슐바 수트라스

슐바수트라스 또는 율바수트라스(산스크리트어: शुल्बस;;;;;;;, ;바: "끈, 줄, 밧줄")는 율라우타 의식에 속하는 경전으로, 불알타르 건축과 관련된 기하학을 담고 있다.

목적과 기원

슐바 경전은 슈라우타 경전이라 불리는 더 큰 문헌의 일부로서, 베다에 부속된 것으로 간주된다. 그들은 베딕 시대의 인도 수학 지식의 유일한 원천이다. 독특한 불알타르의 모양은 신들의 독특한 선물과 연관되어 있었다. 예를 들어 '하늘을 바라는 자는 매의 형태로 불알타르를 건설하는 것' '거북의 형태로 불알타르를 건설하는 것' '기존의 적과 미래의 적을 파괴하고자 하는 자는 마름모꼴로 불알타르를 건설하는 것' 등이 있다.^[1]

수학적으로 가장 중요한 4대 슐바수트라는 보우드하야나, 마나바, 아파스탐바, 카타야나로 귀속된 것이다.^[2] 그들의 언어는 기원전 1천년기의 작문을 대략 가리키며 늦은 베딕 산스크리트어다.^[2] 가장 오래된 것은 기원전 800년에서 기원전 500년 경에 편찬된 바우다야나에 기인한 경전이다.^[2] 핑리는 아파스탐바가 다음으로 오래되었을 가능성이 높다고 말한다; 그는 명백한 차용에 기초하여 카티아야나와 마나바를 연대기적으로 세 번째와 네 번째에 둔다.^[3] 플로프커에 따르면 카타야나는 "기원전 4세기 중엽에 파치니가 산스크리트어를 문법적으로 대서특필한 것" 이후 작곡되었지만, 그녀는 바우드하야나와 같은 시기에 마나바를 배치한다.^[4]

Vedic 텍스트의 구성과 관련하여 Plofker는 다음과 같이 쓰고 있다.

산스크리트어를 신성한 연설로서 베다적 숭앙은, 신적으로 드러난 글들을 글로 옮기기보다는 읊고 듣고 암기하도록 되어 있어, 일반적으로 산스크리트 문학의 형성에 도움이 되었다…… 따라서 본문은 쉽게 외울 수 있는 형식으로 구성되었다: 응축된 산문 격언(sutras, 후에 일반적인 규칙이나 알고리즘을 의미하기 위해 적용되는 단어) 또는 구절, 특히 고전 시대에. 당연히 암기의 용이성은 때때로 이해의 용이성을 방해한다. 그 결과, 대부분의 논문은 하나 이상의 산문 논평자에 의해 보충되었다."^[5]

슐바 수트라스에는 각각 여러 개의 논평이 있지만, 이것들은 원작 이후 오래 뒤에 쓰여졌다. 예를 들어 아파스탐바에 대한 순다라자 해설은 CE^[6] 15세기 말에서 나온 것이고, 바우드하야나에 대한 드바라캉나타 해설은 순다라자로부터 빌려온 것으로 보인다.^[7] 스탈에 따르면, 슐바 경전에 묘사된 전통의 어떤 측면은 "구전"되었을 것이며, 그는 인도 남부에서 불알타르의 의식이 여전히 행해지고 구전 전통이 보존된 곳을 가리킨다.^[8] 그러나 인도에서는 불알타르의 전통이 거의 사라졌고, 플로프커는 그 관습이 남아 있는 주머니는 파괴되지 않은 전통이라기 보다는 나중에 베디크 부흥을 반영할 수 있다고 경고한다.^[4] 슐바 경전에 묘사된 제단 건축에 대한 고고학적 증거는 희박하다. 기원전 2세기에 제작된 커다란 매 모양의 불단(śyenyenyenitiiti)이 카우삼비에서 G. R. 샤르마의 발굴에서 발견되었지만, 이 제단은 슐바 수트라가 규정한 치수에 부합하지 않는다.^[3][9]

슐바 경전의 내용은 작품 자체보다 오래되었을 가능성이 높다. 사타파타 브라흐마나와 타이트리야 삼히타는 기원전 2천년 말이나 1천년 초기의 내용물로 바우드하야나 슐바 수트라에 열거된 삼각형 중 하나인 파다 15개와 파다 36개로 치수가 오른쪽 삼각형을 기준으로 한 것으로 보이는 제단을 묘사하고 있다.^[10][11]

몇몇 수학자들과 역사학자들은 이 문헌들 중 가장 이른 것이 기원전 2000년 경의 구전 전통의 축약에 기초하여 기원전 800년에 베딕 힌두교도에 의해 쓰여졌다고 언급한다.^[12][13] 굽타의 제안대로 의식의 필요를 충족시키기 위해 기하학이 개발되었다는 것은 가능하다.^[14] 일부 학자들은 더 멀리 간다: 스탈은 인도와 그리스 기하학의 공통적인 의례적 기원을 가정한 것으로, 이중화와 다른 기하학적 변환 문제에 대한 유사한 관심과 접근법을 인용한다.^[15] 판데르 베르덴에 이은 세이덴버그는 수학의 의식적 기원을 보다 넓게 보고, 피타고라스 정리 발견과 같은 주요한 진보가 한 곳에서만 일어났으며, 거기서부터 다른 세계로 확산되었다고 가정한다.^[16][17] 반 데어 바덴은 설바 경전의 저자가 기원전 600년 이전에 존재했으며 그리스 기하학의 영향을 받을 수 없었을 것이라고 언급하고 있다.^[18][19] 보이어는 올드 바빌로니아 수학(기원전 2000년~기원전 1600년)을 가능한 기원으로 언급하지만, 슐바 경전은 바빌론 출처에서는 발견되지 않은 공식을 포함하고 있다고도 말한다.^[20][1] KS 크리슈난은 슐바 경전이 메소포타미아 피타고라스 삼배보다 앞섰다고 언급한다.^[21] 세이덴버그는 "올드 바빌로니아는 피타고라스의 정리를 인도에서 얻었거나 올드 바빌로니아와 인도가 제3의 출처에서 얻었음"이라고 주장한다. 세이덴버그는 이 출처가 수메르어일 수도 있고 기원전 1700년보다 앞설 수도 있다고 제안한다.^[22] 이와는 대조적으로 핑리는 "제단 건축업자들이 기하학의 독특한 기원을 만드는 것을 보는 것은 실수일 것"이라며 "실제적인 문제든 이론적인 문제든 간에 인도와 그 밖의 다른 곳에서는 그들의 해결책이 기억에 전념되지 않았거나 결국 원고에 기록되지 않은 채 멀리까지 발전했을 것"이라고 경고한다.^[23] 플롭커는 또한 "기존의 기하학적 지식[]이 의식적으로 의식적으로 의식적으로 의례적인 관례에 편입되었다"^[24]고 가능성을 제기한다.

슐바 경전 목록

1. 아파스탐바
2. 바우다야나
3. 마나바
4. 카티아야나
5. Maitrayaniya(마나바 텍스트와 비슷한 내용)
6. 바라하 (원고로)
7. 바둘라 (원고에)
8. 히라야케신(아파스탐바 슐바 수트라와 유사)

수학

피타고라스의 정리 및 피타고라스의 삼배

경전에는 이등변 직각 삼각형의 경우와 일반의 경우 모두 피타고라스의 세 쌍의 목록과 함께 피타고라스의 정리에 대한 진술이 포함되어 있다.^[25] 예를 들어 바우드하야나에서는 다음과 같이 규칙이 주어진다.

1.9. 정사각형의 대각선은 [정사각형의 면적]을 두 배로 만든다.
[...]
1.12. 직사각형의 너비 길이에 의해 별도로 생성된 [제곱의 면적]은 대각선에 의해 생성된 [제곱의 면적]과 동일하다.
1.13. 이것은 면 3, 4, 12와 5, 15와 8, 7, 24, 12와 35, 15와 36을 가진 직사각형에서 관찰된다.^[26]

마찬가지로, 아파스탐바의 화재-알타르의 직각 구성 규칙은 다음과 같은 피타고라스 세 배를 사용한다.^[27][28]

• $(3,4,5)$
• ${\디스플레이 스타일(5,12,13)}$
• $(8,15,17)$
• $(12,35,37)$

또한, 경전은 주어진 두 개의 제곱의 차이 또는 합과 같은 면적을 가진 정사각형을 만드는 절차를 설명한다. 두 구조는 모두 사각형의 대각선 상에 가장 큰 정사각형을 정사각형으로 하고, 더 작은 정사각형 두 개를 그 사각형의 측면에 있는 정사각형이 되게 함으로써 진행된다. 각 시술이 원하는 영역의 사각형을 만든다는 주장은 피타고라스 정리의 진술과 맞먹는다. 또 다른 구조물은 주어진 직사각형과 동일한 면적을 가진 사각형을 만든다. 직사각형 끝에서 직사각형 조각을 잘라 옆으로 붙여 원래 직사각형과 동일한 면적의 그노몬을 형성하는 것이다. gnomon은 두 칸의 차이이기 때문에, 이전 구성 중 하나를 사용하여 문제를 완료할 수 있다.^[29]

기하학

바우드하야나 슐바 경전은 사각형이나 직사각형 같은 기하학적 형상의 구조를 제공한다.^[30] 그것은 또한 때로는 근사하고 기하학적인 면적을 보존하는 한 기하학적 형태에서 다른 기하학적 형태로의 변환을 제공한다. 사각형을 직사각형으로, 이소체 트라페지움, 이소체 삼각형, 광맥, 원형으로 변형하고 원을 사각형으로 변형하는 것이 그것이다.^[30] 이러한 텍스트에서는 원의 사각형 변환과 같은 근사치가 보다 정확한 문장으로 나란히 나타난다. 일례로 광장을 빙글빙글 돌았다는 진술은 바우드하야나에서 다음과 같이 주어진다.

2.9. 정사각형을 원형으로 변형시키기를 원하는 경우 [길이줄]의 대각선[길이]의 절반은 중심에서 동쪽으로 뻗고[정사각형의 동쪽 바깥쪽에 놓여 있는 부분], [외부에 놓여 있는 부분]의 1/3을 더하고, 나머지 [반 대각선]에 [필요] 원을 그린다.^[31]

원을 제곱하는 문장은 다음과 같이 주어진다.

2.10. 원을 정사각형으로 변형시키기 위해 지름을 8부분으로 나눈다. 29부분으로 나눈 후 한 [그런] 부분은 28부분이 줄어들고 더 나아가서 6번째 [왼쪽]은 8번째[6번째 부분]가 감소한다.
2.11. 또는 [직경]을 15부분으로 나누고, 그 중 2부분으로 줄인다. 이것은 정사각형의 대략적인 면[필요]을 제공한다.^[31]

2.9와 2.10의 시공은 3.088로, 2.11의 시공은 3.004로 π의 값을 나타낸다.^[32]

제곱근

제단 건축은 또한 3개의 경전에서 발견된 2의 제곱근을 추정하게 했다. 바우드하야나 경전에서는 다음과 같이 나타난다.

2.12 측정치는 세 번째, 이 [세 번째]는 다시 네 번째를 뺀 나머지 네 번째 부분[그 네 번째 부분]만큼 증가해야 한다. 이것은 제곱의 대각선[누구의 측정이 측정값]^[31]이다.

두 개의 제곱근 값을 다음과 같이 나타낸다.

${\displaystyle {\sqrt{2}}\약 1+{\frac {1}{3}}+{1}{3\cdot 4}-{1}{3\cdot 4}}}={\frac {577}}{408}=1.4142...}$^[33][34]

실제로, 평방 뿌리를 계산을 위해 이른 법 일부 Sutras[표창 필요한]에서 발견될 수 있으면 메서드는:x≈)− 1+12⋅)− 1{\displaystyle{\sqrt{)}}\approx{\sqrt{x-1}}+{\frac{1}{2\cdot{\sqrt{x-1}}}}}은 비재귀 정체성에 바탕을 둔 것 x의 큰 값에 대한 귀납적인 공식을 포함한다. 2+r${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle r\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$a a ${\displaystyle$ {\$sqrt {a^{2}+r}\$cdot a$}$에 $대해$ 약 a$+{\frac {r}{2\cdot$a}}.

예를 들어 b2의 이 근사치는 √2가 비이성적이라는 지식을 내포하고 있다는 것도 Bürk에^[35] 의해 제안되었다. 히스는 유클리드 원소의 번역에서 비이성성이 발견되었다고 여겨지는 데 필요한 여러 이정표를 개략적으로 설명하고 있으며, 인도 수학이 슐바 수트라스 시대에 그러한 이정표를 달성했다는 증거가 부족하다는 점을 지적하고 있다.^[36]

참고 항목

• 칼파 (베당가)

인용문 및 각주

참조

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• Delire, Jean Michele (2009). "Chronological inferences from a comparison between commentaries on different Śulbasūtras". In Wujastyk, Dominik (ed.). Mathematics and Medicine in Sanskrit. pp. 37–62.
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• van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer-Verlag. ISBN 9783642617812.

번역

• 조지 티보우 감독의 '바우다야나의 울바수트라(Dvárakanáthayajvan)'는 판디트(The Pandit)의 연재지에 실렸다. 베나레스 대학의 월간지 산스크리트 문학에 기고한다. 그 논평은 번역되지 않은 채로 남겨져 있다는 것에 주목하라.
  • (1875) 9 (108): 292–298
  • (1875–1876) 10 (109): 17–22, (110): 44–50, (111): 72–74, (114): 139–146, (115): 166–170, (116): 186–194, (117): 209–218
  • (new series) (1876–1877) 1 (5): 316–322, (9): 556–578, (10): 626–642, (11): 692–706, (12): 761–770
• 조지 티보우(George Tibaut)의 '수랴다사의 아들 라마(Rahma)의 해설을 곁들인 카티아냐나의 '율바리시타'는 판디트(The Pandit)' 연재지에 실렸다. 베나레스 대학의 월간지 산스크리트 문학에 기고한다. 그 논평은 번역되지 않은 채로 남겨져 있다는 것에 주목하라.
  • (새 시리즈) (1882) 4 (1–4): 94–10, (5–8): 328–339, (9–10): 382–389, (9–10): 487–491
• Bürk, Albert (1902). "Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen". Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (in German). 56: 327–391. Bürk(1901)에서의 전사 및 분석.
• Sen, S.N.; Bag, A.K. (1983). The Śulba Sūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava with Text, English Translation and Commentary. New Delhi: Indian National Science Academy.