이중복소수

이중 복합 곱하기

$\displaystyle \reason }$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle i}$	$\displaystyle \varepsilon j}$	$\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle i}$	$\displaystyle \varepsilon j}$	$\displaystyle \varepsilon k}$
$(\displaystyle i}$	$(\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	$\displaystyle \varepsilon k}$	$-\displaystyle -\varepsilon j}$
$\displaystyle \varepsilon j}$	$\displaystyle \varepsilon j}$	$-\displaystyle -\varepsilon k}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
$\displaystyle \varepsilon k}$	$\displaystyle \varepsilon k}$	$\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

이중 복합 숫자는 실수에 비해 4차원 대수학이다.^[1][2] 그들의 주된 용도는 2D 공간에서 경직된 신체 운동을 표현하는 것이다.

이중 숫자의 곱셈이나 복잡한 숫자와는 달리 이중 복합 숫자의 곱셈은 비확정적이다.

정의

In this article, the set of dual-complex numbers is denoted ${\displaystyle \mathbb {DC} }$. A general element ${\displaystyle q}$ of ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ has the form ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ where ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle$$B}$, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ $및$ D ${\displaystyle D}$은(는) 실제 $숫자$이고, {$${\$displaystyle \varepsilon }$은(는) 0으로 정사각형인 이중 $숫자$이며,$$i {\$displaystyle$ i$\},$${\$$j$},$$$}$은 쿼터의 표준 기본$$ 요소들이다.

Multiplication is done in the same way as with the quaternions, but with the additional rule that ${\textstyle \varepsilon }$ is nilpotent of index ${\displaystyle 2}$, i.e. ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$, which in some circumstances makes ${\textstyle \varepsilon }$ comparable to an infinitesimal number. 이중 복합수의 곱셈 invers는 다음과 같다.

${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D}{A^{2}+B^{2}}}}}$

세트$\{{\displaystyle 1}$, ${\displaystyle i}$ ,${\displaystyle \epsilon }$ j ,${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$는 이중 복합수(dual complex number)의 벡터 공간의 기초를 형성하는데$$, 여기서 스칼라는 실제 숫자다.

이중 복합 번호 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 크기는 다음과 같이 정의된다$$.

컴퓨터 그래픽의 어플리케이션의 경우, $숫자{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle i}$+ C${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle j}$ + ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$은 일반적으로 4투플${\displaystyle }$(${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle (A, B,$ C$,D)$로 표현된다$.$

행렬 표현

이중 복합수 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle B}$ i${\displaystyle }$+ C ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle j}$+ D ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$은 2x2 복합 매트릭스로 다음과 같은 표현을 가지고 있다$$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\\0&A-Bi\end{pmatrix}.}$

또한 2x2 이중 숫자 매트릭스로 표시할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\epsilon &-B+D\epsilon \\B+D\epsilon &A-C\epsilon \end{pmatrix}.}$

위의 두 행렬 표현은 각각 뫼비우스 변환과 라구에르 변환과 관련이 있다.

용어.

이 글에서 논하는 대수학을 이중 복합수(dual complex number)라고 부르기도 한다. 이는 대수학이 다음 중 하나의 형태를 취해야 한다는 것을 암시하기 때문에 오해의 소지가 있는 명칭일 수 있다.

1. 이중 번호(복수 항목 포함)
2. 복잡한 숫자, 그러나 이중 숫자 입력

두 가지 설명 중 하나를 만족하는 대수학이 존재한다. 그리고 두 가지 서술 모두 동등하다.(알제브라의 텐서 생산물이 이소모르피즘에 준거하기 때문이다.) 이 대수학은 링 인용법을 $사용$하여 C${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {C}[x]/(x^{2})$로 나타낼 수 있다. 그 결과로 나온 대수학에는 서로 교환되는 제품이 있으며 더 이상 논의되지 않는다.

경직된 신체 움직임을 나타냄

내버려두다

단위 길이의 이중 섀시 번호로, 즉 우리는 반드시 그 번호를 가져야 한다.

유클리드 평면은 $\pi \mathrm{}$=$${$i$+ $x$ $\epsilon$ j + $y$ $\epsilon$ $k\mid$ $x$ $\in$ $R\mathbb{},$ y $\in$ $R\mathbb{}$ }$$} } } } } } } } }$}$ {\$textstyle$ \$Pi =\i+\varepsilon$ j+$y\mid x\in \mathb$ {R$},y\y\mathb{R$로 나타낼 수 있다.

$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$의 $요소{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle j}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$은 ${\displaystyle \mathrm{카세트}\mathrm{좌표}(}$x$$, y ) {\$displaystyle$ (x$,y)}$을 가진 유클리드 평면의 점을 나타낸다$$$.$

${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q$$}$은(는) $다음$을 통해$$v {\$displaystyle$ v}에 대해 작업하도록 만들 수 있음$$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) ${\displaystyle \Pi }$의 다른 지점에 매핑하는$$ 기능$.$

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 다음과 같은 극성 형식이 있다$.$

1. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\neq$ 0$}$이$($가) 있을 때 요소 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 다음과 같이 쓸 수 있다$$.
   $${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$

   
   이는 점 $주위$의${\displaystyle }$각도${\displaystyle y}${\$displaystyle \theta}$의 회전을 의미한다(${\displaystyle x}$ , y ) ${\displaystyle (x,y$
2. $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B=0}$인 경우$$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 요소를 다음과 같이 쓸 수 있다$$.
   $${\displaystyle {\cHB{Aligned}&1+i(x\varepsilon j+y\varepsilon k)\\={}&1-y-j+x\varepsilon k,\end{Aligned}}}}$$

   
   벡터$({\displaystyle \begin{array}{c}x\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}y\\ \end{array}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$$}$

기하학적 구조

이중 복합적인 숫자의 원칙적인 구성은 그것들이 이중 쿼터의 부분 집합이라는 것을 먼저 알아봄으로써 찾을 수 있다.

이중 쿼터에 대한 두 가지 기하학적 해석이 있는데, 이 두 가지 해석 모두 평면에서 이중 콤플렉스 숫자의 작용을 도출하는 데 사용할 수 있다.

• 3D 공간에서 경직된 신체 움직임을 나타내는 방법. 그러면 이중 복합적인 숫자는 그러한 강체-신체 움직임의 일부를 나타내는 것으로 볼 수 있다. 이것은 이중 쿼터가 유클리드 공간에 작용하는 방식에 어느 정도 친숙함을 필요로 한다. 우리는 이 접근법이 다른 곳에서 적절하게 수행되었기 때문에 여기에서 설명하지 않을 것이다.
• 이중 쿼터는 쿼터의 "적극적 두께화"로 이해할 수 있다.^[3][4][5] 쿼터니언은 3D 공간 회전을 나타내는 데 사용될 수 있고, 이중 번호는 "인피니티멀"을 나타내는 데 사용될 수 있다는 점을 기억하십시오. 이러한 특징들을 결합하면 회전은 무한히 변화할 수 있다. Let ${\displaystyle \Pi }$ denote an infinitesimal plane lying on the unit sphere, equal to ${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$. Observe that ${\displaystyle \Pi }$ is a subset of the sphere, in spite of being flat (this is th이중 숫자 infinitesimal의 동작에 대한 anks).

그런 다음 이중 쿼터의 하위 집합으로서 이중 복합 번호가 평면 $[\displaystyle \Pi$}을(를) 다시 자체로$$ 회전시키는 것을 관찰하십시오. ${\displaystyle \mathrm{이것}}$이 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${{\displaystyle v$${\displaystyle \backslash }$$in \Pi }$에 미치는 영향은 ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$q+$c}$의$$= A${\displaystyle }$+ $Bi+C\varepsilon j+D+$$D$\$varepsilon k}$ 값에$$ 따라 달라진다$$$.$

1. $B{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\neq 0}$이$($가) 있을 때, {$${\$displaystyle \Pi$}의$$ $포인트{\displaystyle }$ p ${\$$displaystyle \Pi }$을(를) 향해 회전 축이 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$을 $중심$으로 회전하는 것을 경험한다$.$
2. $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B=0}$일 때 회전 축은 평면에서 떨어져 있으며 회전 각도는 최소가 된다$.$ 이 경우 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$의 포인트에서 번역이 수행된다$$.

참고 항목

• 에두아드 스터디
• 쿼터니온스
• 이중수
• 이중 쿼터니온
• 클리포드 대수
• 유클리드 평면 등측도법
• 아핀 변환
• 투영면
• 동일좌표
• 슬러프
• 등각 기하 대수

참조