바그스태프 프라임

바그스태프 프라임
이름을 따서 명명됨	새뮤얼 S. 바그스타프 주니어
발행년도	1989
출판사 저자	베이트먼, P. T. 셀리지, J. L. 와그스타프 주니어, S. S.
No. 알려진.	43
제1항	3, 11, 43, 683
가장 큰 알려진 용어	(215135397+1)/3
OEIS 지수	A000979; 와그스태프 프라임: 형태의 프라임(2^p + 1)/3;

수 이론에서 와그스태프 프라임은 형태의 프라임 숫자다.

{\displaystyle {{2^{p}+1} \3}이상

여기서 p는 이상한 소수다. Wagstaff 프라임은 수학자 Samuel S의 이름을 따서 명명되었다. Wagstaff Jr.; 주요지는 프랑수아 모랭이 1990년 유로크립트 회의의 강연에서 이 책들을 이름지은 것을 높이 평가하고 있다. 와그스태프 프리임은 뉴 메르센 추측에 등장하며 암호 해독에 응용한다.

예

처음 3개의 와그스태프 프라임은 3, 11, 43이다.

{\party}3&={2^{3}+1 \}\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3}\\\\[5pt]43&={2^{7}+1 \}}}}}\이상 \}\end{정렬}}

알려진 Wagstaff 프라임

처음 몇 개의 Wagstaff 프리타임은 다음과 같다.

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 7686143364045641, … (OEIS의 경우 순서 A000979)

2021년^[update] 11월 현재 Wagstaff 소수점 또는 개연성 있는 소수점을 산출하는 알려진 지수는 다음과 같다.

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 43, 61, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 1091, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369,^[2] (모두 알려진 와그스타프 프라임)

117239, 127031, 138937, 141079, 269087, 269987, 374321, 986191, 4031399, …, 13347311, 13372531, 15135397(OEIS의 와그스태프 개연성) (시퀀스 A000978).

2010년 2월, 토니 라이스는 바그스태프의 전성기를 발견했다.

{\frac {2^{4031399}+1}{3}}}

1213,572자리의 숫자를 가지고 있으며, 이 날짜에 발견된 가장 큰 가능성 있는 소수점이었다.^[3]

2013년 9월 라이언 프로퍼는 Wagstaff 가능성 있는 두 가지 추가 프리타임의 발견을 발표했다.^[4]

{\frac {2^{13347311}+1}{3}}}

그리고

{\frac {2^{13372531}+1}{3}}}

각각은 4백만자리의 소수 자릿수를 약간 넘는 유력한 소수점이다. 현재 4031399와 13347311 사이에 바그스태프의 예상 소수점을 산출하는 지수가 있는지 여부는 알려지지 않았다.

2021년 6월 라이언 프로퍼는 와그스태프 최고 전성기의 발견을 발표했다.^[5]

{\frac {2^{15135397}+1}{3}}}

소수점 450만 이상의 소수점일 가능성이 있는 소수점이다.

프라이머리티 테스트

p의 값이 최대 95369까지 원시성이 입증되었거나 반증되었다. p > 95369를 가진 사람들은 2021년^[ref] 8월 현재 prime이 될 가능성이 있다. p = 42737에 대한 원시성 증명은 2007년 프랑수아 모랭에 의해 Opteron 프로세서에서 743GHz일 동안 워크스테이션의 여러 네트워크에서 실행되는 분산 ECPP 구현으로 수행되었다.^[6] 그것은 ECPP가 발견한 2009년 3월까지 세 번째로 큰 원시성 증거였다.^[7]

더 루카스-Lehmer-Riesel 테스트는 Wagstaff PRP를 식별하는 데 사용될 수 있다. 특히 p가 바그스태프 프라임의 지수라면 그 다음이다.

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

-

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

(

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

+ 1

25^{2^{p-1}}\equiv 25{\pmod {2^{p}+1}}

)

{\

^[8] .

일반화

양식의 개수를 더 일반적으로^[9] 고려하는 것은 당연하다.

Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}

$b\geq 2$ 서 b $b\geq 2$ $b\geq 2$ ${\displaystyle b\geq$ 2 $b\geq 2$ $n$ $n$ 이상이기 $n$ 때문에 우리는

{\frac {b^{n}+1}{b+1}{b+1}={\frac {(-b)^{n1}-1}{(-b)-1}{(-b)}

이러한 숫자들은 "Wagstaff number $b$ b b ${\displaystyle$ $b$ }" $b$ 라고 불리며, 때로는 음의 기준이 $-b$ repunit number의 사례로^[10] 간주되기도 한다 $-b$

$b$ $b$ 의 일부 특정 값에 대해 $Q(b,n)$ Q $Q(b,n)$ , $Q(b,n)$ ) ${\displaystyle Q(b,n)}($ 매우 작은 $n$ $n$ 에 대한 예외 포함 $n$ 는 "알제브라틱" 인자화 때문에 복합적이다 $b$ Specifically, if $b$ has the form of a perfect power with odd exponent (like 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 729, 1000, etc. (sequence A070265 in the OEIS)), then the fact that $x^{m}+1$ , with $m$ odd, is divisible by $x+1$ sh $Q(a^{m},n)$ 특별한 경우 $a^{n}+1$ Q $Q(a^{m},n)$ , $Q(a^{m},n)$ n ) ${\displaystyle Q(a^{$ m}, $n)$ 는 $a^{n}+1$ + $a^{n}+1$ $a^{n}+1$ 로 구분된다 $Q(a^{m},n)$ . 또 다른 경우는 b $b=4k^{4}$ = $b=4k^{4}$ $b=4k^{4}$ 4 ${\$ 이고 $b=4k^{4}$ 여기에 k 양의 정수(4, 64, 324, 1024, 2500, 5184 등)(OEIS에서 순서 A141046 등)가 있다.

그러나 $b$ $b$ 이 $n$ (가) 대수적 요인화를 인정하지 $b$ 않을 경우, n{\ $displaystyle n}$ $Q(b,n)$ 이 $Q(b,n)$ Q $Q(b,n)$ , $)$ {\ $displaystyle Q(b,n)}$ 을(를 $Q(b,n)$ ) prime으로 만드는 무한 수의 $n$ $n$ 이(가)가 $n$ 홀수임을 알 수 있는 것으로 추측된다.

For $b=10$ , the primes themselves have the following appearance: 9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091, … (sequence A097209 in the OEIS), and these ns are: 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... (sequence A001562 in the OEIS).

일반화된 Wagstaff $primes$ bb {\ $displaystyle$ b $}$ 목록을 위한 repunit을 참조하십시오 $b$ (일반화된 Wagstaff primes $b$ $b$ 은 $b$ (일반화된 Wagstaff primes b}은) 일반화된 repime base $-b$ - $-b$ ${\\displaysty$ $-b}$ 이며 $-b$ $홀수$ $n$

$Q(n,p)$ , $Q(n,p)$ ) $Q(n,p)$ 이 $Q(n,p)$ (가) prime인 최소 p(n = 2, 해당 p가 없는 경우 0으로 시작)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, ... (sequence A084742 in the OEIS)

$Q(b,prime(n))$ , $Q(b,prime(n))$ $Q(b,prime(n))$ $Q(b,prime(n))$ $Q(b,prime(n))$ e $Q(b,prime(n))$ ( n $Q(b,prime(n))$ $Q(b, prime(n))$ 이 $Q(b,prime(n))$ (가) prime인 최소 b는 (n = 2)가 된다.

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (sequence A103795 in the OEIS)

참조

^ Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff, Jr., S. S. (1989). "The New Mersenne Conjecture". American Mathematical Monthly. 96: 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195.
^ "The Top Twenty: Wagstaff".
^ "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top records". www.primenumbers.net. Retrieved 2021-11-13.
^ 새로운 Wagstaff PRP 지수, mersenneforum.org
^ 새로운 Wagstaff PRP 발표, mersenneforum.org
^ Francois Morain의 논평, The Prime Database: (2⁴²⁷³⁷ + 1)/3 The Prime Pages에서.
^ Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Elliptic Curve Primality Proof", The Prime Pages
^ "형식 (2^p + 1)/3의 숫자에 대한 효율적 개연성 프라임 테스트"
^ Dubner, H. 및 Granlund, T.: 형태의 Primes (bⁿ + 1)/(b + 1) Journal of Indument Sequence, Vol. 3(2000)
^ Repunit, Wolfram MathWorld(에릭 W) 와이스슈타인)

외부 링크

John Renze and Eric W. Weisstein. "Wagstaff prime". MathWorld.
Chris Caldwell, The Top 20: 프라임 페이지의 와그스태프.
Renaud Lifchitz, "형식 (2^p + 1)/3의 숫자에 대한 효율적인 예상 프라임 테스트".
토니 레이스는 "x - 2 mdulo a² prime 아래 디그그래프의 사이클을 바탕으로 메르센, 와그스태프, 페르마트의 원시성 검사에 대한 3가지 추측"이라고 말했다.
기준 -50 ~ 50의 리패니트
와그스태프 프라임 2-160 목록

[1] Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff, Jr., S. S. (1989). "The New Mersenne Conjecture". American Mathematical Monthly. 96: 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195.

[top20-2] "The Top Twenty: Wagstaff".

[3] "Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top records". www.primenumbers.net. Retrieved 2021-11-13.

[4] 새로운 Wagstaff PRP 지수, mersenneforum.org

[5] 새로운 Wagstaff PRP 발표, mersenneforum.org

[6] Francois Morain의 논평, The Prime Database: (2⁴²⁷³⁷ + 1)/3 The Prime Pages에서.

[7] Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Elliptic Curve Primality Proof", The Prime Pages

[8] "형식 (2^p + 1)/3의 숫자에 대한 효율적 개연성 프라임 테스트"

[9] Dubner, H. 및 Granlund, T.: 형태의 Primes (bⁿ + 1)/(b + 1) Journal of Indument Sequence, Vol. 3(2000)

[10] Repunit, Wolfram MathWorld(에릭 W) 와이스슈타인)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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