트레이스(선형 대수)

선형 대수학에서, tr $(A) [1]$ 로 표시된 정사각형 $행렬$ A의 배선은 $A$ 의 주 대각선(왼쪽 위부터 오른쪽 아래)에 있는 요소의 합으로 정의된다.트레이스는 정사각형 매트릭스( $n$ × $n$ )에 대해서만 정의됩니다.

행렬의 추적이 (복잡한) 고유값의 합계라는 것을 증명할 수 있습니다. $또한$ 임의의 두 $행렬$ A와 $B$ 에 $대해$ tr(AB)= tr $(BA)임$ 을 증명할 수 있다.이는 유사한 행렬의 궤적이 같다는 것을 의미합니다.그 결과, 유한 차원 벡터 공간을 그 자체에 매핑하는 선형 연산자의 트레이스를 정의할 수 있다.이는 이러한 연산자를 기저에 관해 기술하는 모든 행렬이 유사하기 때문이다.

추적은 행렬식의 도함수와 관련이 있다(Jacobi 공식 참조).

정의.

$n$ × n 정사각형 $행렬$ A의 궤적은 다음과 같이 정의된다^[1]^[2]^[3]^{: 34}.

\operatorname {tr}(\mathbf {A})=\sum _ {i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\display +a_{nn}}

여기

서_ii a는

A

의 ith 행과 ith 열의 엔트리를 나타냅니다.

A

의 엔트리는 실수 또는 (더 일반적으로) 복소수입니다.정사각형 행렬이 아닌 행렬에 대해 배선이 정의되지 않았습니다.

$여기$ 서 $A$ 는 정사각형 $행렬$ 인 tr(exp( $A))$ 과 $같은$ 표현은 일부 필드(예: 다변량 통계 이론)에서 너무 자주 발생하므로 속기 표기법이 보편화되었습니다.

{\displaystyle\operatorname{tre}(A):=\operatorname {tr}(\exp(A)).}

$tre$ 는 지수 트레이스 함수라고도 불리며 Golden-에서 사용됩니다.톰슨 불평등

예

A를 매트릭스로 $합니다$ .

\displaystyle \mathbf {A} = pmatrix {11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{32}&a_{3}\end{pmatrix1&3}&a_{12}&a_{22}&a_{12}&a}&a_{22}&a}

그리고나서

\operatorname {tr}(\mathbf {A})=\sum _ {i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{33)=1+5+(-5)=1

특성.

기본 속성

트레이스는 선형 매핑입니다.즉,^[1]^[2]

{tr}(\mathbf {A} +\mathbf {B})=\operatorname {tr}(\mathbf {A})+\operatorname {tr}(\mathbf {B})\\operatorname {tr}(c\mathbf {B})=C

모든

사각행렬

A

와 B, 그리고 모든

스칼라스크에 ^[3]^{: 34}대한 것입니다.

행렬과 그 전치에는 동일한 ^[1]^[2]^[3]^{: 34}트레이스가 있습니다.

\operatorname {tr}(\mathbf {A})=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}\오른쪽).

이는 정사각형 행렬을 전치해도 주 대각선 요소에는 영향을 미치지 않는다는 사실에서 바로 나옵니다.

제품의 흔적

두 개의 실행렬의 곱인 정사각형 행렬의 흔적은 그 요소의 엔트리급 곱의 합, 즉 그들의 아다마르 곱의 모든 원소의 합으로 다시 쓰여질 수 있다.직접 표현하면, $A$ 와 B가 $2개$ 의m × $n개$ 의 실제 행렬이라면, $다음$ 과 같다.

\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathbf {B} \right} =\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {T} \right) =\operatorname {tr} \mathbf {tright}}

$m$ × $n$ 실행렬을 $길이$ mn의 벡터(벡터화라고 하는 연산)로 본다면, A와 $B$ 에 대한 $위$ 의 연산은 표준 도트곱과 일치한다.위의 식에 따르면, tr $(AA ⊤$ )은 제곱합이므로 음수가 아니며, A가 ^[4]^{: 7}0인 $경우$ 에만 0이 된다.또한 상기 식에서 기술한 바와 같이 tr $(AB ⊤)$ = $tr(BA ⊤)$ 이다.이들은 내부 생성물에 필요한 양의 정의성과 대칭성을 나타내며, tr(AB $)$ 을^⊤ A와 $B$ 의 $프로베니우스$ 내부 생성물이라고 $부르는$ 것이 일반적이다.이것은 고정 차원의 모든 실행렬의 벡터 공간상의 자연 내부 산물입니다.이 내부 생성물로부터 도출된 규범은 프로베니우스 규범이라고 불리며, 코시-슈바르츠 부등식에서 증명될 수 있는 승압적 특성을 만족한다.

{\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr}(\mathbf {B})\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^2} ^{right})

A

와 B가 같은 크기의 실제 양의 반확정 행렬인

경우

.프로베니우스 내적과 규범은 매트릭스 미적분과 통계학에서 자주 발생한다.

프로베니우스 내적물은 B를 복소공역체로 $대체함$ 으로써 고정된 크기의 모든 복소행렬의 복소 벡터 공간상의 은둔자 내적물로 확장될 수 있다.

프로베니우스 내부 곱의 대칭은 다음과 같이 보다 직접적으로 표현될 수 있다. 즉, 결과 변경 없이 곱의 추적 행렬을 바꿀 수 있다. $A$ 와 B가 $각각$ m × $n$ 및 $n$ × $m$ 실행렬 또는 복소행렬일 $경우$ ^[1]^[2]^[3]^{: 34}^{[note 1]},

$\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr}(\mathbf {B} \mathbf {A})}$

이것은 AB가 보통 BA와 $같지$ 않다는 $사실$ 과 또한 어느 하나의 트레이스가 보통 tr( $A)tr(B)$ ^{[note 2]}와 $같지$ 않기 때문에 주목할 만하다.추적의 유사성-비교성은, 즉, 모든 정사각형 $행렬$ A와 동일한 치수의 모든 가역 $행렬$ P에 대해 tr $(A)$ = $tr($ PAP $) -1$ 이라는 $기본적$ 인 결과이다.이것은 에 의해 증명된다.

\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1\tright} =}

유사도 불변성은 다음과 같이 선형 변환의 흔적을 논하기 위해 트레이스의 중요한 특성이다.

또한 실제 열 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \ mathbb$ { $a$ } \ $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ $in$ \ $mathbb$ { $R$ $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ } ^ { $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ $n$ } $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ b $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ \ \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { b $}$ \ $in$ \ mathb { r $^$ { n $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ 의 경우, 외부 곱의 트레이스는 내부곱과 동등하다.

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathbf {b}$

순환 특성

보다 일반적으로, 순환 순열에서 트레이스는 불변한다. 즉,

$\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {D})=\operatorname {tr}(\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A})=opername {tr}}$

이를 순환 속성이라고 합니다.

임의 순열은 허용되지 않습니다. 일반적으로,

\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}

그러나 세 개의 대칭 행렬의 곱을 고려하는 경우 다음과 같은 이유로 모든 치환이 허용됩니다.

\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right) {tr} \mathbf {C} \tright} =

여기서 첫 번째 등식은 행렬의 궤적이 같기 때문입니다.일반적으로 세 개 이상의 요인에는 해당되지 않습니다.

크로네커 제품의 흔적

두 행렬의 크로네커 곱의 흔적은 그 흔적의 산물이다.

\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr}(\mathbf {A})\operatorname {tr}(\mathbf {B})}

트레이스의 특징

다음 세 가지 속성:

{\displaystyle {tr}(\mathbf {A} +\mathbf {B})=\operatorname {tr}(\mathbf {A})+\operatorname {tr}(\mathbf {B}),\\operatorname {tr}(c\mathbf {B}=C)

는, 다음의 의미로, 스칼라 배수의 배수로 트레이스를 특징짓습니다.f

{\

displaystyle

f

}

가

f

f

f(xy)=f(yx),

y)

=

(

x

f(xy)=f(yx),

) ,

f(xy)=f(yx),

{\

displaystyle f(yx),}

를

f(xy)=f(yx),

f(xy)=f(yx),

하는 정사각형 행렬 공간의 선형 함수인

f

{\

displaystyle

f

f

}

\operatorname {tr}

tr

{\displaystyle

\

operatorname

{tr

}

은

\operatorname {tr}

^{[note 3]}비례합니다.

n $n\times n$ × $n\times n$ { $displaystyle$ n $\times$ n $}$ 행렬의 $n\times n$ $n\times n$ $f(\mathbf {I} )=n$ f $f(\mathbf {I} )=n$ $=$ n {\ $displaystyle$ f $(\mathbf {I})=n}$ 를 $f(\mathbf {I} )=n$ 적용하면 f{\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 트레이스와 $같아집니다$ .

고유값의 합으로 추적

임의의 $n$ × $n$ 실행렬 또는 $복소행렬$ A가 주어졌을 때,

$\operatorname {tr}(\mathbf {A})=\sum _{i=1}^{n}\displayda _{i$

$여기서 1,, ..., are$ 는_n 다수로 카운트된 $A$ 의 고유값이다.이는 A가 실제 행렬이고 고유값의 일부(또는 모두)가 복소수인 $경우$ 에도 해당됩니다.이것은 위에서 논의한 배선의 유사성-불변성과 함께 조던 표준 형태의 존재의 결과로 간주될 수 있다.

정류자의 흔적

$A$ 와 B가 $모두$ n × $n$ 행렬일 $때,$ $tr$ (AB) $= tr$ ( $BA$ ) 및 tr은 선형이기 $때문$ 에 $A$ 와 $B$ 의 (고리-전기) 정류자 $tr([A,$ $B])$ = $0$ 은 사라진다.이를 "추적은 연산자에서 스칼라까지의 리 $대수 n$ gl → $k$ 의 지도"라고 말할 수 있는데, 이는 스칼라의 정류자가 사소하기 때문이다(아벨리안 리 대수이다).특히, 유사성 불변성을 사용하면, 항등 행렬은 행렬 쌍의 정류자와 결코 유사하지 않다.

반대로 궤적이 0인 정사각형 행렬은 행렬 ^{[note 4]}쌍의 정류자의 선형 조합입니다.게다가 트레이스가 0인 정사각형 행렬은 모두 0으로 구성된 대각선을 가진 정사각형 행렬과 일률적으로 동등합니다.

특수한 종류의 행렬의 흔적

$n$ × n 항등 행렬의 궤적은 공간의 차원, 즉 $n$ 이다.

\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n}

이를 통해 트레이스를 사용하여 치수를 일반화할 수 있습니다.

에르미트 행렬의 흔적은 실재합니다. 대각선상의 요소가 실재하기 때문입니다.
ih 점이 고정되면 $대각항 ii$ a가 1이고 그렇지 않으면 0이기 때문에 순열 행렬의 궤적은 해당 순열에서 벗어난 고정점 수입니다.
투영 행렬의 추적은 대상 공간의 치수입니다.

{\mathbf {P}_{\mathbf {X}\left(\mathbf {X}) ^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {X} \right} \mathbf {X} ^{\t} \mathbf {\t}긴 오른쪽 화살표 \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} \right)&=\operatorname {rank}(\mathbf {X} ).\end { aligned}

행렬 X

P는 아이돌 포텐셜이다.

보다 일반적으로, A = $A$ 인² 등가 행렬의 궤적은 그 자체의 순위와 같다.
무능행렬의 배선은 0이다.

베이스 필드의 특성이 0일 경우, 역방향도 유지됩니다. 모든

k

에^k 대해 tr(

A

)

=

0

이면 A는 0이

됩니다

.

특성

n >

0

이 양수일 경우

n차원

의 동일성은 tr

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

(

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

)

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

(

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

)

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

0

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

0 0 \

displaystyle \operatorname {tr

} \

left

( \

mathbf {

I }

_

{ I } _ {

n

}^{ k } \ right ) =

operatorn

{ trf left

}

\ tright （

tr

） \ \ \ \

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

tr tr tr tr when 、 tr 、 tr 、 tr 、

고유값과의 관계

$A$ 가 실수 또는 복소수를 갖는 정사각형 행렬로 표현되는 선형 연산자이고, $θ 1$ , $...,$ $θ$ 가_n $A$ 의 고유값(대수 곱셈에 따라 나열됨)이라면,

$\operatorname {tr}(\mathbf {A})=\sum _{i}\sum da _{i$

이는 A가 대각선에 $θ 1$ , $...,$ $θ$ 를_n 갖는 상부 삼각행렬인 조던 형태와 항상 유사하다는 $사실$ 에서 비롯된다.반대로, $A$ 의 행렬식은 고유값의 곱이다. 즉,

\displaystyle \det(\mathbf {A})=\display_{i}\displayda_{i}.}

파생 관계

만약 $δA$ 가 작은 엔트리를 가진 정사각형 행렬이고 $내$ 가 항등 행렬을 나타낸다면, 우리는 대략

\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {Delta A})\약 1+\operatorname {tr}(\mathbf {Delta A})}

정확히 이것은 배선이 항등행렬에서 결정함수의 도함수라는 것을 의미한다.Jacobi의 공식은 임의의 행렬에서의 행렬식의 도함수를 추적의 관점에서 설명한다.

이(또는 트레이스와 고유값의 연결)로부터 트레이스 함수, 행렬 지수 함수 및 행렬식 사이의 관계를 도출할 수 있습니다.

\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A})=\exp(\operatorname {tr})(\mathbf {A}).}

예를 들어, $각도$ θ를 통한 회전에 의해 주어진 선형 변환의 단일 모수군을 고려합니다.

(\displaystyle \mathbf {R} _{\theta } = cos \theta &-\sin \theta \sin \theta &\cos \end {pmatrix} )}

이러한 변환은 모두 결정식 1을 가지므로 면적이 유지됩니다. $θ$ = 0에서 이 계열의 도함수, 즉 항등 회전은 반대칭 행렬이다.

({displaystyle A=pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix})

이 행렬은 면적을 보존하는 극소 변환임을 나타내는 트레이스 0을 가지고 있습니다.

트레이스의 관련 특성은 선형 벡터 필드에 적용됩니다. $행렬$ A가 주어졌을 때, R $위$ 의 $벡터장 n$ $F$ 를 $F(x$ ) = $Ax$ 로 정의한다.이 벡터 필드의 성분은 선형 함수입니다( $A$ 의 행에 의해 지정됨) $그$ 발산 $div$ F는 상수 함수이며, 그 값은 tr $(A)$ 와 같다.

발산정리에 따르면 F $(x)$ 가 $위치x$ 에서의 유체의 속도를 $나타내고$ U가 R의 $영역$ 일ⁿ $경우$ $U$ 로부터의 유체의 순흐름은 $tr (A)$ · $vol ($ U)로 주어지며 $여기서 vol ($ U)는 $U$ 의 부피이다.

트레이스는 선형 연산자이므로 다음과 같이 도함수와 통신합니다.

\displaystyle d\operatorname {tr}(\mathbf {X})=\operatorname {tr}(d\mathbf {X})}

선형 연산자의 추적

일반적으로, 어떤 선형 $지도$ f : $V$ → $V$ ( $여기$ 서 V는 유한 차원 벡터 공간)가 주어졌을 때, 우리는 f의 $행렬$ 표현의 트레이스를 고려함으로써, 즉, V의 $베이스$ 를 선택하고 f를 이 베이스에 상대적인 매트릭스로 $기술$ 하고, 이 정사각형 매트릭스의 트레이스를 취함으로써 이 맵의 트레이스를 정의할 수 있다.다른 기저가 유사한 행렬을 발생시켜 선형 지도의 추적에 대한 근거 독립적인 정의의 가능성을 허용하기 때문에 결과는 선택된 기준에 의존하지 않을 것이다.

이러한 정의는 V $위$ 의 $선형$ 지도의 $공간$ 끝 $(V)$ 과 V $δ$ V $*$ 사이의 표준 동형사상을 사용하여 얻을 수 있다. $여기$ 서 V $*$ 는 V의 $이중$ 공간이다.v를 $V$ 로 하고 f를 V $*$ 로 $합니다$ .다음으로 분해 불가능한 요소 v $v$ $f$ 의 배선은 f $(v)$ 로 정의되며, 일반 요소의 배선은 선형성에 의해 정의됩니다.V에 $대한$ 명시적 기준과 V $*$ 에 $대한$ 해당 이중 기준을 사용하면 위에서 설명한 것과 동일한 추적 정의를 제공할 수 있습니다.

수치 알고리즘

확률적 추정기

이 흔적은 "허친슨의 속임수"^[5]로 공정하게 추정할 수 있다.

임의의 $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ W $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ n × $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ {\ $displaystyle W\in$ \ $mathbb$ {R} ^{ $n$ $\times$ n $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 및 $E[uu^{T}]=I$ E [ $E[uu^{T}]=I$ T $E[uu^{T}]=I$ ] $E[uu^{T}]=I$ I { $displaystyle$ E [ $u$ ^{n $}$ } 에서의 임의의 $u\in \mathbb {R} ^{n}$ 의 u $u\in \mathbb {R} ^{n}$ $u\in \mathbb {R} ^{n}$ r R \ $E[uu^{T}]=I$ $u\in \mathbb {R} ^{n}$ uyle $u\in$ \ $mathbbbb$ {R $} \$ given given given $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ $}]$ $=$ $I$ E $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ [ $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ T $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ u ]= $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ r ( $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ $){$ $display style$ E [ $u^{T}Wu$ ]= $tr (W$ (증명: 기대치를 직접 확장)

보통 랜덤 벡터는 N $N(0,I)$ $)$ { $displaystyle$ N(0 $,I)}($ 정규 분포) 또는 $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ - $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ / $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ n $^{-1/2}\}^{n}($ Rademacher 분포)에서 샘플링됩니다.

추적의 보다 정교한 확률적 추정기가 ^[6]개발되었다.

적용들

2 × 2 복소 행렬의 추적은 뫼비우스 변환을 분류하는 데 사용된다.우선 행렬을 정규화하여 행렬식을 1로 한다.다음으로 트레이스의 제곱이 4일 경우 대응하는 변환은 포물선이 됩니다.정사각형이 구간 [0,4]에 있으면 타원형입니다.마지막으로 정사각형이 4보다 크면 변환은 loxodromic입니다.뫼비우스 변환의 분류를 참조해 주세요.

트레이스는 그룹 표현의 문자를 정의하는 데 사용됩니다. $군$ G의 2가지 $표현 A$ , $B$ : $G$ → $GL ($ V)은 $tr (A ($ g) = $tr (B ($ g))일 $경우$ 모든 $g$ $δG$ 에 대해 (V에 $대한$ 기저변화까지) 등가이다.

배선은 2차 형식의 분포에서도 중심 역할을 합니다.

리 대수

트레이스는 $K스타일$ 의 $선형$ 연산자의 Li ${\mathfrak {gl}}_{n}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}$ $(\$ displaystyle $\$ $operatorname$ { $tr$ $}:{\mathfrak$ ${$ $gl}_{n$ }\ $to$ K})에서 $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ 의 선형 연산자 $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ : $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ l $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ $displaystyle$ \ $operatorname$ { $gl}_$ {n}_ $K$ n}\to K $)$ 까지의 ${\mathfrak {gl}}_{n}$ 지도이다. $K$ 는 Abelian(거짓말 괄호가 사라짐)이며, 이것이 리 대수의 지도라는 사실은 괄호의 궤적이 사라짐을 정확히 말해줍니다.

\displaystyle \operatorname {tr}([\mathbf {A},\mathbf {B})=0(각 }}\mathbf {A},\mathbf {B}\in {mathfrak {gl}_n}).}

이 지도의 커널의 추적이 0인 매트릭스, 종종.mw-parser-output .vanchor&gt은 또는 추적하고, 이 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}traceless 매트릭스}, 매트릭스 wi의 특별한 선형 군의 리 대수는 단순한 매복하여 대수 s나는 n{\displaystyle{\mathfrak{sl}}_{n}을 형성한다고 한다.월 구분 1.특수 선형 그룹은 부피를 바꾸지 않는 행렬로 구성되는 반면, 특수 선형 리 대수는 극소 집합의 부피를 바꾸지 않는 행렬이다.

실제로 연산자/연산자의 ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ g ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ n $=$ ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ n ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ K { $displaystyle$ \ $mathfrak { gl}$ _ { n } _ { n } \ $oplus$ K $}$ 는 ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ 미량 연산자/연산자/스칼라 연산자/연산자로 분해된다.스칼라 연산자에 대한 투영 맵은 트레이스의 관점에서 구체적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {A} \mapsto {frac {1}{n}} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ) \mathbf {I} .}

정식으로 "스칼라"의 단위 $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ K ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ n $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ { $style$ K\ $to$ { $mathfrak$ ${$ $gl}}_{n}$ 을 $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ (를) 사용하여 트레이스(국가지도)를 구성하여 n개의 스칼라에 $매핑하여$ ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ n $→$ ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ n { $display$ style ${gl}_{$ n}\displaystyle $}\mathfrak {gl}_{n$ }_ ${$ n}을 ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ 얻을 수 있다. $n$ 으로 나누면 위의 공식을 얻을 수 있는 투영법이 됩니다.

짧고 정확한 순서는

0 to {\mathfrak {sl}}_{n} {\operatorname {tr} {\to }}K\to 0

와 유사하다

1 to \operatorname {SL} _{n} \ to \operatorname {GL} _{n} {\overset {\det } {\to } K^{*} \to 1

(

K^{*}=K\setminus \{0\}

서 K

K^{*}=K\setminus \{0\}

=

K^{*}=K\setminus \{0\}

K^{*}=K\setminus \{0\}

{

K^{*}=K\setminus \{0\}

}

{

displaystyle

K^{*}=

K\setminus

\{

0

)는 Lie 그룹의 경우 사용합니다.단, 트레이스는 (1

{displaystyle

1/

n}

배의

1/n

스칼라를

1/n

) 자연스럽게

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

되므로

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

l

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

l k

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

K {

displaystyle

\

mathfrak

{

gl} _

{

n

} \

oplus

K

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

}

=

mathfrak {

sl} _

{

sl

} \ oplus K = 행렬식 분할은 n의 스칼라로서 정의되지 않습니다.oes가 분할되지 않고 일반 선형 그룹이 분해되지 않습니다.

{\displaystyle \operatorname {GL}_{n}\neq \operatorname {SL}_{n}\times K^{*}}.

쌍선형 형태

쌍선형 형태( $X$ , $Y$ 는 정사각형 행렬)

(\displaystyle B(\mathbf {X}),\mathbf {Y})=\operatorname {tr}(\operatorname {ad}(\mathbf {X})\operatorname {ad}(\mathbf {Y})\displaystyle {text}\operatorname {ad}(\mathbf {ad})

킬링 형태라고 불리며, 리 대수의 분류에 사용됩니다.

트레이스는 쌍선형 형식을 정의합니다.

\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).}

이 형식은 대칭적이고, 비퇴화적이며^{[note 5]}, 다음과 같은 점에서 연관성이 있습니다.

(\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {X}[\mathbf {Y},\mathbf {Z})=\operatorname {tr}([\mathbf {X},\mathbf {Y})\mathbf {Z}).}

복잡한 단순 라이 대수(예: ${\mathfrak {sl}}$ $\$ 의 경우, 이러한 모든 쌍선형 형식은 서로 비례하며, 특히 Killing^{[citation needed]} 형식에 비례합니다.

두 $행렬$ $X$ 와 Y는 다음과 같은 경우 궤적 직교라고 한다.

\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {X} \mathbf {Y})= 0.}

리 ${\mathfrak {g}}$ g $(\$ 의 일반 표현 $displaystyle(\rho,$ {\ $mathfrak {g},$ $))$ 에는 $(\rho ,{\mathfrak {g}},V)$ 일반화가 있어 $\rho$ ${\displaystyle \rho$ }는 $\rho$ 리 대수 $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ : g $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ $displaystyleg)$ 의 동형식 $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ 이다 $.$ $nd}}(V)$ } ${\text{tr}}_{V}$ ${\text{tr}}_{V}$ tr ${\text{tr}}_{V}$ { $style { tr$ } _ { V ${\text{tr}}_{V}$ ${\text{End}}(V)$ } ${\text{End}}(V)$ ${\text{tr}}_{V}$ （ ${\text{End}}(V)$ $）$ \ display $style$ \ $text$ ${\text{tr}}_{V}$ { $End$ } （ V $）$ 는 ${\text{End}}(V)$ 위와 $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ 같이 정의되어 있습니다 $.$ 쌍선형 형태

\displaystyle \phi(\mathbf {X},\mathbf {Y})=trtext{tr}_{V}(\rho(\mathbf {X})\rho(\mathbf {Y}))}}}

순환성으로 인해 대칭적이고 불변합니다.

일반화

행렬의 트레이스 개념은 힐베르트 공간의 콤팩트 연산자의 트레이스 클래스로 일반화되며, 프로베니우스 노름의 유사체는 힐베르트-슈미트 노름이라고 불린다.

K가 트레이스 클래스 연산자일 $경우$ 임의의 직교 정규 기준 $(e_{n})_{n}$ n $(e_{n})_{n}$ $\$ 에 대해 트레이스는 다음과 같이 표시됩니다.

\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\parsle e_{n},Ke_{n}\right\rangle,

그리고 유한하고 직교 ^[7]정규 기준과 독립적입니다.

부분 트레이스는 연산자 값 트레이스의 또 다른 일반화입니다.제품 $공간$ A $µ$ B에 존재하는 선형 $연산자$ Z의 트레이스는 A $및$ B $위$ 의 부분 트레이스와 동일합니다.

\displaystyle \operatorname {tr}(Z)=\operatorname {tr}_{A}\left(\operatorname {tr}_{B}(Z)\right)=\operatorname {tr}_{B}\left(\operatorname {tr}_{A}(Z)\오른쪽).}

자세한 속성과 부분 트레이스의 일반화는 추적된 모노이드 범주를 참조하십시오.

A가 $필드$ k 위의 일반 연상 대수일 $경우$ , A 위의 $배선$ 은 종종 모든 $a,$ $b a$ A에 대해 정류자^{[clarification needed]} tr $([a,$ $b])$ 로 소실되는 $임의$ 의 맵 tr: $A k$ k로 정의된다.이러한 트레이스는 일의로 정의되어 있지 않기 때문에 적어도0이 아닌 스칼라에 의한 곱셈에 의해서 항상 변경할 수 있습니다.

슈퍼 트레이스란, 트레이스를 슈퍼 그레이브라의 설정으로 일반화한 것입니다.

텐서 수축 연산은 임의의 텐서까지의 트레이스를 일반화한다.

텐서 제품 언어의 흔적

벡터 $공간$ V가 주어졌을 때, 스칼라 $θ$ (v $)$ 에 (v $, θ$ )를 송신함으로써 주어지는 자연 쌍선형 $지도$ V × $V *$ → $F$ 가 있다.텐서 $곱$ V $v *$ V의 보편적 특성은 이 쌍선형 맵이 V $v *$ ^[8]V의 $선형$ 함수에 의해 유도된다는 것을 자동으로 암시한다.

마찬가지로 선형 $지도$ w δ $δ$ δ δ( $w)$ v에 ( $v, θ$ )를 송신함으로써 주어지는 자연 쌍선형 $지도$ V × $V *$ → $Home(V,$ $V)$ 이 있다.텐서 곱의 보편적 특성은 앞에서와 마찬가지로 이 쌍선형 맵은 선형 맵 $V v *$ V $\to Hom$ ( $V,$ $V)$ 에 의해 유도된다고 말한다. $만약$ V가 유한 차원이라면, 이 선형 맵은 선형 동형이다.^[8]이 근본적인 사실은 $V$ 의 (최종적으로 많은) 선형 지도의 합으로써 어떤 선형 $지도$ V → $V$ 를 쓸 수 있다고 말하는 것으로 표현될 수 있다.위에서 구한 선형함수로 동형의 역함수를 구성하면 Hom $(V,$ $V)$ 에서 $선형함수$ 가 된다.이 선형 함수는 트레이스와 정확히 동일합니다.

대각선 요소의 합으로 추적의 정의를 사용하여 행렬 $공식$ tr $(AB)$ = $tr(BA)$ 은 증명하기 쉬우며 위에 제시되었다.현시점에서는 V $내$ 의 $임의$ 의 u에 대해 S $(u)$ = $σ i (u i$ ) $v$ $및$ T( $u)$ = )( $u j$ ) $w$ 가 되는 선형함수 $and i$ , $and j$ 및 0이 $아닌 i$ 벡터 v 및 $w$ 가_j 존재하도록 $선형지도$ S $및$ T(u) = -(u $)$ 를_j 고려하여 랭크 1 맵의 합으로 본다.그리고나서

({displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}=\sum _{i}\psi _{j}(u)\sum _{j}\sum _{j}(u})

V에 $있는$ 모든 $사용자$ 를 위해.랭크 1 $리니어$ 맵 u $'(u j i)'(w j) v$ 에는_i $트레이스 j'(v i i)'(w j)$ 등이 있습니다.

\displaystyle \operatorname {tr}(S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{i}\varphi _{i}(i)_{i}.}

$S$ 와 T를 반대로 한 $동일$ 한 절차를 따르면 정확히 동일한 공식을 찾을 수 있어 tr $(S t$ T $)$ 이 tr $(T s$ S $)$ 과 $같다는$ $것$ 을 증명합니다.

V $µ *$ V를 $갖는$ End $(V)$ 의 기본 동일성이 랭크 1 선형 맵의 합으로서 선형 맵의 표현성과 동일하다는 점에서 위의 증거는 텐서 곱에 기초한 것으로 볼 수 있다.이와 같이 증명서는 텐서 곱의 표기로 기재해도 된다.그런 다음, ( $v$ , $θ,$ $w,$ θ)를 $θ (w$ )v $θ$ 에 전송함으로써 주어진 다선형 $지도$ V × $V *$ × $V *$ → V $θ$ $V$ 를^∗ 고려할 수 있다.트레이스 맵과의 추가 합성에 $의해, 「(w)」(v$ )가 됩니다.또, 대신에 ( $w, 「, v,」)$ 로 개시했을 경우, 이것은 변경되지 않습니다.또한 ( $f$ $,$ $g)$ 를 $성분$ f $µ$ g로 전송하여 주어진 쌍선형 $지도$ End $(V$ $)$ × $End(V)$ → $End(V)$ 를 고려할 수 있으며, 이는 선형 $지도$ End $(V) end$ End $(V)$ → $End(V$ )에 의해 유도된다.이는 선형 $지도$ V $v *$ V $v$ V v V $v *$ V → V $v *$ V와 일치함을 알 수 있다. 트레이스 지도와의 구성에 따라 대칭이 확립되어 두 ^[8]트레이스의 동일성이 확립된다.

임의의 유한 차원 벡터 $공간$ V에 대하여, 자연 선형 $지도$ F → $V δ$ V $'$ 가 존재한다. 선형 지도의 언어로, 그것은 $스칼라$ c에 선형 $지도 cδid$ 를_V 할당한다.이것을 코평가 맵이라고 부르기도 하고, $트레이스$ V $'$ $V$ ' → $F$ 를 평가 ^[8]맵이라고 부르기도 한다.이러한 구조는 범주 이론의 추상적 설정에서 범주적 트레이스를 정의하기 위해 공리화될 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 이것은 매트릭스 곱의 정의에서 바로 나온 것입니다. $\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {B} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{ji}_ji}}$
^ 예를 들어, $\displaystyle \mathbf {A} =pmatrix{pmatrix} 0&1&0\end{pmatrix},\displaystyle \mathbf {B} =pmatrix{pmatrix} 0&0\displaystyle \mathbf {pmatrix} 0&1&0&0&0&0\end{pmatrix}$ 그럼 제품은 ${\displaystyle \mathbf {AB} = beginpm { pmatrix }1 & 0 \ \ 0 & 0 \ end { pmatrix } ,$ 트레이스는 tr $(AB)$ = $1 0$ 0 $0$ 0 $=$ tr( $A)tr(B)$ 입니다.
^ $e_{ij}$ : $f\left(e_{ij}\right)=0$ $e_{ij}$ ( $f\left(e_{ij}\right)=0$ $f\left(e_{ij}\right)=0$ $j$ ) $f\left(e_{ij}\right)=0$ $f\left(e_{ij}\right)=0$ ( $displaystyle f$ \ left ( $e$ _ { $ij$ $i\neq j$ } \ right )= $0$ $i\neq j$ ( i $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $i\neq j$ $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ( e $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ f ( $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $displaystyle$ f \ $left$ ( e _ { $ij$ $f\left(e_{ij}\right)=0$ } \ right ) = f ( e $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $= 11$ ( e ) display styleft ( e $_$ $e_{ij}$ right ) f $e_{ij}$ ) 。 $\displaystyle f(\mathbf {A})=\sum _{i,j}[\mathbf {A}_{i}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}f\left(e_{11}\right)=f\oper_11}}$ 좀 더 추상적으로, 이것은 분해에 해당된다. ${mathfrak {gl}_{n}=mathfrak {sl}_{n}\oplus k,$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ ( $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ ) $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ （ $B$ A $）$ = tr （ $AB$ ） =\ $operatorname {tr$ }( $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ $)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ （ tr $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ [ $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ , $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ） $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ 0 { $displaystyle \operatorname {tr }([A$ , B ]) = 0 $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ l $트레이스$ ${\mathfrak {sl}}_{n},$ 에 ${\mathfrak {sl}}_{n},$ 되어 있습니다.dom: 이러한 모든 맵은 스칼라 파라미터의 1개의 스칼라 값에 의해 결정됩니다.따라서 모든 맵은 트레이스의 배수입니다.이러한 맵은 0이러한 맵입니다.
^ 증명: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ n $(\$ 은 ${\mathfrak {sl}}_{n}$ 반심플 라이 대수이므로 그 안의 모든 요소는 일부 요소 쌍의 정류자의 선형 조합입니다.그렇지 않으면 도출된 대수가 적절한 이상입니다.
^ 이는 tr $(A * A)$ = 0이라는 $사실$ 에서 비롯되며 A = $0$ 인 $경우$ 에만 해당된다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d ^e "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices". fourier.eng.hmc.edu. Retrieved 2020-09-09.
^ ^a ^b ^c ^d Weisstein, Eric W. (2003). "Trace (matrix)". CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (Second edition of 1999 original ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall. doi:10.1201/9781420035223. ISBN 1-58488-347-2. MR 1944431. Zbl 1079.00009. Retrieved 2020-09-09.
^ ^a ^b ^c ^d Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.
^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
^ Hutchinson, M.F. (January 1989). "A Stochastic Estimator of the Trace of the Influence Matrix for Laplacian Smoothing Splines". Communications in Statistics - Simulation and Computation. 18 (3): 1059–1076. doi:10.1080/03610918908812806. ISSN 0361-0918.
^ Avron, Haim; Toledo, Sivan (2011-04-11). "Randomized algorithms for estimating the trace of an implicit symmetric positive semi-definite matrix". Journal of the ACM. 58 (2): 8:1–8:34. doi:10.1145/1944345.1944349. ISSN 0004-5411.
^ Teschl, G. (30 October 2014). Mathematical Methods in Quantum Mechanics. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 157 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-1470417048.
^ ^a ^b ^c ^d Kassel, Christian (1995). Quantum groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 155. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0783-2. ISBN 0-387-94370-6. MR 1321145. Zbl 0808.17003.

Gantmacher, F. R. (1959). The theory of matrices. Vols. 1, 2. Translated by K. A. Hirsch. New York: Chelsea Publishing Company. MR 0107649.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (Second edition of 1985 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. MR 2978290.
Strang, Gilbert (2004). Linear algebra and its applications (Fourth edition of 1976 original ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0030105678.

외부 링크

"Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[5] 이것은 매트릭스 곱의 정의에서 바로 나온 것입니다. $\displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \mathbf {B} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{ji}_ji}}$

[6] 예를 들어, $\displaystyle \mathbf {A} =pmatrix{pmatrix} 0&1&0\end{pmatrix},\displaystyle \mathbf {B} =pmatrix{pmatrix} 0&0\displaystyle \mathbf {pmatrix} 0&1&0&0&0&0\end{pmatrix}$ 그럼 제품은 ${\displaystyle \mathbf {AB} = beginpm { pmatrix }1 & 0 \ \ 0 & 0 \ end { pmatrix } ,$ 트레이스는 tr $(AB)$ = $1 0$ 0 $0$ 0 $=$ tr( $A)tr(B)$ 입니다.

[7] $e_{ij}$ : $f\left(e_{ij}\right)=0$ $e_{ij}$ ( $f\left(e_{ij}\right)=0$ $f\left(e_{ij}\right)=0$ $j$ ) $f\left(e_{ij}\right)=0$ $f\left(e_{ij}\right)=0$ ( $displaystyle f$ \ left ( $e$ _ { $ij$ $i\neq j$ } \ right )= $0$ $i\neq j$ ( i $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $i\neq j$ $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ( e $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ f ( $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $displaystyle$ f \ $left$ ( e _ { $ij$ $f\left(e_{ij}\right)=0$ } \ right ) = f ( e $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ ) $= 11$ ( e ) display styleft ( e $_$ $e_{ij}$ right ) f $e_{ij}$ ) 。 $\displaystyle f(\mathbf {A})=\sum _{i,j}[\mathbf {A}_{i}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}f\left(e_{11}\right)=f\oper_11}}$ 좀 더 추상적으로, 이것은 분해에 해당된다. ${mathfrak {gl}_{n}=mathfrak {sl}_{n}\oplus k,$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ ( $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ ) $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ （ $B$ A $）$ = tr （ $AB$ ） =\ $operatorname {tr$ }( $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ $)$ $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ （ tr $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ [ $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ , $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ） $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ 0 { $displaystyle \operatorname {tr }([A$ , B ]) = 0 $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ l $트레이스$ ${\mathfrak {sl}}_{n},$ 에 ${\mathfrak {sl}}_{n},$ 되어 있습니다.dom: 이러한 모든 맵은 스칼라 파라미터의 1개의 스칼라 값에 의해 결정됩니다.따라서 모든 맵은 트레이스의 배수입니다.이러한 맵은 0이러한 맵입니다.

[8] 증명: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ n $(\$ 은 ${\mathfrak {sl}}_{n}$ 반심플 라이 대수이므로 그 안의 모든 요소는 일부 요소 쌍의 정류자의 선형 조합입니다.그렇지 않으면 도출된 대수가 적절한 이상입니다.

[11] 이는 tr $(A * A)$ = 0이라는 $사실$ 에서 비롯되며 A = $0$ 인 $경우$ 에만 해당된다.

[:1-1] "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices". fourier.eng.hmc.edu. Retrieved 2020-09-09.

[:2-2] Weisstein, Eric W. (2003). "Trace (matrix)". CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (Second edition of 1999 original ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall. doi:10.1201/9781420035223. ISBN 1-58488-347-2. MR 1944431. Zbl 1079.00009. Retrieved 2020-09-09.

[LipschutzLipson-3] Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.

[HornJohnson-4] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

[9] Hutchinson, M.F. (January 1989). "A Stochastic Estimator of the Trace of the Influence Matrix for Laplacian Smoothing Splines". Communications in Statistics - Simulation and Computation. 18 (3): 1059–1076. doi:10.1080/03610918908812806. ISSN 0361-0918.

[10] Avron, Haim; Toledo, Sivan (2011-04-11). "Randomized algorithms for estimating the trace of an implicit symmetric positive semi-definite matrix". Journal of the ACM. 58 (2): 8:1–8:34. doi:10.1145/1944345.1944349. ISSN 0004-5411.

[12] Teschl, G. (30 October 2014). Mathematical Methods in Quantum Mechanics. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 157 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-1470417048.

[kassel-13] Kassel, Christian (1995). Quantum groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 155. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0783-2. ISBN 0-387-94370-6. MR 1321145. Zbl 0808.17003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[note 1]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

[5]

[6]

[note 5]

[7]

[8]

Search

트레이스(선형 대수)

네임스페이스

더

목차

정의.

예

특성.

기본 속성

제품의 흔적

순환 특성

크로네커 제품의 흔적

트레이스의 특징

고유값의 합으로 추적

정류자의 흔적

특수한 종류의 행렬의 흔적

고유값과의 관계

파생 관계

선형 연산자의 추적

수치 알고리즘

확률적 추정기

적용들

리 대수

쌍선형 형태

일반화

텐서 제품 언어의 흔적

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

외부 링크

Search

트레이스(선형 대수)

정의.

예

특성.

기본 속성

제품의 흔적

순환 특성

크로네커 제품의 흔적

트레이스의 특징

고유값의 합으로 추적

정류자의 흔적

특수한 종류의 행렬의 흔적

고유값과의 관계

파생 관계

선형 연산자의 추적

수치 알고리즘

확률적 추정기

적용들

리 대수

쌍선형 형태

일반화

텐서 제품 언어의 흔적

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

외부 링크

「」를 참조해 주세요.