측지 방정식 해결

지오데틱 방정식을 푸는 것은 수학, 특히 리만 기하학, 특히 일반 상대성에서 지오데틱을 얻는 데 쓰이는 절차다.물리적으로 이것들은 적절한 가속도가 없는 (대개 이상적인) 입자의 경로를 나타내며, 그 움직임이 지오데틱 방정식을 만족한다.입자들은 적절한 가속을 받지 않기 때문에, 지오데틱스는 일반적으로 곡선 스페이스타임에서 두 점 사이의 가장 직선적인 경로를 나타낸다.

미분지질 방정식

n차원 리만 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 좌표 ${\displaystyle x^{}}$ a ${\$ x$^{a}}$를 사용하여 좌표 차트에 기록된 지질 방정식은 다음과$$ 같다$.$

${\dx^{d^{2}x^{a}{ds^{2}}+}\감마 _{bc}^{a}{dx^{b}}}{\frac {dx^{ds}}{dx^{c}}}{ds}}}}{ds}}}}=0}$

여기서 좌표 x가^a $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 곡선 γ의 좌표로 간주되고$$ regarded ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\$는 Christoffel 기호다.Christoffel 기호는 미터법의 함수로서 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Gamma \{bc}^{a}={\frac {1}{1}:{2}}g^{ad}\왼쪽(g_{cd,b}+g_{bd,c}-g_{bc,d}\오른쪽)}$

여기서 쉼표는 좌표에 관한 부분파생물을 나타낸다.

${\displaystyle g_{ab,c}={\frac {\frac{g_{ab}}}{\property {x^{c}}}}}}$

다지관의 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이$($가) 있기 때문에, 측지 방정식은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 좌표$$ 변수에 대한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$의 일반$$ 미분 방정식의 시스템이다.따라서 초기 조건과 제휴하여 피카르-린델뢰프 정리에 따라 시스템을 해결할 수 있다.또한 문제에 대해 라그랑주식 접근법을 사용할 수 있다: 정의

${\displaystyle L={\sqrt{g_{\mu \nu}{\frac {dx^{\mu }}{ds}{dx^{\nu}}}}}}}}$

오일러-라그랑주 방정식 적용.

휴리스틱스

물리 법칙은 어떤 좌표계에서도 쓸 수 있기 때문에 지오데틱 방정식을 단순화하는 것을 선택하는 것이 편리하다.수학적으로 이것은 좌표도가 선택된 것을 의미하며, 지오데틱 방정식은 특히 다루기 쉬운 형태를 가지고 있다.

유효 잠재력

지오데틱 방정식을 미분화 변수만을 포함하는 용어와 파생 변수만을 포함하는 용어로 분리할 수 있는 경우, 전자는 위치에만 의존하는 유효 잠재력으로 통합될 수 있다.이 경우 에너지 다이어그램 분석의 많은 경험적 경험적 방법, 특히 터닝 포인트의 위치가 적용된다.

솔루션 기법

지오데틱 방정식을 푸는 것은 지오데틱 방정식의 정확한 해법, 어쩌면 일반적인 해법까지도 얻는 것을 의미한다.대부분의 공격은 지오데틱 방정식 시스템의 점 대칭 그룹을 비밀리에 채용한다.이것은 종종 암묵적으로 해결책의 가족들에게 결과를 산출하지만, 많은 예에서 일반적인 해결책은 명시적인 형태로 산출된다.

일반 상대성에서는, 시간적 지오디지스틱을 얻기 위해 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 나눈$$ 후, 종종 spacetime 미터법에서 시작하는 것이 가장 간단하다.

${\daptyle -1=g_{\mu \nu }{\dot{x}^{\mu}{\dot{x}^{\nu }}}}}$

여기서 점은 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$에 대한 분화를 나타낸다$.$ 시간적 지오다이얼이 최대이기 때문에 오일러-라그랑주 방정식을 직접 적용하여 지오디컬 방정식과 동등한 방정식을 구할 수 있다.이 방법은 크리스토펠 기호의 지루한 계산을 우회하는 장점이 있다.

참고 항목

• 슈바르츠실트 진공의 지질학
• 일반 상대성 수학
• 특수상대성이론에서 일반상대성이론으로의 전환

참조