컨버스(로직)

논리와 수학에서, 범주형 또는 관계형 진술의 반대는 그 두 가지 구성적 진술을 뒤집은 결과물이다. 함축성 P → Q의 경우 역은 Q → P. 범주성 명제 All S는 P, 역은 All P이다. 어느 쪽이든 반전의 진실은 대체로 원론적인 진술과는 무관하다.^[1]

내연적 대화

S는 형식 P의 문장이 되어 Q (P → Q)를 내포한다. 그렇다면 S의 반대는 Q가 P (Q → P)를 암시하는 진술이다. 일반적으로 S의 진실은 선행 P와 결과 Q가 논리적으로 동등하지 않는 한,^[2] 그 반대의 진실에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.

예를 들어, "만약 내가 인간이라면, 나는 죽는다"는 진정한 말을 생각해 보자. 그 진술의 반대는 "만약 내가 인간이라면, 나는 인간이다"라고 말하는데, 이것은 반드시 사실인 것은 아니다.

반면에, 원래의 명제의 진실성을 고려할 때 상호포용적인 용어를 사용한 진술의 반대는 진실된 것으로 남아 있다. 이것은 정의의 반대가 사실이라고 말하는 것과 같다. 따라서 "내가 삼각형이라면, 그렇다면 나는 삼면 다각형"이라는 말은 논리적으로 "삼면 다각형이라면 삼면 다각형"이라는 뜻인데, 이는 "삼면 다각형"의 정의가 "삼면 다각형"이기 때문이다.

진리표는 S와 S의 역이 논리적으로 동등하지 않다는 것을 명확히 한다. 단, 두 용어가 모두 서로를 암시하지 않는 한, S와 S의 역은 논리적으로 동등하지 않다.

$P}$	$(\displaystyle Q}$	$P\오른쪽 화살표 Q}$	${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\왼쪽 화살표$ Q$}($반복)
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

진술에서 그 반대 방향으로 가는 것은 결과물을 긍정하는 오류다. 단, 문장 S와 그 역이 동일하다면(즉, Q도 참일 경우에만 P가 참이다), 그 결과의 확언은 유효할 것이다.

역방향 함축은 ${\displaystyle \mathrm{논리적}}$으로 P ${\displaystyle P}$과(와)$\$ Q {\$displaystyle$ \neg $Q}$의 분리와 동일하다.

$P\왼쪽 화살표 Q}$	${\displaystyle \왼쪽 화살표 }$	$P}$	$\displaystyle \lor }$	$\displaystyle \neg Q}$
	${\displaystyle \왼쪽 화살표 }$		$\displaystyle \lor }$

자연어로, 이것은 "P 없이는 Q가 아니다"라고 표현될 수 있다.

정리의 역

수학에서, P → Q 형식의 정리의 역은 Q → P가 될 것이다. 그 반론은 진실일 수도 있고 아닐 수도 있으며, 설령 사실이더라도 증거가 어려울 수도 있다. 예를 들어, 포베르텍스 정리는 1912년에 증명되었지만, 그 반전은 1997년에야 증명되었다.^[3]

실제로 수학적 정리의 역설을 결정할 때 선행의 측면은 맥락을 확립하는 것으로 간주될 수 있다. 즉, "Gived P, 만일 Q가 되면 R"이 "Gived P, 만일 R이 되면 Q"가 된다. 예를 들어 피타고라스 정리는 다음과 같이 명시할 수 있다.

길이 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c},$$$$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 반대쪽 각도가 직각이면$$ 2 $+$ b${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}의 길이로 된 삼각형을 지정한다.$}}=c^{2$

유클리드 원소(Book I, Proposition 48)에도 등장하는 역은 다음과 같이 명시할 수 있다.

${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$b $2$= ${\displaystyle {}^{}}$ {\$a$}, b {\$displaystyle{\displaystyle }$ $b$ 및 c {\$displaystyle$ $c}의$$$길이가 있는 삼각형을 $지정함$$}}=c^{2$ 그러면 길이 ${\displaystyle c}$의 측면 반대쪽 각도가 직각이다$$.

관계의 대화

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$과(와)의 2진수 관계인 경우 $역관계{\displaystyle {}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}{T}^{}}$=${\displaystyle }${ (${\displaystyle }$b ,${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$:${\displaystyle }$( , ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle R\}}$ ${\displaystystyle R^{$$T}=\{{(b,a):(a,b)\in$ R$\}}}$은(는) 전치라고도 한다$$.^[4]

표기법

시사 P → Q의 역은 Q → P, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \leftarrow }$ Q ${\displaystyle P\leftarrow$ Q$\}$라고 표기할 수 있지만, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \subset }$ Q ${\displaysty P\subset Q}$또는 "Bpq"(보체스키 표기법)라고도 표기할 수 있다.^{[citation needed]}

범주형 역류

전통적인 논리에서는 "All S is P"에서 그 반대인 "All P is S"로 가는 과정을 변환이라고 부른다. 아사 마한의 말에 의하면

"원래 명제는 엑스포시타(exposita)라고 하며, 개종하면 그 반대자를 표시한다. 변환은 확증되지 않은 역에서 어떤 것도 주장되지 않을 때에만 유효하다."^[5]

"exposita"는 보통 "전환"이라고 불린다. 변환은 간단한 형태로 E와 I 제안에만 유효하다.^[6]

유형	컨버터엔드	심플 컨버스	액센트당 컨버스(P가 존재하는 경우 유효)
A	모든 S는 P이다.	유효하지 않은	일부 P는 S이다.
E	No S is P	No P is S	일부 P는 S가 아니다.
I	일부 S는 P이다.	일부 P는 S이다.	–
O	일부 S는 P가 아니다.	유효하지 않은	–

E와 I 제안에만 대한 단순 변환의 타당성은 "변환기에서 분배되지 않는 컨버스에서는 어떤 용어도 분배되어서는 안 된다"^[7]는 제약으로 표현할 수 있다. E 명제에는 주제와 술어가 모두 분포되어 있는 반면 I 명제에는 둘 다 분포되어 있지 않다.

A 명제의 경우, 주체는 술어가 아닌 상태에서 분배되므로, A 진술에서 그 반대편에 이르는 추론은 유효하지 않다. 예를 들어, "모든 고양이는 포유동물이다"라는 A 명제의 경우, "모든 포유류는 고양이다"라는 반대말은 명백히 거짓이다. 그러나 "어떤 포유류는 고양이다"라는 약한 말은 사실이다. 논리학자들은 억양당 변환을 이 약한 진술을 생성하는 과정으로 정의한다. 진술서마다 진술서로부터 그 진술서의 역순으로 추론하는 것은 일반적으로 타당하다. 그러나, 삼단논법처럼, 보편에서 특정 범주로의 이러한 전환은 종종 "모든 유니콘은 포유류"라는 공허한 범주에 대한 문제를 일으키는 반면, "어떤 포유류는 유니콘이다"라는 억양의 반론은 명백히 거짓이다.

1차 술어 미적분학에서 All S is P는${\displaystyle \mathrm{}}$∀ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$→ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \forall x$로 나타낼 수 있다$.$$S(x)\to P(x)}$^[8]따라서 범주적 역이 관계적 역경과 밀접하게 관련되어 있으며, S와 P는 모든 S에서 교환될 수 없다는 것은 분명하다.

참고 항목

• 아리스토텔레스
• 범주형 명제#전환
• 대조
• 컨버스(수식어)
• 추론
• 역(로직)
• 논리적 결합
• 오버스버전
• 삼단논법
• 용어 논리학
• 전이(로직)

참조

추가 읽기

• 아리스토텔레스. 오르가논.
• 코피, 어빙 로직 소개. 맥밀런, 1953년
• 코피, 어빙 상징 논리학. 맥밀런, 1979년 5판
• 스테빙, 수잔 논리의 현대적 도입. 크롬웰 컴퍼니, 1931.