셀 수 있는 선택 공리

Axiom of countable choice
세트(Si) = S1, S2, S, S3, ...의 countability quency에 있는 각 세트에는 0이 아닌 원소 수가 포함되어 있으며, 무한(또는 무한)일 수도 있다. 셀 수 있는 선택의 공리는 각 집합에서 단일 원소를 임의로 선택하여 원소(xi) = x1, x, x23, x, ...의 순서를 형성할 수 있게 한다.

AC로ω 표기된 셀 수 없는 선택 또는 셀 수 없는 선택이라는 공리(countable selection)는 모든 셀 수 없는 집합의 집합은 반드시 선택 함수를 가져야 한다는 집합 이론의 공리(coriom)이다. 즉, A(n)가 모든 n(n)에 대해 비어 있지 않은 집합인 것처럼 도메인 N(N)을 가진 함수 A(N은 자연수 집합을 나타냄)를 가진 함수 A가 주어질 경우, 모든 n(n)에 대해 f(n) n A(n)와 같은 도메인 N의 함수 f가 존재한다.

개요

계산 가능한 선택(ACω)의 공리는 의존적 선택(DC), (제치 1973)보다 엄격히 약하며, 이는 결국 선택(AC)의 공리보다 약하다. 폴 코헨은 AC가ω 선택 공리(Potter 2004) 없이 제르멜로-프라엔켈 세트 이론(ZF)에서 증명할 수 없다는 것을 보여주었다. AC는ω 솔로베이 모델을 보유하고 있다.

ZF+AC는ω 카운트할 수 있는 많은 집합의 조합이 카운트할 수 있다는 것을 증명하기에 충분하다. 또한 모든 무한 집합이 데데킨드-무한(동일하게: 셀 수 없이 무한 부분 집합이 있다는 것을 증명하기에 충분하다.

AC는ω 특히 분석 개발에 유용하며, 많은 결과가 계산 가능한 실수 집합의 선택 함수를 갖는 것에 의존한다. 예를 들어, 세트 S r R의 모든 축적 지점 x가 S \ {x}의 일부 요소 시퀀스의 한계라는 것을 증명하기 위해서는 셀 수 있는 선택의 공리(약체 형태)가 필요하다. 임의의 미터법 공간의 누적 지점에 대해 공식화하면 문장은 AC와ω 동등해진다. AC에ω 해당하는 다른 문장은 Herrrich(1997)와 Howard & Rubin(1998)을 참조한다.

일반적인 오해는 셀 수 있는 선택이 귀납적 성격을 가지고 있기 때문에 유도에 의한 정리(ZF 또는 유사하거나 심지어 약한 시스템)로서 증명될 수 있다는 것이다. 그러나, 이것은 사실이 아니다; 이러한 오해는 크기 n의 유한 집합(임의 n의 경우)에 대한 유한한 선택과 함께 계산 가능한 선택을 혼동한 결과이며, 유도에 의해 증명될 수 있는 것은 이 후자의 결과(합병학에서 기본적인 정리)이다. 그러나 일부 무한대의 비빈 세트들은 어떤 형태의 선택 공리 없이 ZF에서 선택 기능을 가지고 있다는 것이 증명될 수 있다. 여기에는 V-ω {OW}과(와) 합리적인 엔드포인트를 가진 실수의 적절하고 경계가 있는 공개 간격 집합이 포함된다.

사용하다

ACω 응용의 예로서, 여기 (ZF + AC로부터ω) 모든 무한 집합이 데데킨드-무한이라는 증거가 있다.

X는 무한하게 하자. 각 자연수 n에 대해, A를n X의 모든 2-요소n 하위 집합의 집합으로 한다. X는 무한하기 때문에, 각각의 A는n 비어 있지 않다. AC의ω 첫 번째 적용은 시퀀스(Bn : n = 0,1,2,3,...)를 산출하는데, 여기서 각 B는n 2개의n 원소를 가진 X의 부분집합이다.
세트n B가 반드시 분리되는 것은 아니지만, 우리는 정의할 수 있다.
C0 = B0
Cn = 모든 C, jj < n의 조합과 B의n 차이.
분명히 각 세트 C는n 최소 1개, 최대 2개의n 요소를 가지며 세트n C는 쌍으로 분리된다. AC의ω 두 번째 적용은 cn ∈ C로n 시퀀스(cn:n = 0,1,2,...)를 산출한다.
그래서 모든 c는n 구별되고, X는 셀 수 있는 세트를 포함하고 있다. 각 c를n c에n+1 매핑(그리고 X의 다른 모든 요소를 고정)하는 함수는 X에서 X까지의 1-1 지도로, X가 데데킨드-무한이라는 것을 증명한다.

참조

  • Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland. pp. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8.
  • Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment.Math.Univ.Carolinae. 38 (3): 545.
  • Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.
  • Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에서 셀 수 있는 선택 공리로부터 얻은 자료가 통합되어 있다.