정상공간

분리 공리 위상학적으로
콜모고로프 분류
T0	(콜모고로프)
T1	(프레셰트)
T2	(하우스도르프)
T2½	(우리존)
완전2 T	(완전히 하우스도르프)
T3	(정규 하우스도르프)
T3½	(Tychonoff)
T4	(정상적인 하우스도르프)
T5	(일반적인) 하우스도르프)
T6	(일반적인) 하우스도르프)
역사

수학의 위상 및 관련 분기에서 정상 공간은 Axiom T를₄ 만족시키는 위상학적 공간 X이다: 각각의 분리된 X의 두 집합은 개방된 이웃을 분리한다.정상적인 하우스도르프 공간은 T 공간이라고도₄ 불린다.이러한 조건은 분리 공리의 예로서 그 추가 강화는 완전히 정상적인 하우스도르프 공간, 즉 T 공간과₅ 완벽하게 정상적인 하우스도르프 공간, 즉 T 공간을₆ 정의한다.

정의들

위상학적 공간 X는 분리된 집합 E와 F의 인접지역 U와 F의 V가 있는 경우 정상적인 공간이다.보다 직관적으로, 이 조건은 E와 F가 이웃에 의해 분리될 수 있다고 말한다.

T공간은₄ 정상인 T공간₁ X이다. 이것은 X가 정상이고 하우스도르프가 되는 것과 같다.

완전히 정상적인 공간이나 유전적으로 정상적인 공간은 위상학적 공간 X로서 서브공간 위상이 있는 X의 모든 하위공간은 정상공간이다.X는 두 개의 분리된 세트가 모두 이웃에 의해 분리될 수 있는 경우에만 완전히 정상적인 것으로 밝혀졌다.또한 X의 모든 열린 부분집합이 하위공간 위상에서 정상인 경우에만 X는 완전히 정상이다.

완전한 T₄ 공간, 즉 T₅ 공간은 완전히 정상적인₁ T 공간 위상학적 공간 X인데, 이는 X가 Hausdorff라는 것을 암시한다. 동등하게 X의 모든 하위 공간은₄ T 공간이어야 한다.

$완벽$하게 정상적인 공간은 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이며, $X$ ${\displaystyle$ $X$$}$에서 $[\backslash {\displaystyle }$displaystyle X}까지$$ 연속 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가$)$ 있다는 의미에서 두 개의 분리 닫힘마다 하나의 함수에 의해 정확하게 분리될 수 있다$$.0,1]{\displaystyle[0,1]}가 f}과 f 1(0))E{\displaystyle f^{)}(0)=E − − 1(1))F{\displaystyle f^{)}(1)=F}.[1]정상 상태보다(이것이 단단한 분리 속성에 의해 평범한 공간에서 Urysohn의 부명제 연결되지 않은 닫힌 집합 함수에 의해, E⊆ f의 의미에서 분리될 수 있− 1(. 0${\displaystyle E\subseteq$ f$^{-11}(0)$ 및$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle F\subseteq f^{-1($1$)\},$ 그러나 일반적으로 정확히 분리되지는 않음)X가 정상이고 모든 닫힌 세트가 G_δ 세트일 경우에만 X가 지극히 정상인 것으로 나타났다.마찬가지로 X는 모든 닫힌 집합이 0 집합인 경우에만 완벽하게 정상이다.이 세 가지 특성화의 등가성을 베데니스소프의 정리라고 한다.^[2][3]완벽한 정규성은 유전적 특성이기 때문에 모든 완벽하게 정상적인 공간은 완전히 정상이다.^[4][5]

T₆ 공간, 또는 완벽한 T₄ 공간은 완벽하게 정상적인 하우스도르프 공간이다.

"정상 공간"과 "T₄" 그리고 파생된 개념은 때때로 다른 의미를 갖는다. (그렇지 않아도 "T₅"는 항상 "완전₄ T"와 같은 의미, 그것이 무엇이든 간에)여기에 주어진 정의는 오늘날 주로 사용되는 정의들이다.이 문제에 대한 자세한 내용은 분리 공리의 기록을 참조하십시오.

"정상적인 정규 공간"과 "정상적인 하우스도르프 공간"과 같은 용어들도 문헌에 나타나는데, 이는 단순히 공간이 모두 정상이고 언급된 다른 조건을 만족한다는 것을 의미한다.특히 일반적인₄ 하우스도르프 공간은 T 공간과 같은 것이다.용어 의미에 대한 역사적 혼동을 고려할 때 해당 시 구두 서술이 도움이 된다. 즉, "T₄" 대신 "정상적인 하우스도르프" 또는 "T₅" 대신 "완전히 정상적인 하우스도르프"이다.

완전히 정상적인 공간과 완전한 T₄ 공간은 다른 곳에서 논의된다; 그것들은 파라콤팩트성과 관련이 있다.

국소 정상 공간은 모든 지점이 정상인 개방된 이웃을 갖는 위상학적 공간이다.모든 정상적인 공간은 국소적으로 정상이지만, 그 반전은 사실이 아니다.평범하지 않은 완전히 규칙적인 국소적 정상 공간의 고전적인 예가 네미츠키 비행기다.

정규 공간의 예

수학적 분석에서 접하는 대부분의 공간은 정상적인 하우스도르프 공간 또는 적어도 정상적인 정규 공간이다.

• 모든 미터법 공간(따라서 모든 미터법 공간)은 완벽하게 정상적인 하우스도르프(Hausdorff;
• 모든 유사 측정 공간(따라서 모든 유사 측정 가능 공간)은 일반적으로 하우스도르프(Hausdorff)는 아니지만 지극히 정상적인 정규 공간이다.
• 모든 소형 하우스도르프 공간은 정상이다.
• 특히 티코노프 공간의 스톤-체크 압축은 정상적인 하우스도르프(Hausdorff)이다.
• 위의 예제를 일반화하면 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정상이고, 모든 파라콤팩트 정규 공간은 정상이다.
• 모든 파라콤팩트 위상학적 다지관은 완벽하게 정상적인 하우스도르프다.그러나 정상적이지도 않은 비 파라콤팩트 다지관이 존재한다.
• 순서가 완전히 정해진 세트의 모든 위상은 유전적으로 정상이고 하우스도르프다.
• 정규 2차 계산 가능한 공간은 모두 완전히 정상이고, 정규 린델뢰프 공간은 모두 정상이다.

또한 완전히 정상적인 공간은 모두 정상(정규적이 아니더라도)이다.시어핀스키 공간은 규칙적이지 않은 정상적인 공간의 예다.

비정규 공간 예제

비정규 위상의 중요한 예는 자리스키 위상(Zariski topology)이 대수적 다양성 또는 링의 스펙트럼에 의해 주어지며, 이는 대수 기하학에서 사용된다.

분석과 어느 정도 관련성이 있는 비정규 공간은 실제 선 R에서 그 자체로 모든 함수의 위상 벡터 공간이며, 점성 수렴의 위상이 있다.보다 일반적으로, 아서 해롤드 스톤의 정리에는 헤아릴 수 없이 많은 비-컴팩트 메트릭스 공간의 산물이 결코 정상적이지 않다고 명시되어 있다.

특성.

정상 공간의 모든 닫힌 부분 집합은 정상이다.정상 공간의 연속적이고 폐쇄적인 이미지는 정상이다.^[6]

정상 공간의 주요 의미는 정상 공간 X에 유효한 다음과 같은 이론에 의해 표현되는 것처럼 연속적인 실질 가치 함수를 "부족한" 계속적으로 인정한다는 사실에 있다.

우리손의 보조정리:A와 B가 X의 두 개의 분리된 폐쇄 하위 집합인 경우, X에서 실제 라인 R까지 f(x)가 존재하며, f(x)는 A의 모든 x의 경우 0이고 f(x)는 B의 모든 x의 경우 1이다.사실, 우리는 f의 값을 단위 간격[0,1] 내에 완전히 포함시킬 수 있다.(팬시어 용어로, 분리 닫힌 세트는 이웃에 의해 분리될 뿐만 아니라 함수에 의해서도 분리된다.)

보다 일반적으로 티에체 확장 정리:A가 X의 닫힌 부분 집합이고 f가 A에서 R까지의 연속 함수라면, A의 모든 X에 대해 F(x) = f(x)라는 의미에서 F를 확장하는 연속 함수 F: X → R이 존재한다.

지도 $\varnothing {\displaystyle \mathrm{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyet \rightarrow X}$는 5점(2개, 3개 닫힘)을 가진 특정 유한 위상학 공간에서 1개, 2개의 닫힌 점까지 지도와 관련된 리프팅 속성을 가지고$$ 있다.^[7]

U가 국소적으로 유한한 정상 공간 X의 개방형 커버라면 U에 정확히 종속된 통합의 파티션이 있다(이는 파라콤팩트성에 대한 정상 공간의 관계를 보여준다).

사실 이 세 가지 조건 중 어느 하나를 만족시키는 공간은 모두 정상이어야 한다.

정상적인 공간의 산물이 반드시 정상인 것은 아니다.이 사실은 로버트 소겐프리에 의해 처음 증명되었다.이러한 현상의 한 예가 소르겐프리 비행기다.실제로 정상 공간의 산물인 다우커(Dowker)와 [0, 1]인 공간이 존재하기 때문에 정상일 필요는 없다.또한, 모든 타이코노프 공간은 스톤-체크 콤팩트화(정상적인 하우스도르프)의 부분집합이기 때문에 정상 공간의 부분집합은 필요하지 않다(즉, 모든 정상적인 하우스도르프 공간은 완전히 정상적인 하우스도르프 공간은 아니다).좀 더 분명한 예가 타이코노프 판자다.정상이라고 알려진 정상공간의 제품공간의 큰 등급은 컴팩트함(Tychonoff의 정리)과 T 공리가₂ 모두 임의제품에 의해 보존되기 때문에 콤팩트 하우스도르프 공간의 제품들뿐이다.^[8]

다른 분리 공리에 대한 관계

정상공간이₀ R이면 사실상 완전히 규칙적인 공간이다.따라서 "정상 R₀"에서 "정상 완전정규"에 이르는 것은 우리가 보통 보통 정상정규라고 부르는 것과 같다.Kolmogorov 인용구를 보면, 우리는 모든 정상적인 T 공간이₁ Tychonoff라는 것을 알 수 있다.이런 것들이 우리가 보통 일반적인 하우스도르프 공간이라고 부르는 것이다.

위상학적 공간은 두 개의 분리된 닫힌 세트가 주어지면 유사하다고 하며, 그 중 하나는 셀 수 있고, 이 세트가 들어 있는 분리형 오픈 세트가 있다.모든 정상적인 공간은 유사하지만 그 반대는 아니다.

이러한 문장의 몇 가지 변수에 대한 개수는 위의 목록에서 찾을 수 있다.구체적으로는 시에르핀스키 공간은 정상이지만 규칙적이지는 않은 반면, R에서 그 자체로 기능하는 공간은 타이코노프지만 정상적이지는 않다.

참고 항목

• 집합적 정규 공간 – 정규성보다 강한 위상적 공간의 속성
• 단조롭게 정상적인 공간 – 정규성보다 강한 위상학적 공간의 속성

인용구

참조

• 엥겔킹, 리스자드, 제너럴 토폴로지, 헬더만 베를라크 베를린, 1989.ISBN 3-88538-006-4
• Kemoto, Nobuyuki (2004). "Higher Separation Axioms". In K.P. Hart; J. Nagata; J.E. Vaughan (eds.). Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.
• Sorgenfrey, R.H. (1947). "On the topological product of paracompact spaces". Bull. Amer. Math. Soc. 53 (6): 631–632. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08858-3.
• Stone, A. H. (1948). "Paracompactness and product spaces". Bull. Amer. Math. Soc. 54 (10): 977–982. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-43479-7.