슈프-엘키스–Atkin 알고리즘

더 슈프-엘키스–Atkin algorithm(SEA)은 유한장에 걸쳐 타원 곡선의 점의 수를 찾거나 계산하는 데 사용되는 알고리즘입니다. 주요 응용 분야는 타원 곡선 암호학입니다. 이 알고리즘은 (휴리스틱 가정 하에서) 효율성을 크게 향상시키기 위해 Noam Elkies와 A. O. L. Atkin이 Schoof의 알고리즘을 확장한 것입니다.

세부 사항

슈프의 알고리즘에 대한 엘키스-앳킨 확장은 특정 종류의 소수로 간주되는 소수 $S=\{l_{1},\ldots ,l_{s}\}$ = $S=\{l_{1},\ldots ,l_{s}\}$ $l$ s} {\displaystyle S =\{l_{1},\ldots,l_{s}\} 집합을 제한함으로써 작동합니다. 이것들은 각각 엘키스 소수와 앳킨 소수라고 불리게 되었습니다. $특성$ $\phi ^{2}-t\phi +q=0$ 방정식인 $\phi ^{2}-t\phi +q=0$ ϕ 2 - t $\phi ^{2}-t\phi +q=0$ ϕ +q $\phi ^{2}-t\phi +q=0$ = 0 ${\$ displaystyle \phi^{2 $}-$ t\phi + q=0}이 Fl {\displaystyle \mathbb {F}_{l}에 걸쳐 분할되는 반면, Atkin 프라임은 Elkies 프라임이 아닌 프라임입니다. Atkin은 효율적인 알고리즘을 만들기 위해 Atkin 소수에서 얻은 정보와 Elkies 소수에서 얻은 정보를 결합하는 방법을 보여주었고, 이는 Schof-로 알려지게 되었습니다.엘키스–Atkin 알고리즘. 첫 번째 해결해야 할 문제는 주어진 소수가 엘키스인지 앳킨인지를 결정하는 것입니다. 이를 위해 저희는 모듈 다항식 $\Phi _{l}(X,Y)$ φ φ $\Phi _{l}(X,Y)$ (X $\Phi _{l}(X,Y)$ Y $\Phi _{l}(X,Y)$ ${\displaystyle \Phi_{$ l}(X, Y $)}$ 을 사용하여 l ${\displaystyle$ l} - 등속 타원 곡선 쌍을 j-불변 값으로 매개변수화합니다(실제로는 대체 모듈식 다항식도 사용할 수 있지만 동일한 목적으로 사용할 수 있습니다).

인스턴스화된 다항식 $\Phi _{l}(X,j(E))$ φ $\Phi _{l}(X,j(E))$ (X, $\Phi _{l}(X,j(E))$ j $(E$ )) ${\displaystyle \Phi _{l}($ X,j(E))}가 $Fq {\displaystyle \mathbb {$ F}_{q $}}$ 에서 $j(E')$ j ( $E')$ ${\displaystyle$ j( $\mathbb {F} _{q}$ ')}를 가지면 $l {\displaystyle$ l}은 엘키스 소수입니다. 그리고 근이 $E$ ${\displaystyle$ $E$ $}$ 에서 $e$ $E^{'}$ ${\$ E $'}$ 까지의 l ${\displaystyle$ l $}$ - 등유성의 $l$ 커널의 점에 해당하는 $f_{l}(X)$ 다항식 $f_{l}(X)$ ( $f_{l}(X)$ $f_{l}(X)$ 를 계산할 수 있습니다 $E'$ 다항식 $f_{l}$ ${\$ 는 $f_{l}$ Schoof의 알고리즘에 사용된 해당 나눗셈 다항식의 약수이며, O( $O(l^{2})$ $O(l)$ ${\displaystyle$ O $(l)}$ 대 O $O(l)$ $O(l^{2})$ 2 $O(l^{2})$ $O(l^{2}$ 의 차수가 상당히 낮습니다 $O(l^{2})$ Elkies 소수의 경우, 이를 통해 $E$ ${\displaystyle$ E $}$ $l$ $l$ 의 점 수를 Schoof의 알고리즘보다 더 효율적으로 $l$ 계산할 수 있습니다. Atkin 소수의 경우 $\mathbb {F} _{l}[X]$ $\Phi _{l}(X,j(E))$ $\mathbb {F} _{l}[X]$ [ X ] $\mathbb {F$ _ $\mathbb {F} _{l}[X]$ l}[X]의 $\mathbb {F} _{l}[X]$ φL( $\Phi _{l}(X,j(E))$ j $\Phi _{l}(X,j(E))$ (E)) ${\displaystyle \Phi$ _{ $l}($ X,j( $\mathbb {F} _{l}[X]$ ))}의 인수분해 패턴에서 몇 가지 정보를 얻을 수 있습니다. 이는 점 $모듈 {\displaystyle$ l}의 수에 대한 가능성을 제한합니다. 하지만 알고리즘의 점근적 복잡성은 전적으로 엘키스 소수에 달려 있습니다. 작은 엘키 소수가 충분히 많다면(평균적으로 $l$ 의 소수 중 절반이 엘키 소수일 것으로 $l$ 예상), 이는 실행 시간을 단축시킵니다. 결과 알고리듬은 (라스베이거스 유형의) 확률적이며 예상 실행 시간은 휴리스틱적으로 O ${\tilde {O}}(\log ^{4}q)$ ~ ${\tilde {O}}(\log ^{4}q)$ ${\tilde {O}}(\log ^{4}q)$ ⁡ q) {\displaystyle ${\tilde$ {O $}}(\log$ 4}q)}이므로 Schoof의 알고리듬보다 실제로 더 효율적입니다. ${\tilde {O}}$ 서 O ${\tilde {O}}$ ~ ${\$ 표기법은 ${\tilde {O}}$ 식의 주항에 로그인 항을 억제하는 빅 O 표기법의 변형입니다.

구현

슈프-엘키스–Atkin 알고리즘은 GP 함수 elap의 PARI/GP 컴퓨터 대수 시스템에서 구현됩니다.

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