자연 로그 2

자연 로그의 10진수 값 2(OEIS에서 순서 A002162)는 대략

$\displaystyle \ln 2\ 약 0.693\,190\,559\,945\,309\,417\,232\,428\,458}$

다른 베이스에서 2의 로그는 다음 공식을 사용하여 얻는다.

${\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}$

특히 공통 로그는 (OEIS: A007524)

$\displaystyle \log _{10}2\ 약 0.10\,029\,995\,663\,981\,1971\,properties.}$

이 숫자의 역은 10의 이항 로그다.

${\displaystyle {\log }_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 10}$= 1 ${\displaystyle \frac{{\log }_{}}{}}$ ${\displaystyle 10\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle 1}$ 3.321 ${\displaystyle 928}$ ${\displaystyle 095}$ ${\displaystyle \log_{$2}$10={1}{\log_{10}2}}\$약$3.321\,928\,095}($OEIS: A020862).

By the Lindemann-위어스트라스 정리, 0과 1 이외의 자연수(더 일반적으로는 1 이외의 양의 대수적 수)의 자연수(자연수)는 초월수)는 초월수다.

시리즈 표현

상승 대체 요인

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .}$ This is the well-known "alternating harmonic series".

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{1}2}}+{\frac {1}{1}:{n=1}:{n=1}^{n1}{n+1}}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}+{\frac {1}{1}:{n=1}^{n=1}{n1}^{n+1}{n+1}(n+1)}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}\sum _{n=1}^{n=1}{n1}-1}^{n+1}{n+1}(n+2)(n+3)}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {frac}{{n3}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{n=1}{n:1}}{n+1}(-1)^{n+1}{n+1)(n+3)(n+4)}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}+{\frac {15}\sum _{n=1}^{n=1}{n1}^{n+1}{n+1}{n+1}{n+1)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

이항 상승 상수 요인

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\n=1}{\frac {1}{2^{n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{n1}{n1}{2^{n(n+1)(n+2)}}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}-6\sum _{n=1}^{n=1}\flac {1}{2^{n(n+1)(n+2)(n+3)}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}+24\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}{n1}{2^{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}}}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}-120\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}{n1}^{2^{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}}.}$

기타 시리즈 표현

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{{n+1){(2n+1)}}}}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{1}{n1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {(-1)^{n}{n}{n(4n^{2}-1)}{n}}}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {(-1)^{n}{n}{n}}{n}}{n}}}}{n(9n^{2}-1)=2-{\ln 2-{\frac {3}{2}}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\nfrac {1}{4n^{2}-2n}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\frac {221)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum \{n=0}^{\frac {(-1)^{n}}}{3n+1}{\ln2}}{3}+{\frac {\pi{3{\sqrt{3}}}}}}}}}}{\frac{\sqrt{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\frac {(-1)^{n}}}{3n+2}}=-{\frac {\ln2}}{3}+{\frac {}{3{\sqrt{3}}}}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{{\frac {(-1)^{n}}{n}{n}}{{n}}}{{n}}}}}}{{{n+1)}}}={\frac {2\ln 2}{3}}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}$ using ${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2$$N}{\frac {1}{n}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _n^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ 1 ${\displaystyle \frac{4\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{n\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{3}{}}$ n${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{6}{}}$ ${\$}-$3n}}}=\ln 2+{\frac{}}}}}}}}}}}}($데각형수 왕복)

리만 제타 함수 포함

${\displaystyle \sum \{n=2}^{\inflt }{{1}{1}{2^{n}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum \{n=2}^{\inflt }{1}{1}{2n+1}[\zeta (n)-1]=1-\property -{\frac {\ln2}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\제타(2n)=1-\ln 2.}$

(γ는 오일러-마스케로니 상수 및 ri 리만의 제타 함수)

BBP형 표현

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

(BBP(Bailey-Borwein-Plouffe) 유형의 표현에 대해 자세히 알아보십시오.)

자연 로그에 대해 3개의 일반 시리즈를 2에 직접 적용하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {(-1)^{n-1}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}\sum _{k=0}^{\flac {1}{9^{k}(2k+1)}}}.}$

$2{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ 2$={\frac {3}{2$}}\$cdot{\frac {4}{3}}}}$에 적용하면 다음이 제공된다$$.

${\displaystyle \ln 2=\sum \n=1}{n=1}^{n-1}{n-1}:{n-1}+++++++{n=1}{n=1}^{n-1}{n-1}n}}}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum \n=1}{n=1}^{n}}}{\frac {1}{3^{n}}+\sum _{n=1}^{n1}{n}n}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}$

$2{\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 적용하면 다음과 같은 효과를 얻을$$ 수 있다.

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\n=1}{\frac {(-1)^{n-1}{{\sqrt{2}}+1)^{n}}}.}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\n=1}{\frac {1}{1}{(2+{\sqrt{2}})^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt{2}}\sum_{k=0}^{\flac{1}{{17+12{\sqrt{2}}}^{k}(2k+1)}.}$

$2{\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\frac{16}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{15}{}}^{}}$) ${\displaystyle 7^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$(${\displaystyle {\frac{81}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{80}{}}^{}}$) ${\displaystyle 3^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {25}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\frac{24}{}}^{}}$) 5 ${\$에 적용$}}^{7}\cdot {\왼쪽 사진\frac {81}{80}\오른쪽)$$}}^{3}\cdot {\왼쪽 사진\frac {25}{24}\오른쪽)$$}^{5}}}$는 다음을 제공한다$$.

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}$

통합으로서의 표현

2의 자연 로그는 통합의 결과로 자주 발생한다. 이에 대한 일부 명시적 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \int \int _{0}^{1}{dx}{1+x}=\int _{1}^{1}{1}{dx}=\ln 2}$

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{-x}{\frac {1-e^{-x}}\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{3}\tan x\,dx=2\int _{0}^{0}^{4}\tan x\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}\int _{0}^{\inflt }{\frac {\ln x\ln \ln \ln \ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}$

기타 표현

Pierce 확장은 OEIS: A091846

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}+{\frac {1}{1\cdot 3}-\cdots .}$

엥겔 확장은 OEIS: A059180

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{1}:{2\cdot 3}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}+{\frac {1}{1}{2\cdot 3\cdot 9}+\cdots .}}$

Cotangent 확장은 OEIS: A081785이다.

${\displaystyle \ln 2=\cdn\cdotsname {arccot}(0)-\cdotname {arccot}(1)+\cdotname {arccot}(5)-\cdname {arccot}(55)+\cdocs }).}$

단순 연속 분수 확장은 OEIS: A016730

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...$$\right$

합리적인 근사치를 산출하며, 그 중 처음 몇 가지는 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13, 61/88이다.

이러한 일반화된 연속 분수는 다음과 같다.

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...$$\right$^[1]

로도 표현할 수 있는.

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

부트스트래핑 기타 로그

ln 2의 값을 지정하면, 다른 정수의 로그 계산 방식은 소수점 로그와 그 인자화에 기초하여 복합수 c의 로그 표를 만드는 것이다.

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+ln(3)+ln(5)+ln(7)+\cdots }}$

이것은 고용된다.

전성기의	대략적인 자연 로그	OEIS
2	0.693147180559945309417232121458	A002162
3	1.09861228866810969139524523692	A002391
5	1.60943791243410037460075933323	A016628
7	1.94591014905531330510535274344	A016630
11	2.39789527279837054406194357797	A016634
13	2.56494935746153673605348744157	A016636
17	2.83321334405621608024953461787	A016640
19	2.94443897916644046000902743189	A016642
23	3.13549421592914969080675283181	A016646
29	3.36729582998647402718327203236	A016652
31	3.43398720448514624592916432454	A016654
37	3.61091791264422444436809567103	A016660
41	3.71357206670430780386676337304	A016664
43	3.76120011569356242347284251335	A016666
47	3.85014760171005858682095066977	A016670
53	3.97029191355212183414446913903	A016676
59	4.07753744390571945061605037372	A016682
61	4.11087386417331124875138910343	A016684
67	4.20469261939096605967007199636	A016690
71	4.26267987704131542132945453251	A016694
73	4.29045944114839112909210885744	A016696
79	4.36944785246702149417294554148	A016702
83	4.41884060779659792347547222329	A016706
89	4.48863636973213983831781554067	A016712
97	4.57471097850338282211672162170	A016720

세번째층에서 이성적인 숫자 발음하는 로그.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pars 정도씩 생겨나고 있다.Er-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b ln(r))ln(를)− ln(b), 그리고 뿌리들의 로그와 ln n√c)1/n ln(c)을 통해 산정된다.

2의 로그는 2의 파워가 다소 밀도 있게 분포되어 있다는 점에서 유용하다; 다른 숫자 b의 파워 b에^j 가까운 파워 2를ⁱ 찾는 것은 비교적 쉬우며, ln(b)의 직렬 표현은 로그 변환과 2 ~ b를 결합하여 발견된다.

예

p^ss = q^t + d가 약간 작은 경우, p^t/q = 1 + d/q^t.

${\displaystyle s\ln p-t\ln q=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1}{\frac {({\frac {d}{q^{t}}})^{m}}{m}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}$

q = 2를 선택하면 ln p by ln 2와 빠른 수렴을 위해 작게 유지하고자 하는 일련의 매개변수 d/q를^t 나타낸다. 예를² 들어, 3 = 2³ + 1을 선택하면 생성된다.

${\displaystyle 2\ln 3=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}.}$

이는 실제로 다음의 확장 표에서 세 번째 행이다.

s	p	t	q	d/qt
1	3	1	2	1/2 = −0.50000000…
1	3	2	2	−1/4 = −0.25000000…
2	3	3	2	1/8 = −0.12500000…
5	3	8	2	−13/256 = −0.05078125…
12	3	19	2	7153/524288 = −0.01364326…
1	5	2	2	1/4 = −0.25000000…
3	5	7	2	−3/128 = −0.02343750…
1	7	2	2	3/4 = −0.75000000…
1	7	3	2	−1/8 = −0.12500000…
5	7	14	2	423/16384 = −0.02581787…
1	11	3	2	3/8 = −0.37500000…
2	11	7	2	−7/128 = −0.05468750…
11	11	38	2	10433763667/274877906944 = −0.03795781…
1	13	3	2	5/8 = −0.62500000…
1	13	4	2	−3/16 = −0.18750000…
3	13	11	2	149/2048 = −0.07275391…
7	13	26	2	−4360347/67108864 = −0.06497423…
10	13	37	2	419538377/137438953472 = −0.00305254…
1	17	4	2	1/16 = −0.06250000…
1	19	4	2	3/16 = −0.18750000…
4	19	17	2	−751/131072 = −0.00572968…
1	23	4	2	7/16 = −0.43750000…
1	23	5	2	−9/32 = −0.28125000…
2	23	9	2	17/512 = −0.03320312…
1	29	4	2	13/16 = −0.81250000…
1	29	5	2	−3/32 = −0.09375000…
7	29	34	2	70007125/17179869184 = −0.00407495…
1	31	5	2	−1/32 = −0.03125000…
1	37	5	2	5/32 = −0.15625000…
4	37	21	2	−222991/2097152 = −0.10633039…
5	37	26	2	2235093/67108864 = −0.03330548…
1	41	5	2	9/32 = −0.28125000…
2	41	11	2	−367/2048 = −0.17919922…
3	41	16	2	3385/65536 = −0.05165100…
1	43	5	2	11/32 = −0.34375000…
2	43	11	2	−199/2048 = −0.09716797…
5	43	27	2	12790715/134217728 = −0.09529825…
7	43	38	2	−3059295837/274877906944 = −0.01112965…

q = 10의 자연 로그에서 시작하여 다음과 같은 파라미터를 사용할 수 있다.

s	p	t	q	d/qt
10	2	3	10	3/125 = −0.02400000…
21	3	10	10	460353203/10000000000 = −0.04603532…
3	5	2	10	1/4 = −0.25000000…
10	5	7	10	−3/128 = −0.02343750…
6	7	5	10	17649/100000 = −0.17649000…
13	7	11	10	−3110989593/100000000000 = −0.03110990…
1	11	1	10	1/10 = −0.10000000…
1	13	1	10	3/10 = −0.30000000…
8	13	9	10	−184269279/1000000000 = −0.18426928…
9	13	10	10	604499373/10000000000 = −0.06044994…
1	17	1	10	7/10 = −0.70000000…
4	17	5	10	−16479/100000 = −0.16479000…
9	17	11	10	18587876497/100000000000 = −0.18587876…
3	19	4	10	−3141/10000 = −0.31410000…
4	19	5	10	30321/100000 = −0.30321000…
7	19	9	10	−106128261/1000000000 = −0.10612826…
2	23	3	10	−471/1000 = −0.47100000…
3	23	4	10	2167/10000 = −0.21670000…
2	29	3	10	−159/1000 = −0.15900000…
2	31	3	10	−39/1000 = −0.03900000…

알려진 숫자

ln 2의 자릿수 계산에 관한 최근 기록의 표다. 2018년 12월 현재 1을 제외한 자연수의 다른 어떤 자연수^[2][3] 로그보다 많은 숫자로 계산되었다.

날짜	이름	자릿수
2009년 1월 7일	A.Yee & R.찬	15,500,000,000
2009년 2월 4일	A.Yee & R.찬	31,026,000,000
2011년 2월 21일	알렉산더 예	50,000,000,050
2011년 5월 14일	곤도 시게루	100,000,000,000
2014년 2월 28일	곤도 시게루	200,000,000,050
2015년 7월 12일	론 왓킨스	250,000,000,000
2016년 1월 30일	론 왓킨스	350,000,000,000
2016년 4월 18일	론 왓킨스	500,000,000,000
2018년 12월 10일	마이클 궈	600,000,000,000
2019년 4월 26일	제이콥 리프피	1,000,000,000,000
2020년 8월 19일	김승민[4][5]	1,200,000,000,100
2021년 9월 9일	윌리엄 에콜스[6][7]	1,500,000,000,000

참고 항목

• 72#연속적 복합화 규칙, ln 2가 두드러지게 나타나는 경우
• 반감기# 지수 붕괴 시 반감기를 위한 포뮬라, ln 2가 두드러지게 나타난다.
• Erdős-Moser 방정식: 모든 용액은 ln 2의 수렴에서 나와야 한다.

참조

• Brent, Richard P. (1976). "Fast multiple-precision evaluation of elementary functions". J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314. S2CID 6761843.
• Uhler, Horace S. (1940). "Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26 (3): 205–212. doi:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033. PMID 16588339.
• Sweeney, Dura W. (1963). "On the computation of Euler's constant". Mathematics of Computation. 17 (82): 170–178. doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. MR 0160308.
• Chamberland, Marc (2003). "Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes" (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. MR 2046407. Archived from the original (PDF) on 2011-06-06. Retrieved 2010-04-29.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas" (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237–246. MR 2346048.
• Wu, Qiang (2003). "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers". Mathematics of Computation. 72 (242): 901–911. doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Natural logarithm of 2". MathWorld.
• "table of natural logarithms". PlanetMath.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "The logarithm constant:log 2".