}-1}{2}}$ - 1 $a={\frac {p_{1}-1}{2}}$ ${\$ a $={\frac {p_{1$ }- $1}{2$ 를 $p_{i}=2^{i}a+1$ 하면 p $p_{i}=2^{i}a+1$ = $p_{i}=2^{i}a+1$ 2 $p_{i}=2^{i}a+1$ a + 1 + $p_{i}=2^{i}a+1$ 1 {\ $displaystyp_{i}=2^{i}a$ +1}가 된다 $p_{i}=2^{i}a+1$

커닝햄 체인은 또한 고정된 coprime 정수 a와 b에 대해 p_i+1 = ap_i + b 모든 1 ≤ i ≤ n에 대해 소수(p₁, ..., p_n)의 순서로 일반화되기도 한다. 그 결과 체인을 일반화된 커닝햄 체인이라고 한다.

커닝햄 체인(Cunningham chain)은 더 이상 연장할 수 없는 경우, 즉 체인의 이전 용어 및 다음 용어가 소수인 경우 완전하다고 한다.

예

제1종 커닝햄 체인의 완전한 예는 다음과 같다.

2, 5, 11, 23, 47 (다음 숫자는 95가 되겠지만, 그것은 프라임이 아니다.)

3, 7 (다음 숫자는 15가 되겠지만, 그것은 프라임이 아니다.)

29, 59 (다음 번호는 119 = 7×17이지만, 그건 프라임이 아니다.)

41, 83, 167 (다음 숫자는 335가 되겠지만, 그것은 프라임이 아니다.)

89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (다음 숫자는 5759 = 13×443이겠지만, 그것은 프라임이 아니다.)

두 번째 종류의 완전한 커닝햄 체인의 예는 다음과 같다.

2, 3, 5 (다음 숫자는 9가 되겠지만, 그것은 프라임이 아니다.)

7, 13 (다음 숫자는 25일 텐데, 그건 프라임이 아니다.)

19, 37, 73 (다음 숫자는 145가 되겠지만, 그것은 프라임이 아니다.)

31, 61 (다음 숫자는 121 = 11이겠지만², 그것은 프라임이 아니다.)

커닝햄 체인은 "ElGamal 암호 시스템에 적합한 두 가지 설정을 동시에 제공하기 때문에 현재 암호화 시스템에서 유용한 것으로 간주되고 있다.[which]는 이산 로그 문제가 어려운 모든 분야에서 구현될 수 있다."^[1]

커닝햄 체인 최대 규모

그것은 딕슨의 추측과 더 넓은 슈인젤의 가설 H에서 따온 것으로, 둘 다 사실이라고 널리 믿어지는 것으로서, 모든 k에 대해 무한히 많은 커닝햄 체인이 있다는 것이다.그러나 그러한 체인을 발생시키는 직접적인 방법은 알려져 있지 않다.

가장 긴 커닝햄 체인이나 가장 큰 프리타임으로 구축된 체인을 위한 컴퓨팅 대회가 있지만, 임의 길이의 프리타임의 산술적 진보가 있다는 벤 J. 그린과 테렌스 타오의 돌파구인 그린-타오 정리와는 달리, 현재까지 큰 커닝햄 체인에서 알려진 일반적인 결과는 없다.

길이 k로 알려진 가장 큰 커닝햄 체인(2018년^[2] 6월 5일 기준)

k	친절한	p₁ (시작 프라임)	숫자	연도	발견자
1	1/2일	2^82589933 − 1	24862048	2020	커티스 쿠퍼, 김프스
2	첫 번째	2618163402417×2^1290000 − 1	388342	2016	프라임그리드
2	두 번째	7775705415×2¹⁷⁵¹¹⁵ + 1	52725	2017	세르히 바탈로프
3	첫 번째	1815615642825×2⁴⁴⁰⁴⁴ − 1	13271	2016	세르히 바탈로프
3	두 번째	742478255901×2⁴⁰⁰⁶⁷ + 1	12074	2016	마이클 엔젤 & 더크 아우구스틴
4	첫 번째	13720852541×7877# − 1	3384	2016	마이클 엔젤 & 더크 아우구스틴
4	두 번째	17285145467×6977# + 1	3005	2016	마이클 엔젤 & 더크 아우구스틴
5	첫 번째	31017701152691334912×4091# − 1	1765	2016	안드레이 발야킨
5	두 번째	181439827616655015936×4673# + 1	2018	2016	안드레이 발야킨
6	첫 번째	2799873605326×2371# - 1	1016	2015	세르히 바탈로프
6	두 번째	52992297065385779421184×1531# + 1	668	2015	안드레이 발야킨
7	첫 번째	82466536397303904×1171# − 1	509	2016	안드레이 발야킨
7	두 번째	25802590081726373888×1033# + 1	453	2015	안드레이 발야킨
8	첫 번째	89628063633698570895360×593# − 1	265	2015	안드레이 발야킨
8	두 번째	2373007846680317952×761# + 1	337	2016	안드레이 발야킨
9	첫 번째	553374939996823808×593# − 1	260	2016	안드레이 발야킨
9	두 번째	173129832252242394185728×401# + 1	187	2015	안드레이 발야킨
10	첫 번째	3696772637099483023015936×311# − 1	150	2016	안드레이 발야킨
10	두 번째	2044300700000658875613184×311# + 1	150	2016	안드레이 발야킨
11	첫 번째	73853903764168979088206401473739410396455001112581722569026969860983656346568919×151# − 1	140	2013	프라임코인 (블록 95569)
11	두 번째	341841671431409652891648×311# + 1	149	2016	안드레이 발야킨
12	첫 번째	288320466650346626888267818984974462085357412586437032687304004479168536445314040×83# − 1	113	2014	프라임코인(블록 55800)
12	두 번째	906644189971753846618980352×233# + 1	121	2015	안드레이 발야킨
13	첫 번째	106680560818292299253267832484567360951928953599522278361651385665522443588804123392×61# − 1	107	2014	프라임코인(블록 368051)
13	두 번째	38249410745534076442242419351233801191635692835712219264661912943040353398995076864×47# + 1	101	2014	프라임코인(블록 539977)
14	첫 번째	4631673892190914134588763508558377441004250662630975370524984655678678526944768×47# − 1	97	2018	프라임코인(블록 2659167)
14	두 번째	5819411283298069803200936040662511327268486153212216998535044251830806354124236416×47# + 1	100	2014	프라임코인(블록 547276)
15	첫 번째	14354792166345299956567113728×43# - 1	45	2016	안드레이 발야킨
15	두 번째	67040002730422542592×53# + 1	40	2016	안드레이 발야킨
16	첫 번째	91304653283578934559359	23	2008	야로슬라브뢰스키
16	두 번째	2×1540797425367761006138858881 − 1	28	2014	체르모니&브로블레스키
17	첫 번째	2759832934171386593519	22	2008	야로슬라브뢰스키
17	두 번째	1540797425367761006138858881	28	2014	체르모니&브로블레스키
18	두 번째	658189097608811942204322721	27	2014	체르모니&브로블레스키
19	두 번째	79910197721667870187016101	26	2014	체르모니&브로블레스키

q#는 원시 2 × 3 × 5 × 7 × ... × q를 나타낸다.

2018년^[update] 현재 두 종류 중 가장 긴 것으로 알려진 커닝햄 체인은 자로슬라브 로블류스키가 2014년에 발견한 길이 19이다.^[2]

커닝햄 체인점의 조합

기묘한 $p_{1}$ $p_{1}$ 1{\ $displaystyle p_{$ 1}을 제1종 커닝햄 체인의 첫 프라임이 되게 $p_{1}$ 하라.The first prime is odd, thus $p_{1}\equiv 1{\pmod {2}}$ . Since each successive prime in the chain is $p_{i+1}=2p_{i}+1$ it follows that $p_{i}\equiv 2^{i}-1{\pmod {2^{i}}}$ . $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ ≡ 3 $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ ( $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ $){\$ $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$ $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$ $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$ 7 $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$ ( $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$ $){\$ 등 $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$

위의 속성은 베이스 2에서 체인의 소수점을 고려하여 비공식적으로 관찰할 수 있다. (모든 베이스와 마찬가지로 기본에 숫자를 "전환"하여 왼쪽으로 숫자를 곱하는 것에 유의하십시오. 예를 들어, 소수점에서는 314 × 10 = 3140을 갖는다.)베이스 2에서 $p_{i+1}=2p_{i}+1$ p $p_{i+1}=2p_{i}+1$ + $p_{i+1}=2p_{i}+1$ = 2 $p_{i+1}=2p_{i}+1$ $p_{i+1}=2p_{i}+1$ + $p_{i+1}=2p_{i}+1$ ${\displaystyle p_{i+1}=2p_{i}+$ 1}를 $p_{i+1}=2p_{i}+1$ 곱하면 p $p_{i}$ ${\$ 의 $p_{i}$ 가장 작은 자릿수가 p $p_{i}$ $p_{i+1}$ $p_{i+1}$ + ${\$ 의 두 번째로 유의미한 자릿수가 되는 것을 알 수 있다. $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 는 $p_{i}$ 홀수이기 때문에, 즉, 최하위 자릿수는 베이스 2에서 1이다 – 우리는 p i $p_{i+1}$ + $p_{i+1}$ 의 두 번째 최하위 자릿수인 p $p_{i+1}$ + 1 ${\$ 도 1이라는 $p_{i+1}$ 것을 알고 있다.그리고 마지막으로, $p_{i+1}$ 는 1 p $p_{i+1}$ i + $p_{i+1}$ ${\$ 이 1 p ~ 2 $2p_{i}$ $2p_{i}$ ${\$ 의 추가로 인해 홀수임을 $p_{i+1}$ 알 수 있다 $2p_{i}$ 이런 식으로 커닝햄 체인의 연속적인 프리타임은 기본적으로 2진수로 왼쪽으로 이동된다.예를 들어, 여기 141361469에서 시작하는 전체 길이 6 체인이 있다.

이진수	십진법
1000011011010000000100111101	141361469
10000110110100000001001111011	282722939
100001101101000000010011110111	565445879
1000011011010000000100111101111	1130891759
10000110110100000001001111011111	2261783519
100001101101000000010011110111111	4523567039

비슷한 결과가 2종류의 커닝햄 체인에도 적용된다.From the observation that $p_{1}\equiv 1{\pmod {2}}$ and the relation $p_{i+1}=2p_{i}-1$ it follows that $p_{i}\equiv 1{\pmod {2^{i}}}$ . In binary notation, the primes in a Cunningham chain of the 두 번째 종류 끝 패턴 "0...01"로 여기서 $각$ i $i$ 에 대해 p $i$ $p_{i+1}$ + $p_{i+1}$ ${\$ 의 패턴에 있는 $p_{i}$ 의 $p_{i}$ 는 p $p_{i}$ i {\ $displaystyle p_{$ i}}}}에 대한 0의 수보다 1이 $p_{i+1}$ 더 많다 $p_{i}$ 첫 번째 종류의 커닝햄 체인과 마찬가지로 패턴의 왼쪽 비트는 하나의 포지티로 이동한다.각 연이은 전성기를 맞이하여

Similarly, because $p_{i}=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1)\,$ it follows that $p_{i}\equiv 2^{i-1}-1{\pmod {p_{1}}}$ . But, by Fermat's little theorem, ${\displaystyle 2$ $^{p_{1$ }- $1}\equiv 1{\pmod{p_{1}:{$ 1 $2^{p_{1}-1}\equiv 1{\pmod {p_{1}}}$ $따라서$ $p_{1}$ $p_{1}$ ${\$ : $i=p_{1}$ = p $i=p_{1}$ ${\$ 를 나눈다. $i=p_{1}$ 따라서 커닝햄 사슬은 길이가 무한할 수 없다.^[3]

참고 항목

커닝햄 체인을 업무 증명 시스템으로 활용하는 프라임코인
바이윈 체인
산술수열의 소수

참조

^ Joe Buhler, 알고리즘 번호 이론: 제3회 국제 심포지엄, ANTES-III.뉴욕: 스프링거(1998년): 290
^ ^a ^b 더크 아우구스틴, 커닝햄 체인 레코드.2018-06-08에 검색됨.
^ Löh, Günter (October 1989). "Long chains of nearly doubled primes". Mathematics of Computation. 53 (188): 751–759. doi:10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8.

외부 링크

프라임 용어집: 커닝햄 체인
프라임코인 발견(primes.zone): 기록 및 시각화 목록이 포함된 프라임코인 발견물의 온라인 데이터베이스
PrimeLinks++: 커닝햄 체인
OEIS 시퀀스 A005602 (가장 작은 프라임으로 길이 n (첫 번째 종류의)의 완전한 커닝햄 체인 시작) - 첫 번째 종류의 길이 n의 가장 낮은 완전한 커닝햄 체인의 첫 번째 용어, 1 n n 14 14
OEIS 시퀀스 A005603(길이 n의 길이가 거의 두 배인 값) - 길이가 n인 두 번째 종류의 가장 낮은 완전한 커닝햄 체인의 첫 번째 용어, 1 ≤ n ≤ 15

[1] Joe Buhler, 알고리즘 번호 이론: 제3회 국제 심포지엄, ANTES-III.뉴욕: 스프링거(1998년): 290

[records-2] 더크 아우구스틴, 커닝햄 체인 레코드.2018-06-08에 검색됨.

[3] Löh, Günter (October 1989). "Long chains of nearly doubled primes". Mathematics of Computation. 53 (188): 751–759. doi:10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8.

[1]

[2]

[3]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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