프로베니우스 유사성

수 이론에서 프로베니우스 유사성(pseoprime)은 유사성(pseoprime)으로, 그의 정의는 존 그랜담이 1998년 사전 인쇄에서 설명한 2차 프로베니우스 테스트에서 영감을 받아 2000년에 출판되었다.^[1]^[2]프로베니우스 유사성 시간은 최소 2도 이상의 다항식에 대해 정의할 수 있지만, 2차 다항식의 경우 가장 광범위하게 연구되어 왔다.^[3]^[4]

프로베니우스 유사 다항식 W.R.

Definition of Frobenius pseudoprimes with respect to a monic quadratic polynomial $x^{2}-Px+Q$ , where the discriminant $D=P^{2}-4Q$ is not a square, can be expressed in terms of Lucas sequences $U_{n}(P,Q)$ and $V_{n}(P,Q)$ $V_{n}(P,Q)$ $V_{n}(P,Q)$ 은 $V_{n}(P,Q)$ (는) 다음과 같다.

복합 번호 n은 프로베니우스 $(P,Q)$ , $(P,Q)$ ) ${\displaystyle(P,Q)}$ 가성 $(P,Q)$ (만약에, 그리고 다음 경우에 한함)이다.

\displaystyle(1)\qquad \gcd(n,2QD)=1,}

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

)

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

-

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

(

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

, Q

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

)

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

≡

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

(

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

)

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

,

{\displaystyle (2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv

0

{\pmod{n},},

그리고

(2)\qquad U_{n-\delta }(P,Q)\equiv 0{\pmod {n}},

(3)\qquad V_{n-\delta }(P,Q)\equiv 2Q^{(1-\delta )/2}{\pmod{n},

여기서 $\delta =\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ = $\delta =\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ ( $\delta =\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ ) ${\$ 는 $\delta =\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ 자코비 기호다.

조건 (2)가 충족되면 조건 (3)은 다음과 동등해진다.

{\displaystyle(3')\qquad V_{n}(P,Q)\equiv P{\pmod {n}.}

따라서 프로베니우스 $(P,Q)$ , Q $(P,Q)$ ) ${\디스플레이스타일(P,Q)}$ 가성비 $(P,Q)$ $n$ 은 조건(1-2)과 (3) 또는 조건(1-2)과 (3)에 의해 동등하게 정의될 수 있다.

조건 (2)와 (3)은 단순 조건 (1)을 만족하는 모든 프리타임에 대해 유지되기 때문에 가능한 프라임 테스트로 사용할 수 있다. (조건 (1)이 실패하면 최대 공통 디비저는 $n$ 보다 작으며, 이 경우 비경쟁 요인이고 n은 $복합$ 요소이거나, GCD는 $n$ 과 같으며, 이 경우 다른 파라미터 $P$ 와 Q $W$ 를 시도해야 한다.hich는 $n$ 의 배수가 아니다.)

기타 유사 시간과의 관계

모든 프로베니우스 $(P,Q)$ ( $(P,Q)$ , $(P,Q)$ ) $(P,Q)$ 가성 $(P,Q)$ 또한 같다.

(1) 및 (2) 조건에 의해 정의되므로 매개변수 $(P,Q)$ Q $(P,Q)$ ) ${\displaystyle(P,Q)}$ 이 $(P,Q)$ 가) 있는 Lucas philosoprime;^[2]^[3]^[5]
조건 (1) 및 (3)에 의해 정의되므로 매개변수 $(P,Q)$ , $(P,Q)$ ) $(P,Q)$ 이 $(P,Q)$ 가) 있는 Dickson 유사점;^[5]
$|Q|>1$ 유사점 기반 $|Q|$ $displaystyle$ Q > 1 $(\displaystyle$ Q $>1)$ 일 $|Q|$ 때 $|Q|>1$

이 진술의 Converse, 프로베니우스(P, Q){\displaystyle(P,Q)}, Q&페르마 기지 Q{Q\displaystyle}pseudoprimes 각 루카스 pseudoprimes와 딕슨 pseudoprimes의 매개 변수(P, Q){\displaystyle(P,Q)}과 그 세트의 적절한 부분 집합 pseudoprimes을 만드는 사실이다.gt. $|Q|>1$ (\ $displaystyle Q >1}$ 더 나아가, 동일한 파라미터 $(P,Q)$ ) $(P,Q)$ {\ $displaystyle (P,Q$ 에 대해 복합 번호는 루카스와 딕슨 가극인 경우에만 프로베니우스 가극이다.즉, 모든 고정된 변수 쌍 $(P,Q)$ , $(P,Q)$ ) $(P,Q)$ 에 대해 프로베니우스 유사 시간 집합은 루카스와 딕슨 유사 시간 집합의 교차점과 같다 $(P,Q)$

각각의 프로베니우스 $(P,Q)$ ( $(P,Q)$ , $(P,Q)$ ) $(P,Q)$ 가성비가 $(P,Q)$ 루카스 가성비인 반면, 반드시 강한 루카스 가성비인 것은 아니다.예를 들어, 6721은 $(P,Q)=(1,-1)$ ( $(P,Q)=(1,-1)$ , $(P,Q)=(1,-1)$ ) = $(P,Q)=(1,-1)$ ( $(P,Q)=(1,-1)$ , $(P,Q)=(1,-1)$ - 1 $){\displaystyle (P,Q)=(1,-1$ 에 대한 첫 번째 프로베니우스 유사점프라임으로, 강한 루카스 유사점프라임은 아니다.

$x^{3}-x-1$ 프로베니우스 가성비에서 x $x^{3}-x-1$ - $x^{3}-x-1$ - $x^{3}-x-1$ $x^{3}-x-1$ 까지 또한 제한된 $x^{3}-x-1$ 페린 가성비다.x $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ - $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ + $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ - $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ ${\displaystyle$ x $^{3}-rx^{2}+sx-1}$ 형식의 다른 입방 다항식에 대해 유사한 문장이 유지됨 $x^{3}-rx^{2}+sx-1$ ^[2]

예

Fibonacci $x^{2}-x-1$ $x^{2}-x-1$ - x $x^{2}-x-1$ - $x^{2}-x-1$ $x^{2}-x-1$ 에 대한 프로베니우스 유사 시간은 Fibonacci 번호 F $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ = U $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ ( $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ , $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ - 1 $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ ) ${\displaystyle F_{n}=$ 의 관점에서 결정된다 $x^{2}-x-1$ . $U_{n}(1,-1)$ 과 $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ Lucas 번호 $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ n $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ = $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ n $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ ( $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ , $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ - $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ ) ${\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1$ 그러한 프로베니우스 유사시기는 다음 순서를 형성한다.

4181, 5777, 6721, 10877, 13201, 15251, 34561, 51841, 64079, 64681, 67861, 68251, 75077, 90061, 96049, 97921, 100127, 113573, 118441, 146611, 161027, 162133, 163081, 186961, 197209, 219781, 231703, 252601, 254321, 257761, 268801, 272611, 283361, 302101, 303101, 330929, 399001, 430127, 433621, 438751, 489601, ... (sequence A212424 in the OEIS).

는 피보나치 다항식 x2− x− 1{\displaystyle x^{2}-x-1}, 같은 다항식에 관한 첫번째 프로베니우스 pseudoprime은 4181(그랜샘 5777[2]지만 여러 작가들 이것이 맞지 않고 있음에 주목하고(5n과 함께 있는 대신 첫번째 pseudoprime 그것이라고 말했다)에 관련되는 동안 323은 최초의 루카스 pseudoprime.) $\left({\tfrac {5}{n}}\right)=-1$ 이 다항식의^[3] 경우 $\left({\tfrac {5}{n}}\right)=-1$ $\left({\tfrac {5}{n}}\right)=-1$ $\left\tfrac {5}{n}\right)=-1$

2차 다항식 $x^{2}-3x-1$ $x^{2}-3x-1$ - 3 $x^{2}-3x-1$ - $x^{2}-3x-1$ $x^{2}-3x-1$ 에 대한 $(3,-1)$ 유사 배수는 Lucas(3 $(3,-1)$ - 1) ${\displaystyle(3,-1)$ 시퀀스를 $(3,-1)$ 사용하여 결정할 수 있으며 $x^{2}-3x-1$ , 다음과 같다.

119, 649, 1189, 4187, 12871, 14041, 16109, 23479, 24769, 28421, 31631, 34997, 38503, 41441, 48577, 50545, 56279, 58081, 59081, 61447, 75077, 91187, 95761, 96139, 116821, 127937, 146329, 148943, 150281, 157693, 170039, 180517, 188501, 207761, 208349, 244649, 281017, 311579, 316409, 349441, 350173, 363091, 371399, 397927, 423721, 440833, 459191, 473801, 479119, 493697, ...(OEIS에서 순서 A327655)

이 경우 2차 다항식 $x^{2}-3x-1$ $x^{2}-3x-1$ - $x^{2}-3x-1$ $x^{2}-3x-1$ - 1 $x^{2}-3x-1$ 에 대한 첫 번째 프로베니우스 유사점수는 119이며 $x^{2}-3x-1$ , 이 역시 같은 다항식에 관한 첫 번째 루카스 유사점이다.게다가 $\left({\tfrac {13}{119}}\right)=-1$ ( $\left({\tfrac {13}{119}}\right)=-1$ $\left({\tfrac {13}{119}}\right)=-1$ ) = $\left({\tfrac {13}{119}}\right)=-1$ - $\left({\tfrac {13}{119}}\right)=-1$ ${\displaystyle \left({\tfrac$ { $13}{119}\right)=-1$

2차 다항식 $x^{2}-3x-5$ $x^{2}-3x-5$ - $x^{2}-3x-5$ $x^{2}-3x-5$ - 5 ${\displaystyle$ x $^{2}-3x-5$ 즉 ( $(P,Q)=(3,-5)$ , Q $(P,Q)=(3,-5)$ ) $(P,Q)=(3,-5)$ = ( $(P,Q)=(3,-5)$ , $(P,Q)=(3,-5)$ - $(P,Q)=(3,-5)$ ) $(P,Q)=(3,-5)$ 은 다른 많은 단순한 4항과 비교했을 때 더 가성비가 있다 $(P,Q)=(3,-5)$ 위와 동일한 프로세스를 사용하여 다음과 같은 순서를 얻는다.

13333, 44801, 486157, 1615681, 3125281, 4219129, 9006401, 12589081, 13404751, 15576571, 16719781, ….

이러한 유사시 수가 500,000 이하인 반면 프로베니우스(1, -1)와 (3, -1) 유사시 수가 500,000 이하인 경우가 많다는 점에 유의하십시오.

이 시퀀스의 모든 입력은 루카스(3, -5) 가성뿐만 아니라 베이스 5까지 페르마 가성비지만, 그 반대는 사실이 아니다: 642001은 psp-5와 루카스(3,-5) 가성비지만 프로베니우스(3, -5) 가성비가 아니다.(주: ( $P,$ $Q)$ 쌍에 대한 Lucas philoprime은 기본 Q에 대한 Fermat philoprime일 필요는 없다. 예: 14209는 Lucas (1, -3) philosoprime이지만, 기본 3에 대한 Fermat philosoprime은 아니다.

강한 프로베니우스 가성비

강한 프로베니우스 유사성 또한 정의된다.^[2]2차 다항식 구현에 대한 자세한 내용은 Crandall과 Pomerance에서 확인할 수 있다.^[3]

유사성 검정

프로베니우스 유사성(Frobenius philoprime)을 정의하는 조건은 가능한 원시성에 대해 주어진 숫자 n을 시험하는 데 사용될 수 있다.종종 그러한 시험은 고정된 매개변수 $(P,Q)$ , Q $(P,Q)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $(P,Q$ 에 의존하지 않고 잘못된 긍정, 즉 시험에 합격하는 복합적인 숫자의 비율을 줄이기 위해 입력 번호 n에 따라 특정한 방법으로 선택한다.때로는 그러한 복합적인 숫자를 프로베니우스 가성수라고 부르기도 하지만 다른 매개변수에 해당될 수도 있다.

Baillie와 Wagstaff(1980년)^[6]에서 처음 제시된 매개변수 선택 아이디어를 Baillie-의 일부로 사용그랜담이 2차 프로베니우스 테스트에서 사용한 PSW 원시성 테스트는 훨씬 더 좋은 2차 테스트를 만들 수 있다.^[7]특히 2차 비잔류 modulon(자코비 기호 기준)에서 파라미터를 선택하는 것이 훨씬 강한 테스트를 만드는 것으로 나타났으며, 이것이 바일리–의 성공 요인 중 하나이다.PSW 원시성 테스트.예를 들어 파라미터(P,2)의 경우 P는 ( $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ ) $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ = $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ - 1 ${\displaystyle \left({\tfrac$ { $D}{n}}\오른쪽$ )=- $1}$ 을 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ 를) 만족하는 첫 번째 홀수 정수로서, 2 ${\$ 2 $^{64}$ 이하에서는 유사시수가 없다 $2^{64}$

그러나 또 다른 테스트는 카신에 의해 제안되었다.^[8]지정된 비제곱 숫자 n의 경우 먼저 Jacobi 기호 $\left({\tfrac {c}{n}}\right)=-1$ n $\left({\tfrac {c}{n}}\right)=-1$ ) $\left({\tfrac {c}{n}}\right)=-1$ = $\left({\tfrac {c}{n}}\right)=-1$ - $\left({\tfrac {c}{n}}\right)=-1$ ${\displaystyle \left({\$ tfrac { $c}{n}\right)=-$ 1 $\left({\tfrac {c}{n}}\right)=-1$ 가 $있는$ 가장 작은 홀수 prime으로 파라미터 c를 계산한 후 다음 일치 여부를 검증한다.

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

+ c

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

)

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

(

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

- c

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

)

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

(

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

n

(1+{\sqrt {c}})^{n}\equiv (1-{\sqrt {c}}){\pmod {n}}

)

{\

모든 prime n이 이 시험을 통과하지만, n이 ( $(P,Q)=(2,1-c)$ , Q $(P,Q)=(2,1-c)$ ) $(P,Q)=(2,1-c)$ = $(P,Q)=(2,1-c)$ ( $(P,Q)=(2,1-c)$ , $(P,Q)=(2,1-c)$ 1 $(P,Q)=(2,1-c)$ - $){\displaystyle (P,Q)=(2,1-c)}$ 에 대한 Probenius 유사성인 경우에만 복합 n이 이 시험을 통과한다. 위의 예와 유사하게 Khashin은 그의 시험에 대한 유사성은 발견되지 않았다고 지적한다 $(P,Q)=(2,1-c)$ 그는 또한⁶⁰ 2 이하에 존재하는 어떤 것이라도 19 미만 또는 128 이하의 인자를 가져야 한다는 것을 보여준다.

특성.

2차 다항성에 관한 프로베니우스 유사성 시험의 계산 비용은 강성 유사성 시험의 약 3배(예: 밀러-라빈 원시성 시험의 한 라운드), 루카스 유사성 시험의 1.5배, 바일리–보다 약간 많다.PSW 원시성 테스트.

2차 프로베니우스 테스트가 루카스 테스트보다 강하다는 점에 유의하십시오.For example, 1763 is a Lucas pseudoprime to (P, Q) = (3, -1) since U₁₇₆₄(3,-1) ≡ 0 (mod 1763) (U(3,-1) is given in OEIS: A006190), and it also passes the Jacobi step since $\left({\tfrac {13}{1763}}\right)=-1$ , but it fails the Frobenius test to x² - 3x - 1.이 특성은 알고리즘이 Crandall과 Pomerance Algorithm 3.6.9에^[3] 표시된 것처럼 또는 Loebenberger에 표시된 것처럼 공식화되었을 때 명확히 볼 수 있다.^[4] 이 알고리즘은 루카스 시험을 한 후 프로베니우스 상태에 대한 추가 점검을 하기 때문이다.

2차적 프로베니우스 테스트는 루카스 테스트의 범위를 넘어서는 공식 오차범위가 없지만 훨씬 더 작은 오차범위를 가진 방법의 기초로 사용할 수 있다.이러한 단계, 추가 요구 사항 및 이 페이지에 설명된 것보다 더 많은 추가 계산이 있다는 점에 유의하십시오.이 방법에 대한 오차 한계는 이 페이지에 설명된 (P,Q)의 고정 값을 가진 표준 또는 강한 프로베니우스 테스트에는 적용되지 않는다는 점에 유의해야 한다.

이러한 유사시 개념에 기초해 최악의 경우 오차 한계가 강한 알고리즘을 구축할 수 있다.그 2차 프로베니우스 test,[7] 다른 조건을 더한 이차 프로베니우스 검사를 사용하여,}. 뮐러 2001년 1131040 t{\displaystyle{\tfrac{1}{131040^{t}의 범위를 가지고}}}.[9]Damgård과 Frandsen 2003년 EQFT 재치 제안한 MQFT 시험을 제안했다 17710{\displaystyle{\tfrac{1}{7710}}의 묶였다.한 hbound of essentially ${\tfrac {256}{{331776}^{t}}}$ .^[10] Seysen in 2005 proposed the SQFT test with a bound of ${\tfrac {1}{{4096}^{t}}}$ and a SQFT3 test with a bound of ${\tfrac {16}{336442^{t}}}$ . ^[11]

동일한 계산 노력을 고려할 때, 이러한 계산은 일반적으로 사용되는 밀러-라빈 원시성 검정보다 더 나은 최악의 경우를 제공한다.

참고 항목

참조

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^ Damgård, Ivan Bjerre; Frandsen, Gudmund Skovbjerg (October 2006). "An Extended Quadratic Frobenius Primality Test with Average- and Worst-Case Error Estimate" (PDF). Journal of Cryptology. 19 (4): 489–520. doi:10.1007/s00145-006-0332-x.
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외부 링크

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Weisstein, Eric W. "Strong Frobenius Pseudoprime". MathWorld.
Jacobsen, Dana Philoprime Statistics, Tables 및 Data (Probenius (1,-1) 및 (3,-5) Philosoprime에 대한 데이터)

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[10] Damgård, Ivan Bjerre; Frandsen, Gudmund Skovbjerg (October 2006). "An Extended Quadratic Frobenius Primality Test with Average- and Worst-Case Error Estimate" (PDF). Journal of Cryptology. 19 (4): 489–520. doi:10.1007/s00145-006-0332-x.

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