브링스 곡선

수학에서 브링스 곡선(Bring's surface 및 Klein 사분위수와 유추하여 브링스 육분형이라고도 함)은 동차 방정식으로 잘라낸$$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 곡선입니다.

${\displaystyle v+w+x+y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.}$

클라인(Klein, 2003, p.157)은 1786년 룬드 대학에 제출한 홍보 책에서 비슷한 건축을 연구한 에를란트 사무엘 브링의 이름을 따 이름을 지었습니다. ${\displaystyle k}$ = 1, ${\displaystyle 2}$, 3에 대해 ∑ $i$${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 15}$ x k = 0 ${\$displaystyle $x^{$5}+ax+b =$0$ {\displaystyle \sum _{i=1}^{5}x_{i}^{k}= 0 {\displaystyle \sum _{i=1} = 1, ${\displaystyle 2}$${\displaystyle ,}$ 3. {\displaystyle k= 1, 2, ${\displaystyle 3}$.}

곡선의 자기동형군은 5개의 좌표의 순열로 주어진 차수 120의 대칭군 S입니다₅. 이것은 속 4 복소 곡선에서 가능한 가장 큰 자기 형태군입니다.

곡선은 12개의 점으로 분기된 구의 삼중 덮개로 구현될 수 있으며, 작은 성상십이면체와 관련된 리만 표면입니다. 그것은 4속을 가지고 있습니다. 대칭의 전체 그룹(반사 포함)은 차수가 240인 직접 곱 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ $5{\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$입니다$.$

기본 도메인 및 시스템롤

브링의 곡선은 쌍곡면의 변을 결합하여 리만 곡면으로 구할 수 있습니다(기본 다각형 참조). 식별 패턴은 인접 다이어그램에 나와 있습니다. (Gauss-Bonnet 정리에 의해 $영역$ ${\displaystyle \mathrm{12}}$π {\displaystyle 12\pi}의 이코사곤은 240개의 (2,4,5) 삼각형으로 테셀레이션될 수 있습니다. 이 삼각형 중 하나를 다른 삼각형으로 운반하는 작업은 표면의 전체 자기 형태를 제공합니다(반사 포함). 반사를 할인하여 소개에 언급된 120개의 자동 형태를 얻습니다. 120은 후르비츠의 자기형태론 정리에 의해 4속 표면에 허용되는 자기형태론을 보존하는 최대 방향 수인 252보다 작습니다. 따라서 브링의 표면은 후르비츠 표면이 아닙니다. 이것은 또한 4속의 후르비츠 표면이 존재하지 않는다는 것을 알려줍니다.

전체 대칭 그룹에는 다음과 같은 프레젠테이션이 있습니다.

${\displaystyle ⟨}{\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle tr}$ ${\displaystyle 5^{}}$ = ${\displaystyle s{}^{}}$2 = ${\displaystyle t{2}^{}}$ = r${\displaystyle tr}$=$st$ s${\displaystyle t}$ t = (r s ${\displaystyle )}$ 4 = (s r 3 s r 2 ${\displaystyle )}$ 2 ${\displaystyle =}$ e ⟩ {\displaystyl${\displaystyle e\; \backslash }$langler,\,s,\,t\, \,r^${\displaystyle \{}$5} = s^${\displaystyle \{}$2} = t^${\displaystyle \{}$2} = r${\displaystyle t}$rt =${\displaystyle }$st = (rs)^${\displaystyle \{}$4} = (sr^{3}sr^{2)^${\displaystyle \{}$2} = e\rangle },

$여기$서 ${\displaystyle e}$는 아이덴티티 동작이고, $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$은 기본 다각형의 중심에 대한 차수 5의 회전이고$$, $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$는 테셀레이션에서 4개의 (2,4,5)개의 삼각형이 만나는 꼭지점에서의 차수 2의 회전이고, $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$는 실수선에서의 반사입니다. 이 발표로부터, GAP를 이용하여 Bring's surface의 대칭군의 선형 표현 이론에 대한 정보를 계산할 수 있습니다. 특히, 그룹은 4개의 1차원, 4개의 4개의 4개의 4개의 4개의 4개의 4개의 4개의 4개의 4개의 5개의 6차원 그리고 2개의 6차원 축소 불가능한 표현을 가지고 있으며, 우리는

${\displaystyle 4(1^{2})+4(4^{2})+4(5^{2})+2(6^{2})=4+64+100+72=240}$

역시

표면의 수축기는 길이를 갖습니다.

${\displaystyle 12\sinh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}}\right)\approx 4.60318}$

그리고 다중도 20은 240개의 삼각형 중 12개의 연결된 고도로 구성된 길이의 지오데식 루프입니다. 클라인 사차원수와 마찬가지로 브링의 표면은 자기모피즘 군의 크기를 최대화함에도 불구하고 위상 범주(즉, 같은 속을 갖는 표면)에서 콤팩트 리만 표면 사이의 시스템 길이를 최대화하지 않습니다. 시스톨은 M4in으로 언급된 표면에 의해 최대화되는 것으로 추정됩니다(Schmutz 1993). M4의 시스톨 길이는

${\displaystyle 2\cosh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}(5+3{\sqrt {3}})\right)\approx 4.6245,}$

다중성 36을 가지고 있습니다.

스펙트럼 이론

브링 표면의 스펙트럼 이론에 대해서는 알려진 바가 거의 없지만, 잠재적으로 이 분야에서 관심을 가질 수 있습니다. 볼자 표면과 클라인 사분면은 각각 2속과 3속에서 일정한 음의 곡률을 가진 콤팩트 리만 표면 중 가장 큰 대칭 그룹을 가지고 있으므로 라플라스 스펙트럼에서 첫 번째 양의 고유값을 최대화하는 것으로 추측되었습니다. 특히 볼자 표면의 경우 엄격한 증거를 제공하는 것은 여전히 미해결 문제이지만 이 가설을 뒷받침하는 강력한 수치 증거가 있습니다. 이 패턴을 따라, 브링의 표면이 (위상 등급의 표면들 사이에서) 라플라시안의 첫 번째 양의 고유값을 최대화한다고 합리적으로 추측할 수 있습니다.

참고 항목

• 볼자면
• 클라인 사중주
• 맥비트 표면
• 후르비츠 제1쌍둥이

참고문헌

• Bring, Erland Samuel; Sommelius, Sven Gustaf (1786), Meletemata quædam mathematica circa transformationem æquationem algebraicarum, Promotionschrift, University of Lund
• Edge, W. L. (1978), "Bring's curve", Journal of the London Mathematical Society, 18 (3): 539–545, doi:10.1112/jlms/s2-18.3.539, ISSN 0024-6107, MR 0518240
• Klein, Felix (2003) [1884], Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree, Dover Phoenix Editions, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49528-6, MR 0080930
• Riera, G.; Rodriguez, R. (1992), "The period matrices of Bring's curve", Pacific J. Math., 154 (1): 179–200, doi:10.2140/pjm.1992.154.179, MR 1154738
• Schmutz, P. (1993), "Riemann surfaces with shortest geodesic of maximal length", GAFA, 3 (6): 564–631, doi:10.1007/BF01896258
• Weber, Matthias (2005), "Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface", Pacific J. Math., 220: 167–182, doi:10.2140/pjm.2005.220.167