텐서홈접합

수학에서 텐서-홈 연결은 텐서 제품인${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -\otimes$ X$}$와 홈 펑터 홈${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, )${\displaysty \operatorname {Hom} (X,-)$이 부선 쌍을 이루는$$ 것이다.

${\displaystyle \operatorname {Hom}(Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom}(Y,\operatorname {Hom})(X,Z))}$

이것은 아래에서 더 정확하게 만들어진다."텐서-홈 접합" 구절의 용어의 순서는 그들의 관계를 반영한다: 텐서(tensor)는 왼쪽 부선이고 홈(hom)은 오른쪽 부선이다.

일반명세서

R과 S는 (잠재적이지 않을 가능성이 있는) 고리라고 하고, 오른쪽 모듈 범주를 고려하십시오(왼쪽 모듈에 대한 유사한 진술 보유).

${\displaystyle {\mathcal {C}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\mathcal {D}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

(R,S)-비모듈 X를 고정하고 Functor F: D → C 및 G: C → D를 다음과 같이 정의한다.

$F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{{}Y\in {\mathcal {D}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{{}}{{}Z\in {\mathcal {C}}}$

그리고 나서 F는 G와 나란히 남겨진다.이것은 자연 이형성이 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S,Z)}$

이것은 사실 아벨 그룹들의 이소모르피즘이다.더 정확히 말하면, Y가 (A, R) 바이모듈이고 Z가 (B, S) 바이모듈이라면, 이것은 (B, A) 바이모듈의 이형성이다.이것은 폐쇄형 바이카테고리 구조물의 동기부여 사례 중 하나이다.^[1]

상담 및 단위

모든 부속품들과 마찬가지로 텐서-홈 부속품들은 그것의 상담과 단위 자연적 변환으로 설명될 수 있다.이전 절의 표기법을 사용하여 상담

$[\displaystyle \varepsilon:FG\to 1_{\mathcal{C}}$

구성 요소가 있음

${\displaystyle \varepsilon _{Z:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

평가에 의해 주어지는 다음과 같다.을 위해

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{R}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}$

$[\\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x)].}$

장치의 구성 요소

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}\to GF}$

${\displaystyle \eta _{Y:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

다음과 같이 정의된다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 y ${\$displaystyle $y}$에 대해$,$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

$우측{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$ -모듈$$ 동형성:

${\displaystyle \eta _{Y}(t)=y\otime t\quad{{}t\in X.}$

카운티와 단위 방정식은 이제 명시적으로 검증될 수 있다.$D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 대해$,$

$\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otime _{R}X}$

다음과 같은$$ $방법$으로 Y ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\otimes X}$의 간단한 시제에 주어진다.

$\displaystyle \varepsilon _{FY}\circle F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.$

마찬가지로,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X}$, Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\phi$}의 경우,$$$\$displaystyle $\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}$ ,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circle \eta \{GZ}(\phi )}$

$정의$한 우측$$S {\$displaystyle$S} -모듈$$ 동형성

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circle \eta \{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi(x)}$

따라서

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circle \eta \{GZ}(\phi )=\phi .}$

Ext 및 Tor functors

Hom functor ${\displaystyle \mathrm{hom}(X}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle \hom(X,-)}$이(가) 임의의 제한으로 통근하고$$, 텐서 제품인${\displaystyle -}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -\otimes$ X$}$은 해당$$ 도메인 범주에 존재하는 임의의 콜리밋으로 통근한다.그러나 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{home}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$,${\displaystyle }$- ) ${\displaystyle \hom(X,-)}$은(는) 콜리미트로 통근하지 못하고$$${\displaystyle }$- ${\displaystyle \otimes }$ X ${\displaystyle -\otimes X}$은(는) 제한과 함께 통근하지$$ 못하며, 이러한 고장은 유한한 한계 또는 콜리미트 사이에서 발생하기도 한다.짧은 정확한 시퀀스를 보존하지 못한 이 실패는 Ext functor와 Tor functor의 정의에 동기를 부여한다.

참고 항목

• 커링
• Ext functor
• 토르 펑터
• 반지 교환

참조

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9